全等几何模型讲解

1、常见的几何模型一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类1.绕点型（手拉手模型）（1 ）自旋转：自旋转构造方法遇60°旋60°,造等边三角形 遇90°旋90°，造等腰直角 遇等腰旋顶角，造旋转全等 遇中点旋180 0，造中心对称15 / 13图（1-1-庄）图（1-1七）图 C1-2)图(M)图（2-5例题讲解:1.如图所示，P是等边三角形 ABC内的一个点，PA=2 PB=2j3，PC=4,求 ABC的边长。C2.如图，0是等边三角形 ABC内一点，已知：/ A0B=115°, /

2、BOC=125,则以线段 0A、0B、0C为边构成三角形的各角度数是多少？C3.如图，P是正方形 ABCD内一点，且满足 PA PD PC=1: 2: 3，则/ APD=.4.如图（2-1）： P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点 A、B、C的距离分别 为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形 ABCD面积。图(2-1)图（2二）Z(2)共旋转(典型的手拉手模型)模型变形:共顶点等腰三角形例题讲解：1.已知ABC为等边三角形，点 D为直线BC上的一动点（点 D不与B,C重合），以AD 为边作菱形 ADEF（按A,D,E,F逆时针排列），使/ DAF=60，连接CF.（1）如图1,

3、当点 D在边BC上时，求证： BD=CF ?AC=CF+CD.（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出 AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；补全图形，并直接写出AC、CF、（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时, CD之间存在的数量关系。2. （13北京中考） 在 ABC中，AB=AC,/ BAC=a（0°<a <60。），将线段BC绕点B逆时针旋转60。得到线段BD。（第24题图1>（第2斗题图2>如图直接写出/ ABD的大小（用含a的式子表示）；如图/ BCE=150

4、 , / ABE=60°,判断 ABE的形状并加以证明;在（2）的条件下，连结 DE,若/ DEC=45，求a的值。2半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。F例题:1.在等腰直角 ABCD勺斜边上取两点M，N,使得 / MCN=45* 记 AM=m,MN=x,BN=,求证以m X, n为边长的三角形为直角三角形。2.如图，正方形 ABCD勺边长为1，AB,AD上各存在一点 P、Q,若 APQ的周长为2，求NPCQ的度数。3. E、F分别是正方形 ABCD的边BC、CD上的点，且/ EAF =45

5、76;, AH丄EF , H为垂足,求证：AH =AB .F4.已知，正方形 ABCD中，/ MAN=45CB、DC （或它们的延长线）于点,/ MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交N , AH丄MN于点H .（1）如图，当/ MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出 AH与AB的数量关系:AH=AB ；（2）如图，当/ MAN绕点A旋转到B佯DN时，（1 ）中发现的AH与AB的数量关系 还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知/ MAN=45 , AH丄MN于点H，且MH=2 , NH=3，求AH的长.（可利用（2）得到的结论）图图图5.已知：正方形 ABCD中，

6、/ MAN=45 , / MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交C）于点M , N .当/ MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易B, DC（或它们的延长线证 BM+DN=MN .（1）当/ MAN绕点A旋转到系？写出猜想，并加以证明.BW DN时（如图2）,线段BM , DN和MN之间有怎样的数量关当/ MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段 BM , DN和MN之间又有怎样的数量关 系？请直接写出你的猜想.6.（14房山2模）.边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上（如图1），现将正方形 ABCD绕D点顺时针旋转，当 A点第一次落在 DF上时停止

7、 旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M , BC边交DG于点N .（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2） 旋转过程中，当 MN和AC平行时（如图2）,求正方形 ABCD旋转的度数；（3） 如图3,设AMBN的周长为P，在旋转正方形 ABCD的过程中，p值是否有变化？ 请证明你的结论.G正方形 ABCD中，AC, BD为对角线，将/BD于点P、点BAC绕顶点A Q,交 BC, CD7. (2011石景山一模逆时针旋转于点E、点(1) 在/ BAC的旋转过程中，/ AEQ的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围(直接在答题卡上写出结果，不必证明)；(2) 探究APQ与

8、AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明.)已知：如图，a ° (0< aV 45),旋转后角的两边分别交F,连接 EF, EQ.点E在直线CD& 已知在 ABC 中，NACB =90°, CA = CB =62 , CD 丄 AB于 D ,1上, DE = CD，点F在线段AB 上, M是DB的中点，直线AE与直线CF交于N点.2(1)如图1,若点E在线段CD上，请分别写出线段 AE和CM之间的位置关系和数量 关系：, ;(2)在(1)的条件下，当点F在线段AD上，且AF =2FD时，求证：NCNE = 45”;(3 )当点E在线段CD的延长线上时，在线段

