考研数学二真题及解析

1、2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸.指定位置上.1-cos.x(i)若函数“x)= ax ,x>0在x=。处连续，则()b,x <01 ，一 1(A) ab(B) ab = -一 (C) ab = 0(D) ab = 22 2【答案】A1【解析】lim J cos豉 =lim 2= 工，：f (x)在x = 0处连续=' =b= ab =1.选 A. x 0 ax x ° ax 2a2a2、一 .一一、.一一" 一

2、(2)设二阶可导函数 “乂)满足£(1)="-1) = 1力(0) = -1且£就)>0,则()【答案】B【解析】01八f(x)为偶函数时满足题设条件，止匕时 Jf (x)dx = j0 f (x)dx ,排除C,D.1122取 f (x) =2x2 -1 满足条件，则 Lf(x)dx=L(2x -1)dx = -w<0,选 B. 3(3)设数列xn收敛，则()(A)当 limsin xn =0 时,lim xn =0n -n i-(C)当 lim( xn +xn2) =0 时，nimxn =0【答案】D(B)当 lim xn +/) =0时，nimx

3、n =0当侬xn +sin xn) = 0 时,nmxn =0【解析】特值法：(A)取xn =兀，有limsin xn =0,lim xn =冗，A错; n -n取xn = -1 ,排除B,C.所以选D.(B) Axe2x e2x(Bcos2x Csin2x)(4)微分方程的特解可设为(A) Ae2x e2x(Bcos2x Csin 2x)(O Ae2x+xe2x(Bcos2x+C sin 2x)(D) Axe2x+e2x(Bcos2x+ C sin 2x)【答案】A【解析】特征方程为：K2-4九+8 = 0= %=2±2i*2x 2x故特解为：y =y+y2=Ae +xe (Bco

4、s2x+Csin2x),选 C.(5)设f(x, y)具有一阶偏导数，且对任意的(x,y),都有, (x, y) > 0户(x,y) > 0 ,则 jx.:y(A) f (0,0) > f(1,1) (B) f(0,0) < f(1,1) (C) f(0,1)> f(1,0) (D) f(0,1)< f(1,0)【答案】C【解析】 旦当！2>0,fx上2<0,n f(x,y)是关于x的单调递增函数，是关于y的单调递减 二 x二 y函数，所以有 f(0,1) <f(1,1)< f(1,0),故答案选 D.(6)甲乙两人赛跑，计时开始时，

5、甲在乙前方10 (单位：mj)处，图中实线表示甲的速度曲线v=vi(t)(单位：m/s),虚线表示乙的速度曲线v=V2(t),三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3 ,计时开始后乙追上甲的时刻记为t0 (单位：s),则()(A) t0 =10(B) 15 <t0 <20【答案】B【解析】从0到t。这段时间内甲乙的位移分别为(C) t0=25(D) t0>25t0t0-0 V1(t)dtJ0 V2(t)dt,则乙要追上甲，则t0L V2(t) -V1(t)dt =10,当 t0 =25 时潴足，故选 C.0、(7)设A为三阶矩阵，P K%,5,10f3)为可逆矩阵，使得P/

6、AP =1，则A(%豆3 =<2>(A)二 1 二2【答案】B【解析】0P,AP=1k 因此B正确。(B) %+2%(C)5+%2 0 02(8)设矩阵 A = 0 2 1 , B = 0：0 0 1 _0(D) :1，2Z、0、=A(豆 1, 口 2,豆3)=(豆1,口2,豆3)1 =仪2+2 " 3,2；<21 01 0 02 0,C=0 2 0,则(0 1_0 0 2_(A) A与C相似，B与C相似(B) A与C相似，B与C不相似(C) A与C不相似，B与C相似(D) Af C不相似，B与C不相似【答案】B【解析】由,E-A =0可知A的特征值为2,2,1,1

