力的三角形法

1、力三角形法在三力平衡问题中的应用在静力学中，经常遇到在力系作用下处于平衡的物体其所受诸力变化趋势判 断问题.这种判断如果用平衡方程作定量分析往往很繁琐，而采用力三角形图解三力平衡的力三角形判断通常有三类情况.讨论则清晰、直观、全面.我们知道，当物体受三力作用而处于平衡时，必有刀 F=O表示三力关系的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量 （有向线段）依次恰好 能首尾相接.当物体所受三力有所变化而又维系着平衡 关系时，这闭合三角形总是存在而仅仅是形状发生改 变.比较不同形状的力三角形各几何边、角情况，我们 对相应的每个力大小、方向的变化及其相互间的制约关 系将一目了然.所以，作出物体平衡时所受三力矢量

2、可 能构成的一簇闭合三角形，是力三角形法的关键操作。一、三力中有一个力确定，即大小、方向不变，一个力方向确定。这个力 的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定例1 如图1所示，用细绳通过定滑轮沿竖直光滑的墙壁匀速向上拉动,例2则拉力F和墙壁对球的支持力N的变化情况如何?分析与解以球为研究对象，在平衡时受重力，绳上的拉力及墙壁对球的支持力，三力关系可由一系列闭合的矢量三角形来描述。其中重力为确定力，墙壁对球的支持力为方向确定力,如图2,取点O作表示重力的有向线段，从该箭头的端点作支持力N的作 用线所在射线，作从射线任意点指向O点且将图 形封闭成三角形的一系列有向线段它们就是绳子拉 力矢量。用曲线

3、箭头表示变化趋势，从图中容易分析绳子拉力不断增大，墙壁对球的支持力也不断增大，因上升的过程中图中角度0 在不断增大例2如图3装置，AB为一轻杆在B处用铰链固定于竖墙壁上，AC为不可 伸长的轻质拉索，重物W可在 AB杆上滑行。试分析当重物 W从A端向B端滑行 的过程中，绳索中拉力的变化情况以及墙对 AB杆作用力的变化情况。分析与解以AB杆为研究对象，用力矩平衡的知识可较为方便明确 AC 拉索中的拉 力变化情况，但不易确定墙对AB杆作用力的情 况。我们考虑到AB杆受三个力作用且处于平衡 A状态，则它们的作用线必相交于一点，这样三 力关系可由闭合的矢量三角形来描述。其中重 物对杆的拉力为确定力，拉索

4、对杆的拉力为方 向确定力，与上题类似。如图4,取0点作表示重物对AB杆拉力的有向线段，过 0点作绳索拉力的作 用线所在射线，从箭头端点作指向射线上任.、八点的有向线段，则就是墙对 AB杆的作用力.丿2、用曲箭头表明变化趋势。从图中可以看出：随着重 物从A端向B端移动的过程中，、的夹角0逐 渐减小，所以绳索的拉力不断减小，墙对 AB杆的作 用力先减小后增大。疋.综上所述，类型一问题的作图方法是：以确定力矢量为力三角形系的基准边， 在它的箭头端沿已知方向力的方向作射线， 从射线上的点作指向确定力矢量箭尾 的有向线段，（或在它的箭尾端沿已知方向力的方向作射线，从确定力矢量箭头作指向射线上的点的有向线

5、段），勾画出一簇闭合的矢量三角形，用曲箭头标明 动态趋势.由此可判断各个力的大小和方向的变化趋势.二、三力中有一个力确定.即大小、方向不变，一个力大小确定，这个力 的方向及第三个力的大小、方向变化情况待定增大弹簧秤B的拉力、增大P角增大弹簧秤B的拉力、P角不变增大弹簧秤B的拉力、减小P角B的拉力大小及P角，则下列调整方法 ）例3如图5所示，在“验证力的平行四边形定 则'实验中，用两只弹簧秤 A B把像皮条上的结 点拉到某一位置0,这时两绳套AO B0的夹角/ AOB =90°.现保持弹簧秤A的示数不变而改变其拉力方 向使a角减小，那么要使结点仍在位置 0处不动，就 应调整弹簧

6、秤 中可行的是（弹簧秤B的拉力大小不变、增大分析与解 本题中我们考察结点0,使之 处于平衡的三个力中，一个力（橡皮条上的拉 力F）大小方向均确定，一个力（弹簧秤A的拉 力Fa）大小确定，需判断第三个力（弹簧秤B的 拉力Fb）的变化情况.如图6所示，取0点为起始点，先作力F 的有向线段，以其箭头端点为圆心，表示大 小不变力Fa的线段长为半径作一圆，该圆的 每条矢径均为力Fa矢量，从该圆周上各点 指向0点的各有向线段便是弹簧秤 B的拉力 Fb矢量.这样我们勾画出表示可能的三力关系的三角形集合图.0O' A,在a角减小的前提下，线段 Fa、Fb二力互相垂直），故正确答7/ -/0图7例4如图

7、7所示，0处.现用一大小恒定的外力F（F < mg）曼慢将小球拉起，在 小球可能的平衡位置中，细线与竖直方向的最大的偏角是多 少？质量为m的小球，用一细线悬挂在点分析与解 本题中研究对象小球可在一系列不同位置处 于静止，静止时小球所受重力、细线上拉力及大小恒定的外力的合力总是为零. 力关系由一系列闭合的矢量三角形来描述， 这些三角形中表示重力的矢量边是公 共边，有一条矢量边长度相同.现在来作出这样的三角形簇：如图8所示，取点0为起始点，作确定不变的重力矢量 ，以其箭头端点为圆心，表示外力 F大小的线段长为半径 作一圆，该圆上各条矢径均可为已知大小的力矢量，该圆 周上各点指向0点并封闭形成

