运筹学第1章线性规划课件

1、第一章第一章 线性规划线性规划(Linear Programming)线性规划问题及其数学模型线性规划问题及其数学模型线性规划图解法线性规划图解法线性规划问题解的性质线性规划问题解的性质 单纯形法单纯形法 单纯形法的其他问题讨论单纯形法的其他问题讨论 线性规划应用举例线性规划应用举例 WinQSBWinQSB软件应用软件应用第一节第一节 线性规划问题及其数学模型线性规划问题及其数学模型 产产 品品资资 源源 甲甲乙乙每天可用于产品生产每天可用于产品生产的资源量的资源量设备设备1116材料材料A3236材料材料B565利润（元）利润（元）9070【例【例1-11-1】已知某企业生产资料如下表所示

2、，问如何安排生产】已知某企业生产资料如下表所示，问如何安排生产才能企业使利润最大？才能企业使利润最大？数学模型：数学模型： x1 0 , x2 0s.t.一、线性规划问题的提出一、线性规划问题的提出设甲产品的生产量为设甲产品的生产量为x x1 1, ,乙产品的生产量为乙产品的生产量为x x2 2，则：，则：217090maxxxz1621 xx362321 xx6552x 【例【例1-21-2】设某种动物每天需要摄入的蛋白质、矿物质、维设某种动物每天需要摄入的蛋白质、矿物质、维生素的最低量及生素的最低量及A A、B B、C C、D D、E E五种饲料每公斤营养成分的含五种饲料每公斤营养成分的含

3、量及单位价格如下表所示。要求既满足该种动物每天营养成分量及单位价格如下表所示。要求既满足该种动物每天营养成分的需要量，又使总的费用最省。的需要量，又使总的费用最省。 目标函数：目标函数： 满足约束条件满足约束条件 A AB BC CD DE E每天最低摄入量每天最低摄入量( (克克) )蛋白质蛋白质( (克克) )矿物质矿物质( (克克) )维生素维生素( (克克) )3 31 10.50.52 20.50.51 11 10.20.20.20.26 62 22 218180.50.50.80.87007003030100100价格价格( (元元/ /千克千克) )2 27 74 43 38 8

4、设设 为第为第j j种饲料的每天使用量，则：种饲料的每天使用量，则：jx5432183472minxxxxxz0,1008 . 022 . 05 . 0305 . 022 . 05 . 07001862354321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 线性规划问题数学模型的组成要素：线性规划问题数学模型的组成要素： 二、线性规划问题数学模型的一般形式二、线性规划问题数学模型的一般形式 (1) (1)变量，或称决策变量，它们是问题中所要解决的未知量，变量，或称决策变量，它们是问题中所要解决的未知量，表明规划中用数量表示的方案、措施，可由决策者决定和控制；表明规划

5、中用数量表示的方案、措施，可由决策者决定和控制； (2) (2)目标函数，是决策变量的函数，按问题的目标不同分别目标函数，是决策变量的函数，按问题的目标不同分别在这个函数前加上在这个函数前加上maxmax或或minmin； (3) (3)约束条件，由一组含决策变量的等式或不等式组成，约束条件，由一组含决策变量的等式或不等式组成，表明决策变量取值时所受到的各种资源条件的限制。表明决策变量取值时所受到的各种资源条件的限制。 假定线性规划问题中含有假定线性规划问题中含有n n个决策变量个决策变量x xj j(j(j1 1，n)n)，在目标函数中在目标函数中x xj j的系数为的系数为c cj j(c

6、(cj j通常称为价值系数通常称为价值系数) )；有；有m m种资源种资源的限制，每种资源数量用的限制，每种资源数量用b bi i(i(i=1,.m)=1,.m)表示；用表示；用a aijij表示变量表示变量x xj j取值为取值为1 1个单位时所消耗或含有的第个单位时所消耗或含有的第i i种资源的数量，通常称种资源的数量，通常称a aijij为技术系数或消耗系数。为技术系数或消耗系数。 nnxcxcxcz2211 (min) max目标函数：目标函数：约束条件：约束条件：线性规划问题的数学模型的一般形式：线性规划问题的数学模型的一般形式：11212111 )( bxaxaxann 22222