7、 0 0、因为3(2£勺=1,.”可相似对角化，即A0 2 0<0 0 2由pE-B =0可知B特征值为2,2,1.因为3-r(2E-B)=2,.B不可相似对角化，显然 C可相似对角化，. AC,但B不相似于C.二、填空题：9214小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸.指定位置上. 曲线y = x M +arcsin 2 1的斜渐近线方程为【答案】y = x 2【解析】trPt=0(10)设函数y = y(x)由参数方程x= e确定，则 ? y =sintdx1 【答案】8【解析】(11)二"dx .0 (1 x)2【答案】1【解析】(12)设函数 f (x

8、, y)具有一阶连续偏导数，且 df (x, y) = yeydx + x(1 + y)eydy , f (0,0) = 0 ,则 f (x, y) =【答案】xyey【解析】fx'= yey, fy1r=x(1+y)ey, f (x,y) = J yeydx-xyey +c(y),故 fy' = xey + xyey + c'(y) = xey + xyey ,因止匕 c'(y)=0,即 c(y)=C ,再由 f(0,0) =0,可得 f(x, y) = xyey. 【答案】【解析】(13)1dy1Jx 二0 y x【答案】Incosl.【解析】交换积分次序:

9、11 tan x0dy.dx x1 x=0dx 0tan x1dy = Qtan xdx = In cos1.4 1(14)设夕!阵A = 1 23 1【答案】-1-2 Ia的一个特征向量为-11、1 ,贝 a= a.x -tetdt令xt =u ,则有(16)(本题满分10分)设函数f (u,v)具有2阶连续偏导数,y = f (ex,cosx)，求曳 dx，吟xw dx2x=01、【解析】设ot = 1 ,由题设知Aot =九口，故<2>故 a - -1.三、解答题：15 23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.(15)(本题

10、满分10分)求极限lim二0 x-0 【答案】dy=f；(1,1)船| =f；(1,1),dxxdx【解析】结论：n k k(17)(本题才两分10分)求lim乙2ln . 1 + n -k4 n . n【答案】14【解析】(18)(本题满分10分)已知函数y(x)由方程x3+y3 -3x + 3y - 2 = 0确定，求y(x)的极值【答案】极大值为y(1)=1 ,极小值为y(-1)=0【解析】两边求导得:223x +3y y'-3+3y'=0(1)令 y' = 0得 x = ±1对(1)式两边关于 x 求导得 6x+6y(y)2+3y2y''

11、;+3y'' = 0(2)x = 1 x = -1将x = ±1代入原题给的等式中，得/or，,y =1y=0将 x=1,y=1 代入(2)得 y”(1)=1<0将 x = -1,y=0 代入(2)得 y”(-1)=2>0故x=1为极大值点，y(1) = 1 ； x = 1为极小值点，y(1) = 0(19)(本题满分10分)设函数f(x)在区间0,1上具有2阶导数，且f(1>0,iimfx) <0, x-0 x证明:(D方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根;(口)万程f(x)f (x) +(f (x)2 =0在区间(0,1)内至

12、少存在两个不同实根。【答案】【解析】 f(x)二阶导数,f(1)>0,lim,f(x)<0x 0 x解：1)由于lim，)c0,根据极限的保号性得X 0. x至 >0,VxW(0,6)有 f(x <0,即 f(x)<0 x进而%W (0,6)有f (3 )<0又由于f(x)二阶可导，所以f(x)在0,1上必连续 那么f(x)在6,1上连续，由f(6)<0,f(1)>0根据零点定理得：至少存在一点 心(6,1),使f(D=0,即得证(II )由(1)可知 f (0) =0,共10,1)，使fK) =0,令 F(x) =f(x)f'(x),则

13、 f(0) = f( 9 6由罗尔定理 加0'),使 f'(，=0 , WJ F(0)=F)=Fd)=0,对F(x)在(0,"),(刈5)分别使用罗尔定理：小(0,打)人亡”少且、,叫w(o,i),q黄”,使得 f(q)= f02)= 0,即2F '(x) = f (x)f''(x)+(f'(x) ) =0在(0,1)至少有两个不同实根。得证。2(20)(本就才两分11分)已知平面区域D=(x, y)|x +y W2y,计算二重积分f(x+1)dxdyD4【解析】2225-2111；x 1 dxdy = x 1 dxdy = 2 lx

