第一类Meixner多项式

1、第一类Meixner多项式多项式这形成了Sheffer序列为(1)(2)并有生成函数(3)给出的超几何级数通过(4)在哪里是Pochhammer象征(Koepf 1998,p . 1998)。前几个是(5)(6)(7)Koekoek和Swarttouw Meixner多项式没有定义(1998)Pochhammer象征作为(8)的Krawtchouk多项式是一个特殊情况的第一类Meixner多项式。参见:Krawtchouk多项式让是一个阶跃函数与跳(1)在1,在那里,。然后Krawtchouk多项式的定义(2)(3)(4)为1。最初几个Krawtchouk多项式(5)(6)(7)Koekoek

2、和Swarttouw(1998)没有领先的Krawtchouk多项式系数定义为(8)Krawtchouk多项式的权重函数(9)在哪里是函数,递归关系(10)和的平方准则(11)它有限制(12)在哪里是一个埃尔米特多项式.Krawtchouk多项式的一个特例第一类Meixner多项式.阶跃函数一个函数的实数是一个阶跃函数如果可以写成一个有限的线性组合半开的间隔。因此,一个阶跃函数可以写成在哪里 ,如果和0,否则 , ., .第二类Meixner多项式的多项式这形成了Sheffer序列为(1)(2)哪有生成函数(3)前几个是(4)(5)(6)参见:米塔格-莱弗勒多项式

3、多项式形成相关的Sheffer序列为(1)和有生成函数(2)给出一个明确的公式(3)在哪里是一个下降!,可以总结在封闭的形式超几何函数,函数,多函数。二项式身份联系在一起Sheffer序列是(4)米塔格-莱弗勒多项式满足递推公式(5)前几米塔格-莱弗勒多项式(6)(7)(8)(9)(10)米塔格-莱弗勒的多项式有关Pidduck多项式通过(11)(罗马1984年,p . 1984)。参见:Pidduck多项式多项式这形成了Sheffer序列为(1)(2)并有生成函数(3)前几个是(4)(5)(6)(7)Pidduck多项式相关米塔格-莱弗勒多项式通过(8)(罗马1984年,p . 1984)。

4、参见:Morgan-Voyce多项式Morgan-Voyce多项式多项式相关Brahmagupta和斐波那契多项式。他们定义的递归关系(1)(2)为,(3)替代复发(4)(5)与和,(6)(7)多项式可以给出明确的总结(8)(9)定义矩阵(10)给出了身份(11)(12)定义(13)(14)给了(15)(16)和(17)(18)Morgan-Voyce多项式相关斐波那契多项式通过(19)(20)(偶像1968 ab)。满足常微分方程(21)和这个方程(22)这些和其他几个身份涉及衍生品和多项式的积分是由专家(1968)。Brahmagupta多项式其中的一个多项式获得通过权力的Brahmagu

5、pta矩阵。他们满足递归关系(1)(2)许多其他的列表是由Suryanarayan(1996)。明确地,(3)(4)的Brahmagupta多项式满足(5)(6)最初的几多项式是(7)(8)(9)(10)(11)和(12)(13)(14)(15)(16)采取和给了等于佩尔多和等于Pell-Lucas数字的一半。Brahmagupta多项式相关Morgan-Voyce多项式的关系,但由Suryanarayan(1996)是不正确的。参莫特多项式多项式这形成了Sheffer序列为(1)并有指数生成函数(2)前几个是(3)(4)(5)(6)(7)(8)斯瓦米数量Narayan数量为,2,和 

6、;, .,解决了许多在组合计数问题。例如,给出了的表情对正确的括号匹配和控制不同的等嵌套。它也给数量戴克路径的长度与完全峰值。一个封闭的表达是由在哪里是一个二项式系数.总结了给出了加泰罗尼亚的数量列举作为一个三角形数被称为斯瓦米三角形.参见:加泰罗尼亚的数量加泰罗尼亚数字非负整数是一组数字中出现树枚举类型的问题,”有多少种方法可以有规律的百分度分为三角形如果不同方向分别计算?”(欧拉多边形划分问题)。解决方案是加泰罗尼亚的数字(聚(1956;Dorrie Honsberger 1956;1973;Borwein贝利,2003年,页21 - 22),如上图形插图(Dickau)。加泰罗尼亚数字通

7、常表示(Graham et al . 1994;斯坦利1999 b、p。219;Pemmaraju Skiena 2003 p。169;这项工作)(留有和杰克逊1983,p . 111),和一般少(van线头和威尔逊1992,p . 136)。加泰罗尼亚的数字实现Wolfram语言作为CatalanNumbern。最初几个加泰罗尼亚数字,2,是1、2、5、14,42岁,132年,429年,1430年,4862年,16796年(OEISA000108).显式公式包括(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)在哪里是一个二项式系数,是一个的阶乘,是一个双!,是函数,是一个超几何函数.加泰罗尼亚数字

8、可能推广到复平面,正如上文所述。金额给包括(8)(9)(10)(11)(12)在哪里是层功能和一个产品是由(13)金额包括包括生成函数(14)(15)(OEISA000108),指数生成函数(16)(17)(OEISA144186和A144187),是一个修改后的第一类贝塞尔函数,以及(18)(19)加泰罗尼亚的渐近状态数量(20)(瓦迪1991年,格雷厄姆et al . 1994年)。小数位数的数字为,1,是1、5、57、598、6015,60199,602051,6020590,(OEISA114466)。数字收敛到数字的十进制的扩张(OEISA114493).一个递归关系为是获得(21)