9、AB上是否存在点F ,使得NCNE =45 .若存在，请直接写出 AF的长度；若不存在，请说明理由.图1B备用图9.(2014 平谷一模 24)(1)如图1,点E、F分别是正方形 ABCD的边BC CD上的点，/ EAF=45°连接EF,贝U EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD.连结BD,交AE、AF于点 M、N,且MN、BM、DN满足MN 2 = BM 2 + DN 2，请证明这个等量关系;(2 )在如图ABC 中,2,当/AB=AC,BAC=60°,如图3,当/BAOa ,点D、E分别为BC边上的两点./ DAE=30°时，BD、DE、EC应满

10、足的等量关系是1(0 <a <90°,/ DAE=a 时，2BD DE、EC应满足的等量关系.【参考：sin ot + cos ot注意：2AM2=BM2 +DM/ BAD=90 °(1)在正方形 ABCD中，AB=AD,/ ABM=/ADN=45°.把 ABM绕点A逆时针旋转90°得到AADM -. 连结 NM '.贝y DM ' = BM , AM，=AM , NADM'=NABM =45°, NDAM 丄ZBAM ./ EAF=45°, / BAM+/ DAN=45°/ DAIM +

11、/ DAF=45° NM'AN =NMAN =45。. AAM 'N SAMN . M 'N =MN .在 ADM 'N 中，/M 'DN =NADN + ZADM ' = 90°, 2 2 2M 'N =DN +DM '- MN2 =DN 2 +bM 2(2)® DE 2 =BD2 +BD 'EC +EC2 ； DE2 =BD2 +2cosa 応D 壬C +EC23.空翻模型ANBMMPD NMB 竺 MDG CAQmB PA【解析】猜测DM =MN .过点 又 / ADM +NDMA /

12、ADM =/ NMB , .也DGM 幻饷BN ,M作MG=120 二 / DMA +/ NMB =120 而 / DGM =/ MBN DM =MN .II BD 交 AD 于点 G , AG =AM，二 GD =MB=120 :2.如图，点M为正方形ABCD交于点N , MD与MN有怎样的数量关系?的边AB上任意一点,MN丄DM且与/ ABC外角的平分线例题：（点B除外），作NDMN =601.如图，点M为正三角形 ABD的边AB所在直线上的任意一点射线MN与/DBA外角的平分线交于点N , DM与MN有怎样的数量关系？【解析】 猜测DM =MN .在AD上截取AG =AM , DG =M

13、B , / AGM =45°. / DGM =/ MBN =135 :. / ADM =/ NMB , iDGM 幻饷BN , DM =MN .3.【探究发现】如图1 ,也ABC是等边三角形，NaEF =60 , EF交等边三角形外角平分线 CF所在的直线于点 F .当点E是BC的中点时，有 AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用 从特殊到一般”的数学思想，通过验证得岀如下结论：当点E是直线BC 上( B,C除外)任意一点时(其它条件不变)，结论AE = EF仍然成立.假如你是该兴趣小组中的一员，请你从点E是线段BC上的任.意一点” 点E是线段BC延

14、长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点 ”三种情况中，任选一种情 况，在备用图1中画岀图形，并进行证明.A/【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时,CE = BC,在备用图2中画岀图形，并运用上述结论求岀S霑BC - S霑EF的值4.弦图模型内弦图例题：1.两个全等的30°，BD取BD的中点M，60三角板ADE,BAC如右下图所示摆放，E、A、C在一条直线上，连接 连接ME MC(1)求证： EDM CAM ( 2)求证： EMC为等腰直角三角形.2.如图 ABC 中，已知/ A=90 ° , AB=AC,如图2,连BD,过A作AE丄BD于点E,交BC

15、于点F, 的大小关系并证明.c(1)D为AC中点，AE丄BD于E,延长AE交BC于F,求证：/ ADB= / CDF 若D , M为AC上的三等分点，连 MF，判断/ ADB 与/ CMFAD=BC.AF=BD，连接DC、DF、CE判断 CDF的形状并证图1已知/ ABC=90°, D是直线AB上的点，(1) 如图1,过点A作AF丄AB,并截取明；(2) 如图2, E是直线BC上的一点，直线AE、CD相交于点P,且/ APD=45°,求证BD=CE.二、对称全等模型下图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°

16、;直角三角形的对称(翻折)，翻折成正方 形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。E>FE>FCP3ECD1.如图1，在 ABC中,已知/ BAC=45 ,AD丄BC于D, BD=2, DC=3,求 AD 的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图 画出 ABD ACD的轴对称图形，D点的对称点为 E、F, 边形AEGF是正方形设 AD=x利用勾股定理，建立关于1.她分别以 AB AC为对称轴, 延长EB FC相交于G点，得到四 x的方程模型，求出 x的值.参考小萍的思路，探究并解答新问题:如图2,在 ABC中，/ BAC=30 , ADI BC于D, AD=4请你按照小萍的方法画图，得到四边形AEGF求 BGC的周长.(画图所用字母与图1中的字母对应)2.问题：已知 ABC中,/ B