14、dxdy，11 dxdy = 2 02 d1 ° r cos id 二二一DDDD4(21)(本题满分11分)设y(x)是区间,0,3 i内的可导函数，且y(1)=0,点P是曲线L:,2y = y(x)上任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0,Yp)，法线与x轴相交于点(Xp,0), 若Xp=Yp,求L上点的坐标(x, y)满足的方程。【答案】【解析】设 p(x, y(x)的切线为 Y-y(x) = y'(x)(X-x),令 X = 0得Yp = y(x) - y'(x)x ,法线1Y y(x) = (X x ),令Y =0得 Xp = x + y(x)y (x

15、)。由 Xp = Yp得 y xy (x) = x + yy (x),y (x)即 2 +1 y (x) = ¥ -1。令"=u ,则 y = u x, xxx按照齐次微分方程的解法不难解出1,2ln(u 1) arctan u = -ln | x| C , x(22)(本题满分11分)设3阶矩阵A =(%, %, % )有3个不同的特征值，且=二1+2«2(I)证明：r (A) = 2(I )咯；(II )通解为k,V+ 1 ,k w R(口)若P =% +% +口3,求方程组Ax = P的通解【答案】 【解析】 (I)证明：由33 sl +2%可得%+2%-3

16、3 =0 ,即,%,%线性相关,因此，A 二|3u2 a3 =0 ,即A的特征值必有0。又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0,另外两个非0.且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为 A= M21手手00°，.r(A)=0=2(II )由(1) r(A)=2,知3-r(A)=1,即Ax =0的基础解系只有1个解向量,1、则Ax = 0的基础解系为2-'1 )1 )由3 +2a2 _口3 =0 可得 01«2,63 ) 2=A 2=0,vb H1、又 P =% +a2 +a3,即(%，4,0 ) 1 = A 1,则Ax = P的一个特解为1。1 rr综

17、上，人乂 =日的通解为k 2+1 ,kWR L J(23)(本题满分11分)设二次型222 -a-上f (为，x2, x3) = 2x1 -x2 +ax3 +2x1x2 -8x1x3 +2x2x3在正父变换X=QY下的标准型%y12+%y2,求a的值及一个正交矩阵Q.【答案】a = 2;Q =131一 3131,201216b276166 )242f x 二 Qy 3%6 y2【解析】21-4af (x1，x2,x3)=XTAX ,其中 A= 1-11L 1 a由于f(x1,x2,x3)= xtax经正交变换后，得到的标准形为 兀yj + 殳y；1-4-11 = 0n a = 2 ,1 a2故

18、 r(A) = 2= | A|=0 = 1-42 214 ,将a =2代入，满足r (A) = 2 ,因此a = 2符合题意，此时A = | 1 -1 1 ，则I-4 1 2 >2-2 -14MEA|= -11 +1-1 =03兀=4,七=0,% =6，4-1九-21由(-3E - A)x =0 ,可得A的属于特征值-3的特征向量为%=_1 ；1、由(6E -A)x=0,可得A的属于特征值6的特征向量为支2 = 0 /1由(0E-A)x=0,可得A的属于特征值0的特征向量为q= 2，-3、令PX%,4,4 ),则P,AP=6,由于%,口2,63彼此正交，故只需单位化即可:<01T

19、-1T -1T3 =存11) , P2 =/(-1,0,1 ) , 03 =笈(1,2,1 ) , ,则 Q =-2 ：3 =1：31,3131而266166 ,QTAQ =-3602016年考研数学二真题、选择题 1 8小题.每小题4分，共32分.11 .当xt 0 +时，若ln0（1 +2x） , （1-cosx严均是比x高阶的无穷小，则«的可能取值 范围是（）(A) (2,二)(B) (1,2)1（C）（万,1）, 、1(D) (。,2)2.下列曲线有渐近线的是(A) y = x sin x2./ 、. 12. 1(B) y = x +sinx (C) y = x + sin(