9、所以(22)Segner的递推公式在1758年由Segner,给出了解决方案欧拉多边形划分问题(23)与,上面的递归关系给出了加泰罗尼亚的数量 .从加泰罗尼亚数的定义,所有的主要因子小于。另一方面,为。因此,是最大的加泰罗尼亚'在做什么和唯一的加泰罗尼亚质数。(当然,比这更能说的分解 .)唯一的奇怪的加泰罗尼亚的数字是的形式。最初几个因此1,429,9694845,14544636039226909,(OEISA038003).奇怪的加泰罗尼亚的数字结束在5,除非以5扩张只使用数字0,1,2,所以这是极其罕见的长序列的随机以5位数只包含0、1和2。事实上,最后一位奇

10、怪的加泰罗尼亚的数字是1,5、9、5、9、5、9、7、5、5、5、5、5、(OEISA0943895),所以是最后一位至少除了1,3,5,7,8。加泰罗尼亚的数字出现在许多其他相关类型的问题。加泰罗尼亚的数量也给的数量二进制托架的字母(加泰罗尼亚语的问题),解决方案投票的问题三价的数量平面种植树木(Dickau;如上图),可能在一个国家的数量- - - - - -flexagon,不同的对角线可能的数量弗里兹模式与行,的数量戴克路径与中风,形成的多种方式倍指数,建立平面二叉树的数量内部节点,根面灌木图像的边缘的扩展二叉树与内部节点,山可以用的数量的一击,下行程,不相交握手可能跨之间的圆桌对人(

11、康威和盖1996)!加泰罗尼亚的泛化数据被定义为(24)(25)为彼得森(Klarner 1970,希尔顿和1970)。通常的加泰罗尼亚数字是一个特殊的例子 .提供的数量必要树与源节点,关联的方法一个给定的应用必要操作符,把一个凸的方法多边形成不相交的与nonintersecting -gons多边形对角线和的数量p-good路径从(0,)(希尔顿和他1991)。获得进一步概括如下。让是一个整数,让与,。然后定义,让的数量是p-good路径(1,)(希尔顿和他1991)。公式包括广义约拿的公式(26)显式公式(27)一个递归关系是由(28)在哪里 , ,(希尔顿和

12、他1991)。参Narumi多项式多项式这形成了Sheffer序列为(1)(2)哪有生成函数(3)前几个是(4)(5)(6)诺伊曼多项式多项式可以定义的总和(1)为,在那里是层功能。他们遵守递归关系(2)为。他们有积分表示(3)和母函数(4)(Gradshteyn和Ryzhik 2000,p . 990),和遵守诺伊曼微分方程.最初几个诺伊曼多项式给出(5)(6)(7)(8)(9)(OEISA057869).参见:诺伊曼微分方程的二阶常微分方程满意的诺伊曼多项式 .参见:Nørlund多项式Nørlund多项式(注意拼写Norlund也出现在各种出版物)是一个由C

13、arlitz名字(1960)和Adelberg多项式(1997)。这些都是在实现Wolfram语言作为NorlundBn,通过定义指数生成函数(1)(Carlitz 1960)。金额包括是由(2)(3)(1960年Carlitz,古尔德1960)。Nørlund多项式斯特林相关数据(4)和(5)(Carlitz 1960)。Nørlund多项式是一个特例(6)函数的有时被称为广义伯努利多项式,在现Wolfram语言作为NorlundB(n z。这些多项式的定义指数生成函数(7)的值小正整数和是由(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)的多项式有导

14、数(17)和麦克劳林级数(18)在哪里多项式的 .Pell-Lucas多项式Pell-Lucas多项式的是多项式生成的卢卡斯多项式序列使用发电机 ,。前几个是(1)(2)(3)(4)(5)他们是相关的佩尔多项式通过(6)参见:彼得斯多项式多项式这是一个泛化的吗布尔多项式,形成了Sheffer序列为(1)(2)并有生成函数(3)前几个是(4)(5)和(6)参见:Pidduck多项式多项式这形成了Sheffer序列为(1)(2)并有生成函数(3)前几个是(4)(5)(6)(7)Pidduck多项式相关米塔格-莱弗勒多项式通过(8)(罗马1984年,p . 1984)。参见:Po

15、isson-Charlier多项式Poisson-Charlier多项式的形成一个Sheffer序列与(1)(2)给生成函数(3)Sheffer身份是(4)在哪里是一个下降!(罗马1984年,p . 1984)。多项式满足递归关系(5)这些多项式分布在哪里是一个阶跃函数与跳(6)在,1,为。他们给出的公式(7)(8)(9)(10)(11)在哪里是一个二项式系数,是一个下降!,是一个有关拉盖尔多项式,是一个斯特灵第一种的数量,(12)(13)归一化,这样(14)在哪里是函数.最初几个多项式(15)(16)(17)(18)参见:拉卡多项式超几何类正交多项式的定义(1)为1,在那里是一个广义超几何函数,(2)下列之一(3)与一个非负整数.Schlafli多项式一个多项式的诺伊曼多项式通过参见:诺伊曼多项式多项式可以定义的总和(1)为,在那里是层功能。他们遵守递归关系(2)为。他们有积分表示(3)和母函数(4)(Gradshteyn和Ryzhik 2000,p . 990),和遵守诺伊曼微分方程.最初几个诺伊曼多项式给出(5)(6)(7)(8)(9)(OEISA057869).参诺伊曼微分