7、121 )( bxaxaxannmnmnmmbxaxaxa )( 22110 ,21nxxx为目标函数；为目标函数；为资源约束；为资源约束；为非负约束。为非负约束。x xj j决策变量；决策变量；c cj j价值系数；价值系数；a aijij技术（消耗）系数；技术（消耗）系数；b bi i资源常量，资源常量，b bi i0线性规划模型的简写形式为线性规划模型的简写形式为：njjjxc1 z min)(max 或目标函数：目标函数：约束条件：约束条件：)21(j0)21(i )(1nxmbxajnjijij、用向量形式表达时，模型可写为用向量形式表达时，模型可写为：0 (min) max1jnj

8、jjxbxpCXz，式中：式中：) , , , (21ncccC nxxX1 mjjjaap1 mbbb1矩阵形式为：矩阵形式为：2212222111211mmmnnaaaaaaaaaACXz min)( max或 0 )(XbAX或其中：其中：A A为约束方程组（约束条件）的系数矩阵。为约束方程组（约束条件）的系数矩阵。三、线性规划问题的标准形式三、线性规划问题的标准形式njjjxczMax1), 1(0), 1(1njxmibxajnjijij化一般形式为标准形式的方法：化一般形式为标准形式的方法： 1 1、目标函数为求极小值，即为、目标函数为求极小值，即为: :njjjxcz1minnj

9、jjxczMax1因为求因为求Min zMin z，等价于求，等价于求Max(-z)Max(-z)，令，令z=-zz=-z，即化为：，即化为：2 2右端项右端项b bi i0 00又又P Pj j000，对应的变量，对应的变量x xj j就可作为换入基的变量，就可作为换入基的变量，当有一个以上检验数大于零时，一般从中找出最大一个当有一个以上检验数大于零时，一般从中找出最大一个k k。0|maxjjlmlmx作为进基变量作为进基变量( (也称换入变量也称换入变量) )确定进基变量。确定进基变量。 确定离基变量。确定离基变量。 根据最小根据最小的规则确定：的规则确定： lmhhlmilmiiabo

10、aab,|minhx确定确定是离基的变量是离基的变量( (也称换出变量也称换出变量) )。lmha,元素元素 决定了从一个基可行解到相邻基可行解的转移去向，决定了从一个基可行解到相邻基可行解的转移去向，取名主元素。取名主元素。 以以a ah,m+lh,m+l，为主元素进行迭代。，为主元素进行迭代。 迭代计算迭代计算 第第4 4步：重复第步：重复第2 2，3 3两步，直到所有的检验数小于等于两步，直到所有的检验数小于等于0 0时，时，计算结束。计算结束。【例【例1-51-5】用单纯形法求解线性规划问题】用单纯形法求解线性规划问题 0,655362316. .7090max212212121xxx

11、xxxxtsxxz解：解：将上述问题化为标准形式有：将上述问题化为标准形式有： 0,655362316. .7090max543215242132121xxxxxxxxxxxxxtsxxz其约束条件系数矩阵为：其约束条件系数矩阵为： 100500102300111列出初始单纯形表为：列出初始单纯形表为： cj 90 70 0 0 0 cBxBb x1 x2 x3 x4 x5000 x3x4x5163665 1 1 1 0 0 3 2 0 1 0 0 5 0 0 1j i36/316/10900 x3x1x5 j90070000651215001001/32/370900 x2x1x5 j401

12、/31-1/300100-30012181312013-10500-1551410-2100-300-20 0Max z2xl+x2 0,21xx52x 2461x 1552x22xx1例：利用单纯形法求解下列问题例：利用单纯形法求解下列问题化为标准型化为标准型 0,54321xxxxx 15532xx 0002max54321xxxxxz 552xxx1 24641xx 2x2 s.t. s.t.cj 2 1 0 0 0 cBxBb x1 x2 x3 x4 x5000 x3x4x515245 0 5 1 0 0 6 2 0 1 0 1 1 0 0 1j i24/65/1020 x3x1x5

13、j2010001412/30-1/61001/61/3021x3x1x2 j150510001/30-1/303123/215/20015/4-15/23/2010-1/43/27/21001/4-1/2000-1/4-1/2建立初始单纯形表如下：建立初始单纯形表如下：第五节第五节 单纯形法的其他问题讨论单纯形法的其他问题讨论一、关于标准形为最小化问题一、关于标准形为最小化问题目标函数最小化的标准形式，最优性检验的判别定理目标函数最小化的标准形式，最优性检验的判别定理 ： TmkbbbX0 , 0 ,21nmjxj, 10j kX 定理定理1.71.7（最优解）（最优解）设设 为对应于为对应于