20、D) y=x +sin一xx1. y1【详斛】对于yr+sin，可知xma且广加期叱二o,所以有斜渐近应该选（C）3 .设函数 f(x)具有二阶导数,g(x) = f( 0)(1 x)+M1)x,则在0,1上()(A)当 f'(x)之 0 时，f(x)>g(x)(B)当 f'(x)之 0 时,f(x)三 g(x)(C)当 f "(x)至0 时，f (x) >g(x)(D)当 f 7 x) > 0 时,f (x) M g(x)4 .曲线）x =t2 +7,2 .y = t +41 +1上对应于t = 1的点处的曲率半径是（110(C) 10 忑0 (D

21、) 57101005.设函数 f (x) = arctan x ,若 f(x) = xf'(。，贝hi(D)(A) 16.设u（x,y）在平面有界闭区域 D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足旦u ¥0及 x :丫(A) u(x, y)的最大值点和最小值点必定都在区域 D的边界上;(B) u(x, y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部;(C) u(x,y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域 D的边界上;(D) u(x,y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域 D的边界上.7.行列式0 cd 0(A) (ad -bc)22(B) -(ad -bc)(C

22、) a2d2 -b2c2(D) -a2d2 +b2c28.设%,ct2,% 是三维向量，则对任意的常数k,l ,向量%+kcc3, «2 + 1ct3线性无关是向量%产2, 口3线性无关的(A)必要而非充分条件(C)充分必要条件(B)充分而非必要条件(D)非充分非必要条件二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)9. j-1dx=.- x 2 x 510 .设f (x)为周期为4的可导奇函数，且f'(x) = 2(x-1),xw b,2,则f(7 户11 .设 z = z(x,y)是由方程 e2yz + x+y2 +z = 7确定的函数，则 dz

23、|口 1、=. 4w，w(JI JI 、12 .曲线L的极坐标方程为r = 8 ,则L在点(r,8) = 一,一 |处的切线方程<2 2 J为.13 . 一根长为1的细棒位于x轴的区间0,1上，若其线密度P(x) = -x2 + 2x + 1,则该细棒的质心坐标x =-14 .设二次型f(x1, x 2, x 3 ) = x；-x 2 +2ax1 x3+4 x? x 3的负惯性指数是1,则a的取值范 围是.三、解答题15 .(本题满分限 极 求16 .(本题满分10分)1(t2(et -1) -t)dt1x2 ln(1 ) x10分)已知函数y = y(x)满足微分方程x +y y

24、9; = 1y',且y(2)= 0,求y(x)的极大值和极小 化17 .(本题满分10分)r :x x,xsin(二 x2 y2) 设平面区域 D = '(x, y) 11 三 x y 三 4, x ：- 0.y :二 0 . 计算 :dxdyd x y18 .(本题满分10分)-2. 2设函数f(u)具有二阶连续导数，z= f(excosy)满足 3+£ = ( 4 z + excosy)e2 x.若 二 x: yf(0) = 0, f'( 0) =0,求 f(u)的表达式.19.(本题满分10分)设函数f(x), g(x)在区间a.b】上连续，且f(x)单

25、调增加，0 M g(x)< 1 ,证明:(1) 0 - a g(t)dt- x -a, x 三匕,b；a+g(t)dtb(2) i f(x)dx W J f (x)g(x)dx.aa20 .(本题满分11分)设函数f(x) x ,x 0,11，定义函数列 1 x f1 (x)=f(x), f2(x)=f(f 1 (x),，fn(x)= f(fn"x),设Sn是曲线y = fn(x),直线x =1, y = 0所围图形的面积.求极限|imnSn .21.（本题满分11分）已知函数 ”*,丫)满足f= 2(y +1),且 f(y,y) = (y + 1)2 (2 y)lny,求曲线

26、 f(x,y) = 0 :y所成的图形绕直线y = -1旋转所成的旋转体的体积.22.（本题满分11分)设人=-2123-10-413,E为三阶单位矩阵.（1）求方程组AX=0的一个基础解系;（2）求满足AB = E的所有矩阵.23 .（本题满分11分）证明n阶矩阵00相似.2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题选择题:1 L 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上.卜列反常积分收敛的是（）(A)二ln xdx x(C)dx xln x(D)：4dxx x2 e2. x函数 f x =叫(1 s

