虚数数学组卷专题训练

1、菁优网虚数数学组卷专题训练一.解答题(共22小题)1 . (2011?上海)已知复数 zi满足(zi - 2) (1+i) =1 - i (i为虚数单位)，复数z2的虚部为2,且zi?z2是实数，求Z2.2 . (2005?上海)在复数范围内，求方程|z|2+ (z+z) i=1 - i (i为虚数单位)的解.3 .设虚数z满足|2z+15尸/£+10.(1)计算忆|的值；(2)是否存在实数a,使工:2例？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.a z4 .已知 z2=3+4i,求 z36z+a的值.5 .当 x 取何值时，复数 z= (x2+x-2) i+ (x2+3x+2) i(

2、1)是实数？(2)是纯虚数？(3)对应的点在第四象限？6 .已知复数 z= (2m2+3m-2) + (m2+m-2) i, (m CR)根据下列条件，求 m值.(1) z是实数；(2) z是虚数；(3) z是纯虚数；(4) z=0.7 .已知z1, z2是实系数一元二次方程：x2+px+q=0的两个虚根，且 z1, z2满足方程：2z1+iz2=1-i,求p, q的值.8 .已知复数z满足z J E R,又|z-1|+|z-3|=4,求复数z.9 .设复数 z=lg (m2-2m-2) + (m2+3m+2) i .(I )若z是纯虚数，求实数 m的值；(n )若z是实数，求实数 m的值；(

3、出)若z对应的点位于复平面的第二象限，求实数 m的取值范围.10 .已知复数z满足|z-2i| -3|+|z-2i| -3=0,求z在复平面上对应的点组成图形的面积.11 .已知复蓼z=1 - i.复数z的共轲复数为 工；(1)若sz+z=y,求实数x, y的值；(2)若(a+i) ?z是纯虚数，求实数 a的值.12 .已知复数2-i是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根,(1)求b, c值；(2)若向量正(心七)入和t使得口加短用 (R2 -皿 2)+(宗也)1.日由用的力、日4击点用13 . 已知复数 z= (mCR, i是虚数单位)是纯虚数.Hi(1)求m的值；(2)若复数w ,

4、满足|w-z|=1,求|w|的最大值.14 .已知复数Z=1+i(1)求 w=z2+34 - 4及1w|的值;(2)如果Z2+aZ+b於-2+1a, b.15 .设复数z满足4z+2 z=3/3+i, w=sin 0- icos 0,求z的值和忆-co|的取值范围.16 .已知复数 z=m2(1+i) - m (3+i) - 6i,(I)当实数m为何值时，z为纯虚数？(n )当实数m为何值时，z对应点在第三象限？17 .课本在介绍 产=-1的几何意义”中讲到：将复平面上的向量乘以i就是沿逆时针方向旋转 90。，那么乘以-是沿顺时针方向旋转 90。，做以下填空：已知复平面上的向量 屈、而分别对应

5、复数3-i、- 2+i,则向量而j对应的复数为 那么，以线段 MN为一边作两个正方形MNQP和MNQ , P,则点P、Q对应的复数分别为 点P、Q,对应的复数分别为18.设复数z=241,若 z2+az+b=1+i ,求实数 a,b的值.19.设五是虚数,(二工+ ；是实数,且-14五(1)求忆1|的值以及z1的实部的取值范围；(2)若。=求证：3为纯虚数.1+Z|20.已知复数z=m (m-1) + (m2+2m-3) i,当实数 m取什么值时，复数 z是: (1)零；(2)纯虚数；(3) z=2+5i; (4)表示复数z对应的点在第四象限.21.实数m分别取什么数值时？复数 z= (m2+

6、5m+6) + (m2-2m-15) i(1)与复数12+16i互为共轲复数；(2)对应的点在x轴上方.22.已知复数z= (m2-2m - 3) + ( m2 - 3m - 4) i,求实数 m的值使z为纯虚数.虚数数学组卷专题训练参考答案与试题解析一.解答题(共22小题)1. (2011?上海)已知复数 zi满足(zi-2) (1+i) =1 - i (i为虚数单位)，复数z2的虚部为2,且zi?z2是实数，求Z2.考点：复数代数形式的混合运算.专题：计算题.分析： 利用复数的除法运算法则求出Z1,设出复数Z2;利用复数的乘法运算法则求出Z1?Z2;利用当虚部为 0时复数为实数，求出Z2.