8、三角形的有向线段便是第三 个力即细线拉力矢量.这样我们得到了全面反映小球在可能 的平衡位置时力三角形集，方向的偏角最大为由图可知，表示线拉力矢量与重力矢量的线段与线段间的夹角最大为0 =arcsin G （线段作为圆的切线时）， 细线拉力总沿着线，故小球可能的平衡位置中，细线与竖直arcs in G通常类型二问题的一般作图方法是：以确定力矢量为力三角形系的基准边, 在它的箭头端以已知方向力为矢径作圆， 有向线段，画出一簇闭合的矢量三角形. 趋势.从圆周上的点作指向确定力矢量箭尾的 由此可判断未知力的大小和方向的变化三、三力中有一个力大小方向确定, 小变化情况另二力方向变化有依据。判断二力大如图

9、6所示，若初始状态三力关系如 变长，即Fb增大，而角P减小（刚开始, 案为选项C.0图9-rr-fA例5如图9所示,固定在水平面上的光滑半球，球心 0的正上方固定一个 小定滑轮，细线一端拴一小球.置于半球面上的 A点，另一 端绕过定滑轮，如图所示，现缓慢拉绳，使球沿半球面上升， t 小球对半球的压力Fn的大小，细线对小球拉力F的大小随 绳的拉动而变化的情况如何？分折与解小球在任意位置处于三力平衡状态，其中小球的重力为确定力， 其余两力大小不定方向变化，但两力的方向变化有依据：绳的拉力总沿绳收缩的 方向，半球对小球的支持力总沿着半径的方向。我们如图作力的矢量三角形图： 以0为起始端点，连接0O，

10、以此有向线段表示确定 力小球的重力.连接0'与小球所在位置A点，则此有 向线段表示球面对小球的支持力，最后连接A0两点, 则此有向线段表示绳子的拉力。当小球往上运动时， 动态变化趋势如图10所示可以清楚地看出有向11线段的长度始终等于球的半径长度，说明球面对小球 的支持力大小应不变，而绳子的拉力在不断减小.A球电量, （两球可看例6如图11所示，将一带电小球A用绝缘棒固定于水平 地面上的某处.在它的正上方I处有一悬点Q通过长度 也为I的绝缘细线悬吊一个与A球带同性电荷的小球B。 于是悬线与竖直方向成某一夹角0，现设法增大 则悬线0B对B球的拉力F的大小将如何变化？ 作质点）小球B受三个

11、力作用而平衡，重力，库仑力及细绳对球B的拉力,分折与解其中重力为确定力，另两个力的大小不定，方向变化，但我们知道绳的拉力总沿 着绳指向绳收缩的方向，库仑力总沿着两质点的连线。因此可归为类型三c我们可如图12作力的矢量三角形图：以0为起始端点, 连接0A以此有向线段表示确定力小球 B的重力， 以A小球为起点，连接A与小球B,则此有向线段表 示小球B受到的库仑力，最后连接B0两点，则此有向 R线段表示绳子的拉力。容易判断当小球 A电量增加时，小球B被库仑力排斥而往上运动，动态变化趋势 图12 如图一簇闭合的矢量三角形所示可以清楚地看出有向线段的长度始终等于绳 长，由于绳长不变，由此可知绳子的拉力大

12、小不变，有向线段长度在不断增加, 说明库仑力在不断增大综上所述，类型三问题的作图方法是：以确定力矢量为力三角形系的基准边， 将另二力按实际位置方向依据来确定，力矢量依次首尾相接，勾画出闭合的矢量 三角形，通过力三角形与物体在空间移动的约束条件比照，由此来判断各个力 的大小和方向的变化趋势。实际上，当物体受三力作用而处于平衡时，三力合力为零，表示三力关系 的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量（有向线段）依次恰好能首尾相接，其本质 即为学生在数学中所学的向量相加运算，因此向学生讲授三力关系的矢量图并不 增加教学的难度和学生的负担。另一资料:在静力学中，若物体受到三个共点力的作用而平衡，则这三个力矢量

13、构成 一封闭三角形，在讨论极值问题时，这一点尤为有用.團GC B扩Ni和挡板对球的作例4 一球重G,置于斜面和挡板间，已知斜面倾角为 a，挡板与斜 面的夹角为P，不计一切摩擦，求斜面对球的作用力 用力N2.若a不变而P可以改变，问P为何值时，N2最小?解析 如图7,球受三力作用：重力G、弹力Ni与N2，它们应构成一封闭三角形（如图8），从几何关系可得Gan（P - CL）沁（1妙-F）c沁（卩-3% = G * sm（匹-P）sin a二 G .sin Psin Q从N2的表达式可知，当 P =90°时，N2取极小值.例5 （选择题）如图9所示，绳0A、OB等长，A点固定不动，在手持B点沿圆弧向C点运动的过程中，绳0B中的张力将A .由大变小;CB.C.先变小后变大;解析设在某一位置，绳端在£TbaC T =