27、nt)T在（_00,代）内（）(A) (B) (C) (D)连续有可去问断点有跳跃间断点有无穷间断点设函数f x =x"-x0.(U >0,P >0),若 f'(x)在 x=0 处连续则：()Q,x <0(B)(C) - - B、，2(D)0 :二:-_ 2 设函数f(x)在(Q,收)内连续，其中二阶导数f ”(x)的图形如图所示，则曲线y = f (X)的拐点的个数为()(A) 0 (B)1(C)2 (D)3(5)设函数f (u,v)满足f,x+y*=x2-y2，则生一与包一依次是() IxJ£u 一加一1 1-11(A) 2,0(B)0,2(C

28、)-2,0(D)0，-2(6)设D是第一象限由曲线2xy = 1, 4xy=1与直线y = x, y = J3x围成的平面区域，函数 f (x,y )在 D 上连续,则 JJf(x,y)dxdy=()D二1 .(A) ：3d【sin”f rcosu, rsin【rdr42sin 2 二二1(B) 3dsin" f rcosijsinrdr42sin 2 二二1 .(C) 3d , !sin* f rcosi,rsinF dr4 2sin2 1二1(D) 3dsin271 f rcosi,rsin ? dr4- 2sin 2 11设矩阵A= 1<11a , b =2 a1d .若

29、集合。=1,2八则线性方程组92Ax = b有无穷多解的充分必要条件为()(A) a ''1, d 1(B) a '1 1d 'J(C) a ；d(D) a 1 d 11(8)设二次型f(x1,x2,x3 )在正交变换x = Py下的标准形为2y2+y；-y2,其中P =(ei,e2,e3),若 Q =(ei,-e3,e2)则 f = (xi, x2,X3)在正交变换 x = Qy下的标准形为 ()(A) 2yi2 -yf Y (B)2y2 y2 y2222222(C) 2yi -y2 -y3(D)2yi y2 y3二、填空题：9._ 14小题，每小题4分，共2

30、4分.请将答案写在答题纸 指定位置上.x = arctant y =3t t3d2y dx2t=i -(10)函数f (x) =x2 2x在x =0处的n阶导数f n(0) =x(11)设 f (x)连续，巴x)= xf(t)dt,若巴1)= 1押1尸5,则 f(l)= (12)设函数y=y(x )是微分方程y'' + y'-2y = 0的解，且在x = 0处y ( x)取得极值3,则y x =.(13)若函数Z =z(x, y )由方程ex划由z+xyz =1确定，则dz ”)=.(14)若3阶矩阵A的特征值为2,-2,1 , b=a2_a + e ,其中E为3阶单位

31、阵，则行列式 B| =.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答.题纸指定位置上.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx, g(x)=kx3.若 f(x)与 g(x)在 xt 0 时是等价无穷小，求a,b,k的值.JI(16)(本题满分10分)设A>0, D是由曲线段y = Asinx(0 Mx<)及直线y = 0, x =一所围成的平面区域，V1,22V2分别表示D绕x轴与绕y轴旋转成旋转体的体积，若V1 =V2 ,求A的值.(17)(本题满分11分)已知函数 f (x,y)满足 fxy&

32、quot;(x,y) =2(y+1)ex , fx (x,0) = (x+1)ex, f (0, y) = y2+2y ,求f (x, y)的极值.(18)(本题满分10分)计算二重积分 JJx(x + y)dxdy,其中 D =(x,y) x2 十 y2 E2, y r2 D(19)(本题满分11分)已知函数f (x户Jx石+t2dt + ：2布idt ,求f (x )零点的个数？(20)(本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为 1202的物体在20c的恒温介质中冷却，30min后该物体降至30 P ,若要