7、解答： 解：. -2二二 门l)- £11+i - (1+i) (1 -I)z1=2 - i 设 z2=a+2i (a CR)1. z1?z2= (2 i) (a+2i) = (2a+2) + (4a) i Z1?Z2是实数4 - a=0 解得 a=4所以 Z2=4+2i点评： 本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0.2. (2005?上海)在复数范围内，求方程|z|2+ (z+工)i=1 - i (i为虚数单位)的解.考点：复数的基本概念.专题：计算题.分析： 设出复数z=x+yi (x、yCR),代入|z|2+ (z+工)i=1 - i,利用复数相等

8、，求出 x, y的值即可.解答：解：原方程化简为 忆2+ (z+t) i=1 -i,设 z=x+yi (x、y CR),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1 - i,x2+y2=1 且 2x= - 1,解得 x=-1且 y= d-,22原方程的解是z=-=±'W.2 2点评：本题考查复数的基本概念，复数相等，考查计算能力，是基础题.3. 设虚数 z 满足 |2z+15|=/m+10.(1)计算忆|的值；(2)是否存在实数a,使三产CR?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.考点：复数求模.专题：计算题._分析：(1)设2=2+旧(a, b CR且b%)则代入条件|2z+1

9、5|=/E+10然后根据复数的运算法则和模的概念将上式化简可得 打而F二5五即求出了总的值(2)对于此种题型可假设存在实数a使2CR根据复数的运算法则设(z=c+bi (c, bCR且b4)可得a z-= a zCR即上-或一=。再结合b加和(1)的结论即可求解.a cF解答： 解：(1)设 z=a+bi (a, bCR 且 b为). . |2z+15|=；|：.+ 10| (2a+15) +2bi|=V3| (a+10) bi|则 z=a- biV (2a+15) ?+ (2b) a2+b2=75J= i .(2)设z=c+bi (c, bCR且b为)假设存在实数则有Z . 3-一 = a

10、zb-)CRa 7一 a=a=i5A/3z=a+bi ( a, b 贝)则 |z|=J屋了!八计. 本题主要考查了求解复数的模.解题的关键是要熟记复数模的概念:4.已知 z2=3+4i,求 z36z+2的值.Z考点： 专题： 分析： 解答:复数代数形式的混合运算.计算题.设2=2+旧，则z2=a2 - b2+2abi=3+4i ,解方程求出a、b的值，可得z的值，代入要求的式子化简求得结果 解：设 z=a+bi, a, bCR,贝U z2=a2-b2+2abi=3+4i , .a2-b2=3, 2ab=4.解得3=2b=la= - 2l ,即 z=2+i ,或 z= - 2 - i.又 z3-

11、 6z+.24 e4 - 6z2+24 1工24当 z=2+i 时，z3 - 6z+-IX (2-i) i) (2-i)= -|4i. b当 z= 一 2 i 时，z3 6z+-1 =1=(2-i)-2-i 2+i (2H) (2-i)点评:本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题.x 取何值时，复数 z= (x2+x-2) i+ (x2+3x+2) i(1)是实数？(2)是纯虚数?(3)对应的点在第四象限?考点：复数的基本概念.专题：计算题.分析： (1)利用复数z= (x2+x-2) + (x2+3x+2) i是实数时，复数的虚部等于0,求出x值.(2)