14、基基B B的一个基可行解，且对于一切的一个基可行解，且对于一切 有有 则则 为线性规划问题的最优解。为线性规划问题的最优解。 TmkbbbX0 , 0 ,21nmjxj, 1 0j0lm 定理定理1.81.8（无穷多最优解）（无穷多最优解）设设 为为对应于基对应于基B B的一个基可行解，且对于一切的一个基可行解，且对于一切 有有 ，同时又存在某个非基变量的检验数，同时又存在某个非基变量的检验数 ，则，则线性线性规划问题存在无穷多最优解。规划问题存在无穷多最优解。 TmkbbbX0 , 0 ,210lmmialmi, 10, 定理定理1.91.9（无界解）（无界解）设设 为对应于基为对应于基B

15、B的一个基可行解，存在某个非基变量的检验数的一个基可行解，存在某个非基变量的检验数 ，且，且有有 ，则线性规划问题具有无界解。，则线性规划问题具有无界解。二、人工变量法二、人工变量法 【例【例1-61-6】用单纯形法求解线性规划问题】用单纯形法求解线性规划问题 0,122102434. .23max321321321321321xxxxxxxxxxxxtsxxxz解：解：将其化成标准形式有将其化成标准形式有 0,122102434. .0023max543213215321432154321xxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxxz 上述标准化模型中，不存在单位矩阵，为构造单位矩阵，则上

16、述标准化模型中，不存在单位矩阵，为构造单位矩阵，则需要通过添加人工变量的方法，人为构造一个单位矩阵，该方需要通过添加人工变量的方法，人为构造一个单位矩阵，该方法即所谓的人工变量法。法即所谓的人工变量法。 1. 1.大大M M法法 大大M M法又称惩罚法，其法又称惩罚法，其基本思想基本思想是：约束条件加入人工变量是：约束条件加入人工变量后，为使目标函数取值不受影响，给定它们在求最大值后，为使目标函数取值不受影响，给定它们在求最大值(max)(max)的的目标函数中的系数为目标函数中的系数为(-M)(-M)(称为惩罚因子，称为惩罚因子，M M为任意大的正数为任意大的正数) )，以作为对基变量中存在

17、人工变量的惩罚，从而迫使人工变量从以作为对基变量中存在人工变量的惩罚，从而迫使人工变量从基变量中分离出来，否则目标函数将不能实现最大化。基变量中分离出来，否则目标函数将不能实现最大化。 添加人工变量后，例添加人工变量后，例1-61-6的数学模型形式变为：的数学模型形式变为： 0,122102434. .0023max765432173215321643217654321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsMxMxxxxxxz列出初始单纯形表如下：列出初始单纯形表如下： cj32-100- M- McBxBbx1X2x3x4x5x6x7- Mx64-431-101040 x5101-12

18、01005- Mx712-2100011j3-2M2+M-1+2M-M000-Mx60 x5- 1x3ji38-60-101-1-330010-2-2100011- 2M5-6M5M-M000213/58/32x20 x5-1x3j-6/53/510-1/501/5-1/531/5003/51-3/5-7/511/5-2/501-2/502/53/550000-M1-M53/531/32x21301012-1-33x131/310015/3-1-7/3-1x319/300102/30-1/3j000-5-25/35-M38/3-M 计算机处理数据时，只能用很大的数代替计算机处理数据时，只能用很

19、大的数代替M, ,可能造成计算可能造成计算机上的错误，故多采用两阶段法。机上的错误，故多采用两阶段法。 2 2、两阶段法、两阶段法第一阶段：第一阶段：添加人工变量，重新构造目标函数添加人工变量，重新构造目标函数 将原问题加入人工变量，构造仅含人工变量的新的目标函将原问题加入人工变量，构造仅含人工变量的新的目标函数，并要求实现最小化。新的目标函数形式如下：数，并要求实现最小化。新的目标函数形式如下： mnnnxxxw21min), 1, 2 , 1(0. .2211222222121111212111mnnnjxbxxaxaxabxxaxaxabxxaxaxatsjmmnnmnmmnnnnnn

20、求解上述线性规划问题。若求解上述线性规划问题。若w=0w=0，则原线性规划问题存在，则原线性规划问题存在基可行解，计算转入第二阶段；若基可行解，计算转入第二阶段；若w0w0，则原线性规划问题无，则原线性规划问题无可行解，计算停止。可行解，计算停止。 第二阶段：第二阶段：对原目标函数求解对原目标函数求解 在第一阶段的最终单纯形表中，将才在第一阶段的最终单纯形表中，将才c cj j行的数字换为原目标行的数字换为原目标函数的系数，并且去掉表中含有人工变量的列，继续求解。函数的系数，并且去掉表中含有人工变量的列，继续求解。 将例将例1-61-6问题利用两阶段法进行求解。问题利用两阶段法进行求解。 第一

