高考数学三轮冲刺大题提分大题精做8立体几何：动点与设未知量理

1、大题精做8立体几何：动点与设未知量2019 遵义航天中学如图，在四锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， ABC 60 , LPAB为 正三角形，且侧面 PAB 底面ABCD , E为线段AB的中点，M在线段PD上.（1）当M是线段PD的中点时，求证：PB/平面ACM ;（2）是否存在点M ,使二面角M EC D的大小为60 ,若存在，求出EM的值；若不存在，请说明理由. PD【答案】（1）见解析；（2）存在EM 1PD 3【解析】（1）证明：连接BD交AC于H点，连接MH ,丁四边形ABCD是菱形，点H为BD的中点, 又M为PD的中点，MH/BP, 又 BP 平面 ACM , MH

2、 平面 ACM ,，PB/平面ACM(2)ABCD 是菱形，ABC 60 , E 是 AB 的中点，CE AB,又 PE 平面ABCD ,以E为原点，分别以 EB, EC, EP为x, y, z轴，建立空间直角坐标系 E xyz ,则 e 0,0,0 , b 1,0,0 , p 0,0,73 , c 0,J3,0 , d2,73,0 .uuuuuuur假设棱PD上存在点 M ,设点M坐标为 x, y, z , PM PD 01 ,则 x, y,z 芯 2,出，石,M 2 73 , J3 1,uuur EM2 , 3 ,3 1urnr_EC 0,J3,0 ，设平面CEM的法向量为n x,y,z

3、,uuuu_n EM 2 x . 3 y uuir_n EC 3y 0，得 n 3 1,0,2 PE 平面 ABCD , 平面 ABCD的法向量 m0,0,1 , n m22 cos n,m - .=nl m 4 2 3 127 2 63二面角 M EC D的大小为60 ,21-f=-,即 3 2210 ,解得.7 2 6321 (舍去)，在棱PD上存在点M ,当外PD1 一，-时，二面角 M EC D的大小为60 .31. 2019 跃华中学如图所示，正四棱椎P ABCD中一，底面ABCD的边长为2,侧棱长为2J2 .(1)若点E为PD上的点，且 PB/平面EAC，试确定E点的位置;uuu

4、uuuu(2)在(1)的条件下，点 F为线段PA上的一点且PF PA,若平面AEC和平面BDF所成的锐二面角的余弦值为工，求实数 的值.142. 2019 湖北联考如图，在四棱锥 P ABCD中，AB PC , AD/ BC , AD CD ,且PC BC 2AD 2CD 272 , PA 2 .(1)证明：PA 平面ABCD ；PD(2)在线段PD上，是否存在一点 M ,使得二面角M AC D的大小为60 ?如果存在，求-PM的值；如果 不存在，请说明理由.3. 2019 西城44中如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD 135 ,侧面PAB底面ABCD , BAP

5、 90 , AB AC PA 2 , E , F分别为BC , AD的中点，点 M在线段PD上.(1)求证：EF 平面PAC ;(2)若M为PD的中点，求证： ME/平面PAB ;(3)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线 ME与平面ABCD所在的角相等，求 PM 的值.PD1.【答案】(1) E为PD中点；(2)【解析】（1）设BD交AC于点O ,连结OE , PB/ 平面 AEC ,平面 AECI 平面 BDP OE , PB/ OE ,又。为BD的中点，在 4BDP中，E为PD中点.（2）连结OP ,由题意得 PO 平面ABCD，且AC BD ,，以。为原点，OC、OD、OP所成直线为

6、x, y , z轴，建立空间直角坐标系,OP PD2 OD26 ,1 a72,0,0 ， b 0,笈0 , c 72,0,0 , d。,& , p 0。76 ,_UJID72,0,0 ， CE五年弓'oD0,五0uur m OC 则 uuu m CE0, 73,1 ,22 ,乏 76 66，设平面AEC的法向量m x,y,z ,n ，令z 1 ,得平面 AEC的一个法向量 mz 02设平面BDF的法向量n x,y,z ,uuuruuu_ Juur由 PF PA,得 F 出，0,而 76, DFuuir n DFuuir n OD2 x . 2y2y 066 z 0，令z 1 ,

7、得n,0,1i平面AEC和平面w BDF所成的锐二面角的余弦值为 , 14cos m, n2.【答案】（1）见证明；（2）见解析.【解析】（1）二.在底面 ABCD中，AD/BC, ADCD ,且 BC 2AD 2CD2。AB AC 2 , BC 2伉AB AC,又 AB PC , AC I PC C , AC 平面 PAC , PC 平面 PAC ,，AB 平面 PAC ,又 PA 平.面PAC ,AB PA, PA AC 2 , PCAC,又 PA AB, ABIAC A, AB平面ABCD ,AC平面ABCD ,PA 平面 ABCD .(2)方法一：在线段AD上取点N ,使 AN 2ND

8、,则MN / PA ,又由(1)得 PA 平面 ABCD , MN 平面 ABCD ,AC平面ABCD , MN AC ,作 NOMNNON , MN 平面 MNO ,NO平面 MNO , AC又MO平面MNO , AC MO又ACMON是二面角ACD的一个平面角,设PMPDMN 1 x AP 2ON-Jan2且xAD x, 2这样，二面角M AC D的大小为60即tanMONMN 2 2x tan60ON x73,即型PD4 2、3, 满足要求的点存在,且外PD方法二:BC的中点EAP三条直线两两垂直可以分别以直线 AE、uuu且由(1)知 AP 0,0,2，则 AE、AD、x 0,1，则

9、MN 1 x AP 22xANuiurAM0, . 2x,2 2xuuir 设AQa,b,c是平面ACM的一个法向量,uuir AQ uuir AQuiuur_AM.2xb2uuir_AC. 2a2b2x c 0b-Jb 2x 2uuir2x 2 ,则 AQ2x2,2 x 2, , 2x,它背向二面角,又.平面 ACD的法向量uuuAP0,0,2 ,它指向二面角，这样，二面角ACD的大小为60 ,uuu uuir 即 cos AP, AQuuu iurAP AQiur iurAP AQ2 2xcos6022 2x 22 2x 2 2x即x 4 2掷，满足要求的点M存在，且型PD4 2J3.3.

10、【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）3.32（1）证明：在平行四边形 ABCD中, ABAC , BCD 135 , ABC45 , ABF分别为BC , AD的中点，EF / AB , ,EF AC ,侧面PAB 底面 ABCD ,且 BAP90 , . PA底面ABCDEF又 PAI AC A, PA 平面 PAC ,AC 平面 PAC , EF平面PAC .（2）证明：: M为PD的中点，F为AD的中点，MF/PA,平面PAB , PA 平面PAB，:MF II 平面 PAB ，同理，得EF/ 平面 PAB ,I EF F , MF 平面 MEF , EF平面MEF，平面MEF/平面平面 MEF , ME II 平面 PAB .(3)解： PA 底面 ABCD , AB AC ,AP , AB , AC两两垂直,故以AB , AC , AP分别为x轴，y轴和z轴建立如图空间直角坐标系,X2左D则 A 0,0,0 ,B 2,0,0C 0,2,0P 0,0,2 , D 2,2,0 , E 1,1,0 ,uuuPB 2,0,uurPD2,2,uurBC2,2,0 ,0,1uuuu PM,2,2,2 2uuur ,ME,1,2易得平面ABCD的法向量m0,0,1设平面PBC的法向量为nx