12、利用复数z= (x2+x-2) + (x2+3x+2) i是纯虚数时，复数的虚部不等于0,且实部等于0,求出x值.(3)利用复数z= (x2+x-2) + (x2+3x+2) i对应的点在第四象限时，x2+x- 2>0,且x2+3x+2<0,求出x的取值范围.解答： 解：(1)复数z= (x2+x-2) + (x2+3x+2) i是实数时，复数的虚部等于 0,即 x2+3x+2=0 ,解得 x= - 1 或-2.(2)复数z= (x2+x-2) + (x2+3x+2) i是纯虚数时，复数的虚部不等于 0,且实部等于0,1, x2+x - 2=0,且 x2+3x+2 O,解得 x=1

13、 .(3)复数z= (x2+x-2) + (x2+3x+2) i对应的点在第四象限时，x2+x - 2>0,且 x2+3x+2v0,解得 xC?,故不存在实数 x,使复数z= (x2+x-2) + (x2+3x+2) i对应的点在第四象限.点评：本题考查复数的实部、虚部的定义，复数与复平面内对应点之间的关系，以及第四象限内的点的坐标的特点.6.已知复数 z= (2m2+3m-2) + (m2+m-2) i, (m CR)根据下列条件，求 m值.(1) z是实数；(2) z是虚数；(3) z是纯虚数；(4) z=0.考点：复数的基本概念；复数相等的充要条件.专题：计算题.分析：(1)当复数

14、的虚部等于零时，复数为实数，由此求得 m的值.(2)当复数的虚部不等于零时，复数为虚数，由此求得 m的值.(3)当复数的实部等于零，且虚部不等于零时，复数为纯虚数，由此求得m的值.(4)当复数的实部等于零，且虚部也等于零时，复数等于零，由此求得m的值.解答： 解：(1)当m2+m - 2=0 ,即m= 2或m=1时，z为实数；(2)当m2+m 2为，即mw 2且m用时，z为虚数；r2m2+3ni- 2=0H(3)当，办，解得m=,小?+需-2卢02即m=工时，z为纯虚数.2A 2m2+3i一 2=0_ 一(4)令,解得 m= - 2,即 m= 2 时，z=0 .声出-2=0点评： 本题主要考查

15、复数的基本概念，两个复数相等的充要条件，属于基础题.7 .已知z1, z2是实系数一元二次方程：x2+px+q=0的两个虚根，且 z1, z2满足方程：2z1+iz2=1-i,求p, q的值.考点：复数的基本概念.专题：计算题.分析： 设z1=a+bi,则z2=a-bi, (a, bCR),根据两个复数相等的充要条件求出z1=1 - i, z2=1+i,再由根与系数的关系求得p, q的值.解答： 解：设 z1=a+bi,贝U z2=a- bi, (a, bCR)由已知得：2 (a+bi) +i (a- bi) =1 - i,(2a+b) + (a+2b) i=1 - i,. fa-1+ 2b

16、=- 1(_zi=1 - i, z2=1+i,由根与系数的关系，得 p= (zi+z2) = - 2, q=zi?z2=2.点评：本题考查复数的基本概念，两个复数相等的充要条件，属于基础题.8 .已知复数z满足七J七艮 又忆-1|+|z-3|=4,求复数z.考点： 分析：解答:7.复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念；复数求模.因为eJEr所以上J,得至工/六/，进一步化得：(卫一为 (1-4=)二。，从而zCR (z4) 工工 Z：3： WZZ或忆|2=7.下面进行分类求帙_ (1)当zCR (z%)时；(2)当忆|2=7时，分别求得复数 z即可.解：因为£+"&quo

17、t; E r,所以，贝u且+=工二工T.工 工£ 工所以王一 w J 一 1二0，即(？一£) (1 一 ) =0,工 工zz所以：Z- Z二。或者|G=T,即zCR (z加)或忆|2=7.(1)当 z 贝(z 加)时，|z- 1|+|z- 3|=4,所以 z=4 或者 z=0 (舍去)；(2)当 |z|2=7 时，设 z=x+yi (x, yCR),贝U x2+y2=7，又忆1|+|z3|=4,由题意可知22-4二1 一根据，可得共2,产士行，所以工二2±/；综上所述，之二2士 “i或者z=4.点评:本小题主要考查复数的基本概念、复数代数形式的乘除运算、复数求模

