第二讲实数的运算

1、 春季同步课程 第二讲 实数的运算教学目标1.理解每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，而且是唯一的，会根据数轴来求绝对值、相反数和数轴上的两点之间的距离；2.知道实数基本运算的意义、运算法则、运算性质、运算顺序，并熟练应用；3.知道准确数、近似数、准确度、有效数字等的含义，掌握表述近似数精确度的两种方法，会按指定精确度取近似值.教学重点1.让学生从根本上认识到数轴上的数不仅仅是有理数；2.把有理数的运算推广到实数的运算，建立实数的基本运算系统；3.会用实数的运算法则和性质对算式进行化简；4.掌握精确数、近似数、准确度、有效数字等的含义及表示方法，对科学记数法有更好的掌握.教学难点1.用数轴

2、上的点来表示无理数的思考方法；2.实数运算要求快、稳、准，熟练度要达到.教学方法建议1.数形结合；2.讲练结合；3.以学生为主导，引导思考总结.第一部分 知识梳理一、用数轴上的点来表示实数1.实数的几何意义：任何实数都可以用数轴上的点来表示，反之，数轴上的点都可以用来表示一个实数，所以实数和数轴上的点是一一对应的.如图所示，点A就表示无理数.2.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内完全一样.（1）相反数：相反数的几何意义：分别位于原点的两边，且与原点的距离相等.相反数的代数意义：只有符号不同的两个数，互为相反数.零的相反数是零. 非零实数的相反数是. （2）倒数：如果表示一

3、个非零数，那么与互为倒数，如与互为倒数.（3）绝对值：绝对值的几何意义：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.实数的绝对值记作.绝对值的代数意义:正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.用式子表示为：.绝对值的求法：要先判断这个数是正数、负数还是零，再根据绝对值的意义确定去掉绝对值符号后的结果.若绝对值里面的数是非负数，那么这个数的绝对值是它本身，此时绝对值“”符号相当于小括号“（ ）”的作用；若绝对值里面的数是负数，那么这个负数的绝对是是它的相反数，这时，去掉绝对值符号，把绝对值里面的数添上括号，再在括号前加上“-”号.（4）相关性质：与互为相反数

4、，如；与互为倒数，如；互为相反数的两个数的绝对值相等，即.3.实数的大小比较：负数小于零；零小于正数. 两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小. 从数轴上看，右边的数所表示的数总比左边的点所表示的数小. 利用近似值法、几何法等都可以比较两个实数的大小.4.两点间的距离：在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为、，那么A、B两点间的距离是.若已知，则A、B两点间的距离可以简写成.二、实数的运算1.有理数的运算法则、运算性质及运算顺序的规定，在实数范围内任然适用.，先乘方、开方，再乘除，后加减，有括号先算括号里面的.注：开方和乘方属于同级运算. 实数都可以表示为小数（包括整数）的形

5、式，其中无理数是无限不循环小数，在实数运算中，对于涉及到无限小数的运算，可以根据保留几位小数的要求，取无限小数的近似值（有限小数）进行运算，逐步接近原来运算的结果，这样，实数的运算就转化为有限小数的运算. 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常利用实数的运算法则和运算性质对算式进行化简，其结果可能是化简了的一个算式，如、.2.当a是有理数时，要写成（乘号省略）3.开平方运算中的基本性质可以应用在计算中三、近似数和有效数字在实数运算中，常常要进行近似计算，现在我们对近似计算中有关的概念和问题，简要的进行整理和讨论. 我国的“神州六号”飞船搭载2位航天员进入太空轨道绕

6、地球飞行，飞船的3个舱位内有发动机52个，飞船上共有设备600余台，元器件10万多个.在上述数量中，2、3和52是准确数，而600、10万是近似数.1.准确数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数.2.近似数：与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数，也称近似值.3.14是圆周率的近似数，3.1416也是的近似数，两者有何区别呢？对于近似数，要考虑它与相对应的准确数的接近程度. 近似数的精确度：近似数对于准确数的接近程度的要求叫做精确度.近似数的精确度通常有一下两种表述方式：一种是精确到哪个数位，例如，指明圆周率的近似数“保留两位小数”（或“精确到百分位”，或“精确到0.01”），这时用“