33、将该物体的温度继续降至 21七，还需冷却多长时 问？(21)(本题满分10分)已知函数f(x)在区间la,+6上具有2阶导数，f(a)=0, f'(x)>0, f''(x)>0,&b>a ,曲线y= f (x)在点(b, f (b)处的切线与x轴的交点是(x0,0),证明a :二 x0 : b .(22)(本题满分11分)a 10 "设矩阵A= 1 a -1且a3=O.p 1 a J(1)求a的值；若矩阵X满足X -XA2 -AX +AXA2 = E , E为3阶单位阵，求X .(23)(本题满分11,02设矩阵A = -13<

34、1-2分)-3-3相似于矩阵B =a /110 I0-2 0、b 03 1(1)求a,b的值;(2)求可逆矩阵P,使P<AP为对角阵.2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 18小题.每小题4分，共32分.1 .设 cosx -1 = xsina(x),|a(x) < y ,当 x t 0 时，豆(x)()(A)比x高阶的无穷小(B)比x低阶的无穷小(C)与x同阶但不等价无穷小(D)与x等价无穷小2 .已知y = f(x此由方程coSxy )ln y+x = 1确定，则limn) n " n(A) 2(B) 1(C) -1(D) -2sin x, x w

35、 0,n)(t)dt 则()F(x) = j2, xwn,2n(A)x = n为F (x)的跳跃间断点.(B) x=n为F(x)的可去问断点.(C)F(x)在x = n连续但不可导.(D) F(x)在x = n 可导.1.c1,1 <x <e f(x)H(x-1)x exln 1x,x且反常积分也f(xdx收敛，则()(A) ： ： -2(B) a 2(C) - 2 ： a :二 0(D) 0 ：2A的行向量组等价.A的列向量组等价. B的行向量组等价. B的列向量组等价.5 .设函数z=Y f(xy ),其中f可微，则兰三+乌=()1 a8.矩阵a bJ a17 pa与矩阵01)

36、100 0b 0相似的充分必要条件是0 0 ,xy ：xt y(A) a =0,b =2(B) a = 0, b为任意常数(C) a =2,b =0(D) a = 2, b为任意常数、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)19.10.ln(1 x) xlim 2 =.x Q X设函数f (x) = J J1 _etdt ,贝U y = f (x)的反函数x = f,(y)在y = 0处的导数 dx| 一 dy yz011 .设封闭曲线L的极坐标方程为r =cos3e'-土w工jt为参数，则L所围成的平面 乂 66J图形的面积为.x =arctant12 .

37、曲线上J:一对应于t =1处的法线方程为 .y = ln 5 +t13 .已知y1 =e3x -xe2x,y2 =ex-xe2x,y3 = -xe2x是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足 y(0) =0,y'(0) =1方程的解为.14 .设A = bj原三阶非零矩阵，A为其行列式，Aj为元素aj的代数余子式，且满足Aj +aj =0(i,j =1,2,3),则 A=.三、解答题15 .(本题满分10分)当xt0时，1 -cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小，求常数a,n .16 .(本题满分10分)设D是由曲线y =% ,直线x = a (a > 0)及x轴所

38、转成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10Vx = Vy,求a的值.17 .(本题满分10分)设平面区域D是由曲线x =3y, y =3x, x + y =8所围成，求ff x2dxdy .18 .(本题满分10分)设奇函数f(x)在1,1 上具有二阶导数，且f (1)=1,证明:(1)存在其(0,1),使得 f'(0=1 ；(2)存在 n (_1,1),使得 f “(“)十 f。)=1 .19 .(本题满分10分)求曲线x3 -xy +y3 =1(x >0,y >0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.20 .(本题满分11)1设函

39、数 f (x) = ln xx求f (x)的最小值；设数列 匕满足lnxn +'<1,证明极限lim xn存在，并求此极限. xn 1n，二21 .(本题满分11)设曲线L的方程为 y = x2 - ln x(1 < x < e). 42(1)求L的弧长.(2)设D是由曲线L,直线x=1,x=e及x轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标.22 .本题满分11分)1 aF0 1设A= 1 a ,B= 0 1 ,问当a,b为何值时，存在矩阵 C,使得AC-CA=B,并求出 <1 0；J bJ所有夕!阵C.23 (本题满分11分)"(V设二次型 f (Xi,