18、等基础知识，考查运算求解能力, 考查与转化思想.属于基础题.9.设复数 z=lg (m2-2m-2) + (m2+3m+2) i .(I )若z是纯虚数，求实数 m的值；(n )若z是实数，求实数 m的值；(出)若z对应的点位于复平面的第二象限，求实数 m的取值范围.考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数的基本概念.专题：计算题.分析：(I )若z是纯虚数，通过虚部不为 0,实部为0,即可求实数 m的值；(n )若z是实数，复数的虚部为 0,即可求实数 m的值；(出)若z对应的点位于复平面的第二象限，虚部大于0,实部小于0,即可求实数 m的取值范围.解答：屈曰"以 %-2) R一日

19、解：(I)是纯虚数， J=iif3Lir2+3nH-20(n ) z 是实数，m2+3m+2=0 ? m= - 1 或 m= - 2.(m) ,z对应的点位于复平面的第二象限，,1：心2-2m-2) <-13 或“反.IH)+3舟2>0点评：本题考查复数的基本概念，复数的分类，考查复数的代数表示以及几何意义，考查计算能力.10.已知复数z满足|z-2i| -3|+|z-2i| -3=0,求z在复平面上对应的点组成图形的面积. 考点：复数的代数表示法及其几何意义.专题：数系的扩充和复数.分析： 由|z-2i|-3|+|z-2i|-3=0,变形为|z- 2i| - 3|二3-忆-2i|

20、,可得忆-2i|<3.上式表示复平面内点 z至U 2i的距 离小于等于3的圆面.再利用圆的面积计算公式即可得出.解答： 解：|z- 2i|-3|+|z-2i|-3=0,变形为 |z 2i|- 3|=3-|z-2i|,.|z2i| 是实数，|z- 2i|<3.上式表示复平面内点 z到2i的距离小于等于3的圆面.因此此圆的面积为兀32=9兀.故z在复平面上对应的点组成图形的面积为9兀.点评： 本题考查了复数的几何意义、圆的复数形式及其面积计算公式，属于基础题.11.已知空仪z=1 - i.复数z的共轲复数为 工；(1)若x z+z=y,求实数x, y的值；(2)若(a+i) ?z是纯虚

21、数，求实数 a的值.考点：复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义.专题：计算题.分析：(1)把z=1 - i代入£ z+z=y ,整理后利用复数相等的条件列式求解；(2)把z=1 - i代入(a+i) ?z,整理后由实部等于 0且虚部不等于0列式求a的值.解答：解：(1)二,三二1+i.由富工+z二"，得：x (1+i) +1 - i=y? (x+1) + (x 1) i=y由复数相等定义=产"了 二N=1,产2；(2)因为(a+i) ?z=a+1+ (1 - a) i 是纯虚数，+J a+l=O _ r故 . =3=一1.11 - a 声。点评： 本应考查

22、了复数的基本概念，考查了复数相等的条件，是基础题.12 .已知复数2-i是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，(1)求b, c值；(2)若向量后=(卜，七)、1,求实数入和t使得m二1三考点：复数的基本概念；相等向量与相反向量.专题：计算题.分析：(1)、2-i的共轲复数2+i是实系数一元二次方程 x2+bx+c=0的一个根，利用一元二次方程的根与系数的 关系求b, c.(2)、根据共线向量知对应横纵坐标相等建立方程解之.解答：解：(1)、因为2-i是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，所以2+i也是实系数一兀二次方程x2+bx+c=0的一个根，所以：b=- (2-i) +