21、阶段：添加人工变量，重新构造目标函数。例第一阶段：添加人工变量，重新构造目标函数。例1-61-6用两用两阶段法求解时，第一阶段的线性规划问题可写为：阶段法求解时，第一阶段的线性规划问题可写为： 0,122102434. .min7654321732153216432176xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxw将上述数学模型标准化后，用单纯形法求解过程见下表：将上述数学模型标准化后，用单纯形法求解过程见下表： cj00000- 1-1cBxBbx1X2x3x4x5x6x7- 1x64-431-101040 x5101-1201005- 1x712-2100011j-212-1000-

22、1x60 x50 x3ji38-60-101-1-330010-2-210001- 2-65-1000213/58/30 x20 x50 x3j-6/53/510-1/501/5-1/531/5003/51-3/5-7/511/5-2/501-2/502/53/500000-1-153/5可以看出：可以看出：W=0W=0，该问题有解；转入第二阶段。，该问题有解；转入第二阶段。cj32-100cBxBbx1x2x3x4x52x23/5-6/510-1/500 x531/53/5003/51-1x311/5-2/501-2/50j500002x213010123x131/310015/31x319

23、/300102/3j000-5-25/3i第二阶段：第二阶段： 得最优解。得最优解。 将第一阶段得到的最终单纯形表的人工变量列去掉，将目将第一阶段得到的最终单纯形表的人工变量列去掉，将目标标C Cj j行换为原目标函数的系数，再进行迭代。行换为原目标函数的系数，再进行迭代。31/3三、单纯形法计算中退化与循环问题三、单纯形法计算中退化与循环问题 单纯形法计算中按最小比值来确定离基变量时，有时存在两单纯形法计算中按最小比值来确定离基变量时，有时存在两个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中就会出现一个或个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中就会出现一个或多个基变量等于零的情形，这就出现了所谓的

24、退化解。当存在多个基变量等于零的情形，这就出现了所谓的退化解。当存在退化解时，就有可能出现迭代计算的循环。退化解时，就有可能出现迭代计算的循环。 勃兰特规则：勃兰特规则： (1) (1)当存在多个当存在多个 且相等时，选取且相等时，选取 中下标值最小中下标值最小的变量作为进基变量；的变量作为进基变量； 0j0j (2) (2)当按当按规则计算出现两个或两个以上相同的最小比值时，规则计算出现两个或两个以上相同的最小比值时，选取下标值最小的变量作为离基变量。选取下标值最小的变量作为离基变量。 第六节第六节 线性规划应用举例线性规划应用举例一、混合配料问题一、混合配料问题 【例【例1-71-7】某工

25、厂要用三种原材料】某工厂要用三种原材料C C、P P、H H混合调配出三种混合调配出三种不同规格的产品不同规格的产品A A、B B、D D。已知产品的规格、产品单价、每天。已知产品的规格、产品单价、每天能供应的原材料数量及原材料单价如表能供应的原材料数量及原材料单价如表1-101-10、表、表1-111-11所示。问所示。问该厂如何安排生产，利润收入最大？该厂如何安排生产，利润收入最大？表表1-1025不限D原材料P不超过50%35原材料C不少于25%B原材料P不超过25%50原材料C不少于50%A单价(元/kg)规格要求产品名称表表1-113560H25100P65100C单价(元/kg)每

26、天最大供应量(kg)原材料名称解：解：设设A Ac c表示表示A A产品中产品中C C的成分，其数量用的成分，其数量用x x1 1表示；表示； A AP P表示表示A A产品中产品中P P的成分，其数量用的成分，其数量用x x2 2表示；表示； A AH H表示表示A A产品中产品中H H的成分，其数量用的成分，其数量用x x3 3表示；表示； B BC C表示表示B B产品中产品中C C的成分，其数量用的成分，其数量用x x4 4表示；表示； B BH H表示表示B B产品中产品中H H的成分，其数量用的成分，其数量用x x6 6表示；表示； B BP P表示表示B B产品中产品中P P的成