40、X2,X3)=2(a1、+a2x2 +a3x3)2+("Xi+b?x2+b3x3)2 .记a = a2 , P = b2 .<a3.J<b3J(1)证明二次型f对应的矩阵为2g T + PP T ；(2)若巴 B正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2yl2+y2.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸.指定位置上.2 曲 线 y=S 的 渐 近 线 条 数 x -1()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3 设函数f (x)

41、=(ex 1)(e2x 2)H|x n),其中n为正整数，则f "(0)=()(A) (-1)nl(n -1)!(B)(-1)n(n -1)!(C)(-1)n,n!(D)(-1)nn!(3)设 an >0 (n =1,2,3 U),Sn =a+a?+a3+IH+an ,则数列 Sn有界是数列an收敛的()(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)非充分也非必要k(4) 设 Ik=( ex sinxdx,(k =1,2,3)，贝有()(A) Ii ：“2 ：“3 (B) I3 门2 门1(C)I2 ：二 I3 门1(D) I2 门1 门3(5)设函数f(x,

42、y)为可微函数，且对任意的x,y都有g4义A0,三义)<0,则使不等式二 x二 y“。y)Af (x2, y2)成立的一个充分条件是(6)x1 :二 x2,y1：二y2(D)x1:二x2,yy?ii(x5y -1)dxdy =D(A) x1 x2, y1 j (B)x1 x2,y1 y2 (C)设区域D由曲线y =sinx,x = ±,y =1围成,()(A)二 (B) 2七 '''0(7)设 010 , 02 = 1c1 )c2向 量 组()(C) -2“3=12(D)-二1、.=1,其中g,C2,C3,C4为任意常数，则下列<C4 J性 相 关

43、 的 为(A) %,电，电(B)0C1 , C/2 , 0C4(C)%, %, &(D)叼，E3, 0C4(8)设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵，且1 0 0、P-AP =0 1 0 .若 P=(的，“2,的),<0 0 2JQ=a1+oc2,oc2,oc3 )(),彳00 ,(A)020(B)©0bQ-1AQ =10 0、2 0 0、少0 0、0 1 0(C)0 1 0(D)0 2 0<0 0 2><0 0 2><0 0 1，、填空题：9-14小题,每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸 指定位置上. 设y = y(x)是由方程x2 -

44、y+1=ey所确定的隐函数，则 =|x包dx 一)1(11)5 J 1设 z = f ln x +一【 y J，其中函数f(u )可微，则Z 2 Zx y 二.x Fy(12)微分方程ydx十(x - 3y2 )dy =0满足条件y xm =1的解为y =.(13)一 。、工曲线y =x +x(x <0 )上曲率为的点的坐标是(14)设A为3阶矩阵，| A =3, A*为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B ,*贝 U BA =.三、解答题：15-23小题，共94分.请将解答写在答题纸.指定位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)已知函数 f

45、 (x )=-一,记 a = lim f (x),sin x xx 0(I)求a的值；(II)若xT0时，f(x)-a与xk是同阶无穷小，求常数k的值.(16)(本题满分10分)x2 -y2求函数f(x, y)=xe 2的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线L:y =lnx的切线，切点为A,又L与x轴交于B点，区域D由L与直线 AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分10分)计算二重积分fjxydcr ,其中区域D为曲线r =1+cose(0MH En )与极轴围成.D(19)(本题满分10分)已知函数 f(x)满足方程 f *(x)+f(

46、x) 2f (x) =0 及 f “(x)+f (x) = 2ex,(I) 求f (x)的表达式；x(II) 求曲线 y= f(x )( f(-t )dt 的拐点.(20)(本题满分10分)1 - xx2证明 xln cosx _1 , (-1 :： x :： 1).1 -x2(21)(本题满分10分)(I)证明方程xn+xn-1 +|+x=1 (n>1的整数)，在区间,1 1内有且仅有一个实根;(II)记中的实根为xn证明lim xn存在，并求此极限. n(22)(本题满分 111a100分) 011)-10<0)(I)计算行列式|A ；(II)当实数a为何值时,方程组Ax =P