23、 (2+i) = - 4, c= (2-i) (2+i) =5.(2)、(B, c)二17, 5),、=(& 1),因为即(4, 5)=入(8, t),点评:以 题所本入5=,解得：人=i, t= - 10.2次方程的根与系数的关系，共线向量等知识点.13 .已知复数 z (卬一皿一 2)十(皿)")(mCR, i是虚数单位)是纯虚数.Hi(1)求m的值；(2)若复数w ,满足|w-z|=1,求|w|的最大值.考点：复数求模；复数的基本概念.专题：计算题.分析：(1)利用复数的运算法则把 z化为(m2-1) + (m+1) i,再利用纯虚数的定义即可得出m.(2)利用复数模的

24、计算公式即可得出a2+ (b-2) 2=1,进而由a2=1 - (b-2) 2可求出b的取值范围，即可得出|w|的最大值.=(m2 - 1) + (m+1) i 是纯虚数.'('口，解得 m=1 .nr+1 卢 0m的值是1.(2)由(1)可知：z=2i.设 w=a+bi (a, b R). |w-2i|=1, .一+ (七-2 )- a2+ (b-2) 2=1, (*)I |w|=7a2-l-b?=Vl- (b-2 ) 2-Fb2=-j'4b-3 -由(*)可知：(b-2)2q 1 巾4)如-3，百二3.|w|的最大值为3.点评：熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义、

25、复数模的计算公式、圆的标准方程等是解题的关键.14.已知复数Z=1+i(1)求 2淤+五-4及|w|的值;(2)如果,求实数a, b.考点：复数代数形式的混合运算；复数求模.专题：计算题.分析:(1)利用Z=1+i将后Z.3彳-4化简为 'T i，利用其求模公式即可;解答:点评:(2)将Z *+aZ+b z2 - Zfl解：(1)Z=1+i , 3一化简为a+2- (a+b) i,利用两复数相等的充要条件即可求得实数a, b.= Z2 + 3Z - 4=2i+3 (1-i) - 4=T-i-4'“、.锵Gb_2i 4a Cl+iD 住 2 7,z2 - z+l 2i - Cl+

26、iD +1=a+2 ( a+b) i=1 i 9',fa+2=la+b=1 fa= - 112Lb=2本题考查复数代数形式的混合运算，关键在于掌握复数的概念与运算性质，掌握两复数相等的充要条件, 属于基础题.15.设复数z满足4z+2 z=3>/3+i, w=sin 0- icos 0,求z的值和忆-co|的取值范围.考点：复数求模.专题： 分析：解答:计算题.设出复数z,利用复数相等的条件列出方程组，求出复数通过正弦函数的值域，求出复数模的范围即可.解：设 z=a+bi, (a, b CR),则旧=abi.代入 4z+2 z=3-/3+i,得 4 (a+bi) +2 (a- b

27、i)=3、巧+i,Z,然后通过复数的模利用两角和与差的三角函数,即 6a+2bi=3-/3+i.=.-i, H - 一H + _ TV2 - V3sin9 +ccs 6=2 - 2sin (。-微) 1 Win ( e一石)司， 022sin ( e一百)0 耳z 3曰.点评： 本题考查复数的相等的条件的应用，复数的模以及两角和与差的三角函数，正弦函数的值域的应用，考查 计算能力.16.已知复数 z=m2(1+i) - m (3+i) - 6i,(I)当实数m为何值时，z为纯虚数？(n )当实数m为何值时，z对应点在第三象限?考点：复数的基本概念.专题：计算题.分析：(I)复数是纯虚数，则实部

28、为 0,虚部不为0,求出m的值即可.(n )对应的点在第三象限.就是实部和虚部都是小于0,求出m的范围即可.解答： 解：复数 z=m2 (1+i) - m (3+i) - 6i= (m2 3m) + ( m2 m 6) i尸 2(I ).皿3吁°解得m=0,复数是纯虚数.产之一 m- 6Ho(n )若z所对应点在第三象限则 ，口,解得0vmv3.点评： 本题是基础题，考查复数的基本概念，复数的分类，常考题型，送分题.17.课本在介绍i2=-1的几何意义”中讲到：将复平面上的向量乘以i就是沿逆时针方向旋转90。，那么乘以-i就是沿顺时针方向旋转 90。，做以下填空：已知复平面上的向量。