27、分，其数量用的成分，其数量用x x5 5表示；表示； D DC C表示表示D D产品中产品中D D的成分，其数量用的成分，其数量用x x7 7表示；表示； D DH H表示表示D D产品中产品中H H的成分，其数量用的成分，其数量用x x9 9表示表示. . D DP P表示表示D D产品中产品中P P的成分，其数量用的成分，其数量用x x8 8表示；表示； 321xxxAAAAHPC654xxxBBBBHPC987xxxDDDDHPC依据题意，得：依据题意，得： 依据产品规格要求得：依据产品规格要求得： HPCCAAAA21HPCPAAAA41HPCCBBBB41HPCPBBBB210212

28、121HPCAAA0414341HPCAAA0414143HPCBBB0212121HPCBBB整理得：整理得： 100CCCDBA100PPPDBA60HHHDBA依据原材料每天供应量限制得：依据原材料每天供应量限制得：该问题的线性规划数学模型为：该问题的线性规划数学模型为： 963852741987654321352565253550maxxxxxxxxxxxxxxxxxxxz9 , 2 , 10601001000212121041414304143410212121963852741654654321321jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxj二、生产计划安排问题二、生产计划安

29、排问题 【例【例1-81-8】某厂生产】某厂生产、三种产品，都分别经三种产品，都分别经A A、B B两两道工序加工。设道工序加工。设A A工序可分别在设备工序可分别在设备A A1 1或或A A2 2上完成，有上完成，有B B1 1、B B2 2、B B3 3三种设备可用于完成三种设备可用于完成B B工序。已知产品工序。已知产品可在可在A A、B B任何一种任何一种设备上加工；产品设备上加工；产品可在任何规格的可在任何规格的A A设备上加工，但完成设备上加工，但完成B B工工序时，只能在序时，只能在B B1 1设备上加工；产品设备上加工；产品只能在只能在A A2 2与与B B2 2设备上加工。设

30、备上加工。加工单位产品所需工序时间及其它各项数据见下表，试安排最加工单位产品所需工序时间及其它各项数据见下表，试安排最优生产计划，使该厂获利最大。优生产计划，使该厂获利最大。设备产品设备有效台时设备加工费A151060000.05A27912100000.03B16840000.06B241170000.11B3740000.05原料费（元/件）0.250.350.50售价（元/件）1.252.002.80 解：解：设产品设产品、的产量分别为的产量分别为x x1 1,x,x2 2,x,x3 3件。件。 产品产品有有6 6种加工方案，分别利用设备种加工方案，分别利用设备(A(A1 1,B,B1

31、1)(A)(A1 1,B,B2 2)(A)(A1 1,B,B3 3)(A)(A2 2，B B1 1)(A)(A2 2,B,B2 2)(A)(A2 2,B,B3 3) )，各方案加工的产，各方案加工的产品品数量用数量用X Xllll，x x1212，x x1313，x x1414，x x1515，x x1616表示；产品表示；产品有有2 2种加工种加工方案，即方案，即(A(A1 1,B,B1 1)(A)(A2 2,B,B1 1) )，加工数量用，加工数量用x x2121，x x2222表示；产品表示；产品只有只有1 1种加工方案种加工方案(A(A2 2,B,B2 2) )，加工数量等于，加工数量

32、等于x x3 3。 222121615141312111xxxxxxxxxx 工厂的盈利为产品售价减去相应的原料费和设备加工费。产工厂的盈利为产品售价减去相应的原料费和设备加工费。产品加工量只受设备有效台时的限制。故可建立如下线性规划模型：品加工量只受设备有效台时的限制。故可建立如下线性规划模型： )(35. 00 . 2()(25. 025. 1 (max2221161514131211xxxxxxxxz)12977(03. 0)10555(05. 0)05. 080. 2(22211514211312113xxxxxxxxx)12977(03. 0)10555(05. 0)05. 080.

33、 2(22211514211312113xxxxxxxxx040007770004440008666100001297776000105551613315122221141132216151421131211ijxxxxxxxxxxxxxxxxxxx三、生产与存贮问题三、生产与存贮问题 解：解：设设x xijij为为i i种产品种产品j j月份在正常时间内生产的数量，月份在正常时间内生产的数量， 为为第第i i种产品种产品j j月份在加班时间内生产的数量。该厂盈利总额为生月份在加班时间内生产的数量。该厂盈利总额为生产的产的5 5种产品销售价减去成本和库存费用。问题的限制条件有两种产品销售价减去