7、四舍五入”法得到.另一种是指定保留几个有效数字.有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字. 例如保留“五个有效数字”，这时用“四舍五入”法得到.题型1：观察表格发现取近似数的几种说法之间的区别精确到0.01精确到十分位保留3个有效数字3.141593.143.13.1452.36752.3752.452.4题型2：近似数和科学记数法1.有几个有效数字？精确到哪一位？看有效数字时根据概念，有4个有效数字，精确到哪一位时需要展开成31410，看从左往右最后一个有效数字所在的数位，本题在十位，所以精确到了十位. 2.把0.00301

8、8按“四舍五入法”保留两个有效数字得到的近似数是0.0030，用科学记数法表示是.第二部分 例题精讲例 1 已知数轴上的三个点A、B、C对应的实数依次是、，O为原点，求：（1）AC的长度；（2）OB的长度；（3）BC中点表示的数.出题意图：考查数轴上的点来表示实数及数轴上的两个点之间的距离. 解析：（1）（2）数轴上的两点间的距离就是用较大的数减去较小的数的差.（3）BC中点所表示的数为B、C对应的实数和的一半，或者根据中点定义列方程求解.答案：解：（1）A、C对应的实数依次是、；（2）点B对应的数是，O为原点，；（3）法一：B、C对应的实数依次是、，且BC中点所表示的数是.法二：当然也可以用

9、方程的思想去完成，可以设BC中点表示的数是，根据中点的定义距离相等，可以得到：，解方程即可针对训练 1数轴上表示实数的点到原点的距离是 例 2 （1）； （2）出题意图：考查实数的基本计算 解析：（1）注意，要先求和，再开方.（2）化除为乘，运用公式.答案： 解：（1）；（2）=.针对训练 2计算： 例3 求下列各式的值：（1） ； （2）.出题意图：考查实数的计算，细节地方需要注意 解析：（1）这样的运算类似于合并同类项，根号前的系数相加减，而根式不变.（2）除号用分数线表示，利用约分进行计算.答案：解：（1） = = =（2） = = =针对训练3计算：（1）；（2）；（3）；（4）.例4

10、 精确到 位，有 个有效数字，它们是 .出题意图：精确度和有效数字的考查. 解析：在科学记数法表示的中，8是最后一个有效数字，它在哪一位上，就说精确度到哪一位.答案：万，两，3、8，根据精确度和有效数字的概念即可得到. 对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字.针对训练4近似数0.03020有效数字的个数和精确度分别为（）A.四个，精确到十万分位； B.三个，精确到十万分位；C.三个，精确到万分位； D.四个，精确到万分位.例5 若实数、在数轴上的位置如图所示，化简 出题意图：实数的化简和数轴 解析：图中的信息是：是负数，是正数，的绝对

11、值大于的绝对值，所以可以判断出：，. 答案:解：，=针对训练5已知， 求、的值.例 6 比较与的大小出题意图： 实数的大小比较的考查.解析：根据平方法进行大小比较. 答案: ，又，.针对训练6比较与的大小例7 已知、分别是的整数部分和小数部分，求的值.出题意图：无理数的整数部分和小数部分及条件求值问题的考查. 解析：先求出、的值，再代入求值.答案：解：因为，得的整数部分为1，的整数部分也为1，即，从而的小数部分为,所以 针对训练7求的整数部分和小数部分.针对训练7答案：整数部分3，小数部分.例8 实数、满足，确定的值出题意图：开平方运算有意义的条件及化简求值解析：根据解题，寻求突破口 答案:解

12、：因为，所以可得，所以，而且，所以，解之得：针对训练8已知实数满足，求的值例9 座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：秒），表示摆长（单位：米），假如一台座钟的摆长为0.5米，每摆动一个来回发出一个滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？（取3.14）出题意图： 实数近似计算及应用的考查.解析： 将米，代入（次），1分钟座钟发出约42次滴答声.答案:42次.针对训练9如图，是某装潢公司为用户设计的窗户截面图，上半部为半圆，下半部为长方形，用户要求窗户的透光面积是4平方米，并且窗户的高h是宽d的倍，问：制作这样的一个窗户需铝合金材料约多少米