29、胀QN分别对应复数3-i、- 2+i,则向量MN对应的复数为 5+2i: 那么，以线段 MN为一边作两个正方形 MNQP和MNQ , P,则点P、Q对应的复数分别为 5+4i 、 6i 点P、Q,对应的复数分别为1 6i 、; 4 4i .考点：复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义.专题：计算题.求出向量MN对应的复数，设点 P (a, b), Q (s, r),当HP可以看成把 MN顺时针旋转90得到的时,MP对应的复数为(-5+2i) (- i) =2+5i ,可得a-3=2, b+1=5,解得a、b的值，即得点P对应的复数.根 据LQ对应的复数和MP对应的复数相等，求得 Q对应的

30、复数.解答:当MP可以看成把 MN逆时针旋转90得到的时，同理可求.解：向量对应的复数为(-2+i) - (3-i) = - 5+2i,设点P (a, b), Q (s,则HP可以看成把 MN逆时针旋转90。，或把MN顺时针旋转90。得到的,当HP可以看成把顺时针旋转90得到的时，对应的复数为(-5+2i) ( - i) =2+5i , a- 3=2, b+1=5, .1. a=5, b=4,，P(5, 4).由正方形的性质可得而 对应的复数和 而 对应的复数相等，为2+5i, .-.s+2=2, r- 1=5,. .s=0, r=6, Q (0, 6),故点P, Q,对应的复数分别为：5+4

31、i和 6i.当MP可以看成把AN逆时针旋转90得到的时，MP对应的复数为(-5+2i) i=-2-5i,2- 5i, .-.s+2=-2, r- 1=- 5,.a- 3=-2, b+1=- 5, .-.a=1, b=-6,，P(1, -6).由正方形的性质可得MQ对应的复数和MP对应的复数相等，为- .s=-4, r= -4,，Q( 4, -4),故点 P, Q,对应的复数分别为： 1 6i 和4 4i .故答案：5+2i; 5+4i; 6i;1 6i;4 4i.点评： 本题考查复数的基本概念，复数与复平面内对应点之间的关系，两个复数代数形式的乘法，体现了分类讨论的数学思想，求出 MP对应的复

32、数，是解题的难点.18.设复数z二2+1,若z2+az+b=1+i ,求实数a, b的值.考点： 专题： 分析：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念.计算题.先将z按照复数代数形式的运算法则，化为代数形式，代入 于a, b的方程组，并解即可.z2+az+b=1+i ,再根据复数相等的概念，列出关解答:解:=1 - iz2+az+b= (1-i) 2+a (1-i) +b=a+b - ( a+2) i=1+iar+2= - 1解得点评:19.z 1 + ,是实数且-工2 ( 11町2(1)求忆1|的值以及zi的实部的取值范围;(2),求证：3为纯虚数.考点： 专题： 分析：解答:复数代数形式的

33、混合运算.计算题.(1)设出复数，根据两个复数之间的关系，写出Z2的表示式，根据这是一个实数，得到这个复数，根据条件中所给的取值范围，得到要求的a的取值.(2)根据上一问设出的复数，表示出 03,进行复数除法的运算，分子和分母同乘以分母的共轲复数，整理 变化，得到最简形式，得到这是一个纯虚数.解：(1)设 z1=a+bi (a, bCR,且 b0),贝 U .一1 - 1 ' 一一.,E1勺 升bL 屋十b?a2+b. z2是实数，b0,有 a2+b2=1,即忆1|=1,，可得 z2=2a,由-1及2司，得-1磴a司,即Z1的实部的取值范围是 一，,. uiu(2)1 -勺 1 - a - bi 1 - a2 - b2 -2bi1+工 1+a+bi(1 + a)，匕*_L,sr+l 1本题考查了复数代数形式的混合运算，复数相等的概念，属于基础题.aC 工，lb, b为，2 2J3为纯虚数.点评：本题考查复数的加减乘除运算