34、成本和库存费用。问题的限制条件有两项：一是各个月的正常和加班的允许工时，二是满足交货要求。项：一是各个月的正常和加班的允许工时，二是满足交货要求。本例的线性规划模型可表示为本例的线性规划模型可表示为: : ijx 【例【例1-91-9】某厂签订了】某厂签订了5 5种产品种产品(i(i1 1，5)5)上半年的交货合上半年的交货合同。已知各产品在第同。已知各产品在第j j月月(j(j1 1，6)6)的合同交货量的合同交货量D Dijij，该月，该月售价售价s sijij、成本价、成本价c cijij及生产及生产1 1件时所需工时件时所需工时a aijij。该厂第。该厂第j j月的正常月的正常生产工

35、时为生产工时为t tj j，但必要时可加班生产，第，但必要时可加班生产，第j j月允许的最多加班工月允许的最多加班工时不超过时不超过 ，并且加班时间内生产出来的产品每件成本增加额，并且加班时间内生产出来的产品每件成本增加额外费用外费用 元；若生产出来的产品当月不交货，每件库存元；若生产出来的产品当月不交货，每件库存1 1个月个月交存贮费交存贮费p pi i元。试为该厂设计一个保证完成合同交货，又使上元。试为该厂设计一个保证完成合同交货，又使上半年预期盈利总额为最大的生产计划安排。半年预期盈利总额为最大的生产计划安排。 jtijcijxijx 解：解：设设 为为i i种产品种产品j j月份在正常

36、时间内生产的数量，月份在正常时间内生产的数量， 为为第第i i种产品种产品j j月份在加班时间内生产的数量。月份在加班时间内生产的数量。本例的线性规划模型可表示为本例的线性规划模型可表示为: : 516115161)()()(maxijjkikikikiijijijijijijijijDxxpxccsxcsz0)6 , 1()()6 , 1()6 , 1(115151ijjkjkikikikijijijijijijxjDxxjtxajtxa四、人力资源分配问题四、人力资源分配问题 【例【例1-101-10】某医院护士值班班次及每班所需要的护士人数如】某医院护士值班班次及每班所需要的护士人数如下

37、表所示。下表所示。 班次工作时间所需人数(人)1 6:0010:0060210:0014:0070314:0018:0060418:0022:0050522:00 2:00206 2:00 6:0030 若该医院值班护士分别在各时间段开始时上班，并连续工作若该医院值班护士分别在各时间段开始时上班，并连续工作8 8小时。问该医院最少需要多少护士，才能满足工作需要？小时。问该医院最少需要多少护士，才能满足工作需要？ 解：解：设设x xi i表示第表示第i i班开始时上班的护士人数。根据题意，该班开始时上班的护士人数。根据题意，该问题的数学模型为：问题的数学模型为： 654321minxxxxxxz

38、6 , 2 , 10603020506070616554433221jxxxxxxxxxxxxxj五、连续投资问题五、连续投资问题 【例【例1-111-11】某部门在今后五年内考虑给以下项目投资，已】某部门在今后五年内考虑给以下项目投资，已知：知：项目项目A A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末收，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末收回本利回本利115%115%； 项目项目B B，第三年初需要投资，到第五年末收回本利，第三年初需要投资，到第五年末收回本利125%125%，但规定最大投资额不超过但规定最大投资额不超过4 4万元；万元； 项目项目C C，第二年初需要投资，到第

39、五年末收回本利，第二年初需要投资，到第五年末收回本利140%140%，但规定最大投资额不超过但规定最大投资额不超过3 3万元；万元； 项目项目D D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息利息6%6%； 该部门现有资金该部门现有资金1010万元，问它应如何确定给这些项目每年万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末的资金的本利总额为最大？的投资额，使到第五年末的资金的本利总额为最大？ 解：解：设设x xiAiA表示第表示第i i年年初给项目年年初给项目A A的投资额的投资额(i=1,2,3,4)(i=1,2,3,4)；x xiBiB表示第表示第i i年年初给项目年年初给项目B B的投资额的投资额(i=3)(i=3)；x xiCiC表示第表示第i i年年初给项年年初给项目目C C的投资额的投资额(i=2)(i=2)；x xiDiD表示第表示第i i年年初给项目年年初给项目D D的投资额的投资额(i=1,2,3,4,5)(i=1,2,3,4,5)。 由于项目由于项目D D每年都可以投资，并且当年末即能收回本息。所每年都可以投资，并且当年末即能收回本息。所以该部门每年应把资金全部投出去，手中不应当有剩余的呆滞以该部门每年应把