比例、黄金分割、平行线分线段成比例定理及例题

1、要点一、比例线段1 .成比例线段： 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四 条线段叫做成比例线段，简称比例线段.2 .比例的性质：a c二(1)基本性质：如果 3 那么0d =bc._c 月e么侔a _c 田,么值/(2)合比性质：如果 了 b d 如果Z 了 b d要点诠释：(1)两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；(2)两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；(3)两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.要点二、黄金分割AC _SC1.定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果月夕 AC

2、 ,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.要点诠释：2=0.618AB( 2 叫做黄金分割值).(1)经过点 B作B4AR使BD=2AB(2)连接AD在DAh截取DE=DB(3)在AB上截取AGAE则点C为线段AB的黄金分割点要点诠释:一条线段的黄金分割点有两个要点三、平行线截线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例已知如图，直线11、12、13是一组等距离的平行线，14、15是任意画的两条直线，分别于这组平行线相交于点 A, B, C, D, E, F,则比例式小 鹿 AB _ DE _ EF BC _ E

3、F而=诙'汨"京'益"砺瑟=市成立.要点诠释:上图的变式图形：分 A型和X型;A型X型AD AE AD_ AE DB _ EG则常用的比例式：力 为 超 AC AB NC依然成立.要点四、把已知线段 AB五等分.已知线段AB,请利用尺规彳图把线段 AB五等分.A *作法1.以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA =A1 A=AA3=AA4=AA5.2.连结 AB,并过点 Ai, A2, A3, A4分别作AB的平行线，依次交 AB于点Bi,也 Bs,B4.则点 Bi, B2, Bs, B4就是所求作的把线段 AB五等分的点.依据：实际上，过点 A作

4、l /AB,根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式姆=她=52电_M AA 44 M 44 ,AA=AiA2=AA3=AA4=A4A5, . AB=BiR=RB=BB4=B4B,点Bi, B2, Bs, B4把线段AB五等分.要点诠释：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规，不能使用直尺进行量取，尺规作图中的直尺是没有刻度的，它的用途是画线或者连线.例题：1. （20i6?兰州模拟）若a： b=2： 3,则下列各式中正确的式子是（）b 2 Lb 1A. 2a=3b B. 3a=2b C.3 D. b 3【思路点拨】 根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案.【答案】B

5、.【解析】A、2a=3b? a： b=3 : 2,故选项错误；B、3a=2b? a： b=2 ： 3,故选项正确；b 2C、包=3?b： a=2： 3,故选项错误；d、£3? a： b=3: 2,故选项错误.故选B.【总结升华】 考查了比例的性质.在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积._y z2- - 3乃 + /2 .设之1,求I-之号的值.【思路点拨】 由已知条件利用解方程的思想不能求出x, y, z的值，因此用设参数法代入化简.【答案与解析】_ y _ 2设 2 5 4 = k贝Ux=2k, y= 3k, z=4k2%（狼）？ 一"3上工4比十©歌2_

6、 1如 1原式= （24-2乂2后融-0寸=下”姮【总结升华】 解此类题学生容易误认为设k后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去AB 13 . 如图所示，矩形 ABC虚黄金矩形（即 80= 2 =0.618）,如果在其内作正方形CDEF得到一个小矩形 ABFE试问矩形 ABF弱否也是黄金矩形？DE A【思路点拨】(1)矩形的宽与长之比值为,则这种矩形叫做黄金矩形.AE 1(2)要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明 /S =2 即可.【答案与解析】矩形ABFE是黄金矩形.AS AD-ED _ AD_ ED理由如下：因为工上=.夕为夕212G5+1)J5 + 1所以矩形ABFE

7、也是黄金矩形.【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法AG_AF5 .(2014秋?平川区校级期中)已知：如图，在 ABC中，AB=AC且GD FB , EG cd证明：AE=AF【思路点拨】AG AE 旭旦 AF迎四由平行可得GD= EC,且GETFB,可得EC=FR,结合ab=ac ,由比例的性质可得AC=AB,可得AE=AF .AE 研AE+EC = AF+FB ,即 AB=AC , .AE=AF .【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段.6 .如图，在矩形 ABCD中，AB=2 , BC=3,点E、F、G、H分别在矩形 ABC

8、D的各边上,EF / AC / HG , EH / BD / FG ,则四边形 EFGH 的周长是（）/s F c【思路点拨】 根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行 线分线段成比例的基本事实列式表示出EF、EH的长度之和，再根据四边形 EFGH是平行四边形，即可得解.【答案与解析】在矩形 ABCD 中,AB=2 , BC=3 ,根据勾股定理，AC=BD= J乩/+3厂 =7FZ?二厢, EF / AC / HG , EF _EB 左二百 EH / BD / FG ,EH_ AE 而二五 ?EF EH _EB 至 ，公而二91=1 .EF+EH=AC= EF / HG , EH / FG , 四边形EFGH是平行四边形，四边形 EFGH 的M<=2 (EF+EH ) =2g故选D .【总结升华】 本题考查了平行线分线段成比例的基本事实，矩形的对角线相等，勾股定EF H-= 1理，根据平行线分线段成比例的基本事实求出公 助是解题的关键，也是本题的难 点.7.把已知线段a(如图)三等分【答案与解析】作法1 .把已知线段a的两端点分别标注字母 A, B,再以A为端点作一条射线， 并在射线上依次截取线段 A