13、.（结果保留两个有效数字）针对训练8答案：7.9m第三部分 优化作业基础训练题（A）1的相反数是_,绝对值是_。2在数轴上与1距离是的点，表示的实数为 3如图，在数轴上表示实数的点可能是 4.满足的整数是 5.把34261按“四舍五入”法精确到百位的近似数为 ，这个近似数有 个有效数字，分别是 6. 把7.820185按“四舍五入”法精确到千分位的近似数为 ，这个近似数有 个有效数字，分别是 7.近似数精确到 位，有 个有效数字，分别是 8.近似数4万精确到 位，有 个有效数字；近似数40000精确到 位，有 个有效数字.9.化简： = ，= 10.计算 = ；= 11.计算：= ；= 12.

14、计算：= ；= 13.计算：= 14.计算：= 15.若，则= 16.物体自由下落时，它所经过的距离（米）和时间（秒）之间可以用关系式来描述.建于1998的上海金茂大厦高420.5米，当时排名世界第三高楼.若从高340米的观光厅上掉下一个物体，自由下落到地面需 秒（精确到1秒）.17（2011闵行区二模）数轴上任意一点所表示的数一定是（）A、整数； B、有理数； C、无理数； D、实数.18.下列说法中错误的是（ ）A数轴上的点和全体实数一一对应 B若a、b为实数，则a+b>0C实数中没有最小的数 D实数中有绝对值最小的数19.下列语句中，错误的是（ ）A数轴上的每一个点都有一个实数与它

15、对应.B0.087用科学记数法可表示为.C某个银行整存整取的年利率为，其中这个数是近似数.D据统计，某校7班有45名学生，其中45这个数是精确数.20比较下列各组数的大小：（1）与 （2）与 （3）与 （4）与21.某球面体积为500立方厘米，求球半径的长度（取3.14，精确到0.01）22.计算：提高训练题（B）1.上海浦东磁悬浮铁路全长31千米，单程运行时间约为7.9分钟，其平均速度约为 米/分.（科学记数法，保留四个有效数字）2.若，则= ；若，则= 3化简4计算5计算6计算：7.先判断下列等式是否成立。（1） （ ）； （2） （ ）；（3） （ ）； （4） （ ）. 经判断，请你写

16、出用含有（的自然数）的等式表示上述各式规律： .8.探索 ， ，探索 ， （有个） 9.计算10.计算：11. 计算：12.求使下列各式成立的的范围：（1）；（2）13.从一块面积为90平方分米的正方形铁皮上，剪下一个最大的圆，剩下的铁皮面积是多少？（保留3个有效数字）.14.如图，已知四边形ABCD的面积是19972平方厘米，点E、F、G、H分别为正方形四条边的中线，依次联结点E、F、G、H得到正方形EFGH，则正方形EFGH的周长是多少厘米？综合迁移题（C） 1计算与求值（1）计算，（2）已知实数、满足，求的平方根2已知实数、满足，求的四次方根.3已知实数满足，求的值4先阅读下列的解答过程

17、，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b=m，ab=n，使得，那么便有： 例如：化简解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即，（1）填空： =_，=_（2）化简： 5.已知，且，求的值.参考答案：针对训练1解：由绝对值的几何意义可知，数轴上表示实数的点到原点的距离是.故答案为：.2. 解：=3.解：（1）=；（2）=；（3）法一：=（利用平方差公式）；法二：=（利用完全平方公式）；（4）=4.解：近似数0.030 20有效数字的个数和精确度分别为四个，精确到十万分位故选A5.解：由，可知，解之得： ，.6. （利用得进行比较）. 7. 所以.基础训练题（A）1.答案： ，2.答案：3.答案：点M4.答案: -1、0、15.答案：，3,3、4、36.答案：7.820,4,7、8、2、07.答案：百，2,7、08.答案：万位，1个；个位，5个.9.答案：、10.答案：8；.11.答案：；.12.答案：8；35.13.答案：1314.答案：215.答案：-116.答案：817.答案：D18.答案：B19.答案：C20.答案：（1）（2