47、有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 1已知A =0-1<0分)010a-1,二次型 f(x1,x2,x3 )= xT (AT A )x 的秩为 2,(I)求实数a的值;(II)求正交变换x =Qy将f化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题选择题：18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。(1)已知当 xt 0 时，函数 f (x) =3sin x sin3x与cxk是等价无穷小，则(A) k =1,c =4(B)k = 1, c - -4(C) k =3,c =4(D)k

48、 =3,c =-4(2)设函数f (x)在x=0处可导，且f(0)=0,则limx_023x f(x) -2f (x )(A) -2f (0)(B) - f (0)(C) f (0)(D) 0(3)(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3函数f(x)=ln(x-1)(x-2)(x-3)|的驻点个数为(4)微分方程y*-九2y =e'x +e1'x(九0)的特解形式为(A) a(ex e-x)(B) ax(e x - e-'x)(C) x(aex be-x)(D) x2(ae x be")(5)(A) f"(0)<0, g*(0)A0(B) f&

49、quot;(0)<0, g " <0(C) f 70)>0, g*(0)>0(D) f"(0)>0, g " <0(6)设 I = 'lnsinxdx , 为()J =lncotxdx，K =JI4 ln cosxdx,则I , J , K的大小关系设函数 f(x), g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)A0, g(0) <0, f'(0) = g'(0) = 0则函数z= f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是(A)I :二 J 二 K(B) I :二 K :二 J(D)K

50、 :二 J ： I(C) J 二 I K设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B ,再交换B的第2行与第31 0行得单位矩阵。记Pi =1 10 , P2 = 10 0 1 ，则 A =(10 0 1J101 0.)(A) RP2(B) P/P2(C) P2P1(D) P2R(8)设AWai，阳,也)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵。若(1,0,1,0)T是方程组Ax = 0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为()(A)：'1, ：-3(C) ：1, ： 2/ -3(D) ：-2,：-3,：-4、填空题：914小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸 指定位置上。(9)

51、 limX_0(10)微分方程y+y =e，cosx满足条件y(0)=0的解为y =x(11)曲线 y = (tantdt (0£*£1)的弧长$ =(12)设函数 f(x)=.e上，x 0,0, x <0,九 A0,贝 (xf(x)dx =(13)设平面区域D由直线y =x ,圆x2+y2 =2y及y轴所围成，则二重积分iixyd 二二D(14)二次型 f (xi, X2,X3)=x2 +3x2 +x1 +2x1X2 +2x1X3 +2x2X3 ,则 f 的正惯性指数 三、解答题：1523小题，共94分。请将解答写在答题纸 指定位置上，解答应宇说明、证明过程或演算步

52、骤。(15)(本题满分10分)已知函数F(x)=x20 ln(1 +t )dtCtX,设JimF (x) = lim+F (x) = 0 ,试求a的取值范围。(16)(本题满分11分)J + 1X = t t -,设函数y=y(x)由参数方程33 确定，求y = y(x)的极值和曲线J + 1y =-t -t33y = y(x)的凹凸区间及拐点(17)(本题满分9分)设函数z= f (xy, yg(x),其中函数f具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在x=i处取得极值g(i)=1,求qz|。x 一y x 青(18)(本题满分10分)设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l : y = y(x)

53、与直线y = x相切于原点，记ct为曲线l在点(x,y)处切线的倾角，若里=曳，求y(x)的表达式。dx dx(19)(本题满分10分)(I)证明：对任意的正整数n ,者B有，ln1+工工1成立。n +1 I n ) n(II )设an =1 +1+工-ln n(n =1,2,),证明数列专口收敛。 2 n(20)(本题满分11分)一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x = 口xyfxy(x, y)dxdy。 D(22)(本题满分11分) 设向量组 % =(1,0,1)T , %=(0,1,1)二 %=(1,3,5)T 不能由向量组 胤=(1,1,1): =(1,2,3)T , B3=(3,4,a)T 线性表示。(I )求a的值;(II )将耳鼠3用%,%,三线性表示。 +y2 =2y(y 上 1)与 x2 +y2 =1(y M1)连接而成。22(I)求容器的容积；(II )若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(