固体物理复习题答案完整版

1、1.晶格常数为a的体心立方、面心立方结构，分别表示出它们的基矢、原胞体积以及最近邻的格点数。(答案参考教材P78)ai-(ijk)2(1)体心立方基矢：2a(ijk),体积：la3,最近邻格点数：82 2a3 二(ijk)2ai-(ij)2(2)面心立方基矢：2-(jk),体积：3a3,最近邻格点数：122 4a3 -(ki)2,vvvv2.习题、证明倒格子矢量Gh1bih2b2h3b3垂直于密勒指数为(hih2h3)的晶面系证明:uuu a v因为CA电生,h h3v a2h2va3h3v v vh1blh2b2h3b3v利用ai4vuurGhhh CA 02 j ,容易证明vurnGh%

2、CB 0, v v所以，倒格子矢量G h1b1v vh2b2h3 b3垂直于密勒指数为(%h2h3)的晶面系3.习题、对于简单立方品格，证明密勒指数为(h,k,l)的晶面系,面间距d满足:22d2a2/(h2k2l2),其中a为立方边长;解：简单立方晶格：a!r a2rv _va3 , a1 ai ,va2vaj,va3v ak由倒格子基矢的定义:r ra2 a3 t r r, a1 a2 a3ra3rrr a1 -ra1 a2 a3r ra1 a2t""rra1 a2 a3， v倒格子基矢：b.vb22 v vj, b3 av倒格子矢量：Gv hb)v kb2vlb32

3、vhia2 v k-j a2 v lka晶面族(hkl)的面间距:(h)2 (k)2a a(l)2a4.习题、画出立方品格(111)面、(100)面、(110)面，并指出(111)面与(100)面、(111)面与(110)面的交线的晶向。111解:(111)v ajv aiav,v(1)、(111)面与(100)面的父线的AB,AB平移，A与。点重合，B点位矢：RBuurvv_(111)面与(100)面的交线的晶向ABajak,晶向指数011。,、，,，一，v(2)、(111)面与(110)面的父线的AB,将AB平移，A与原点O重合，B点位矢:Rbuurvv(111)面与(110)面的交线的晶

4、向ABaiaj,晶向指数110。5 .固体中基本结合类型有哪些？原子之间的排斥作用取决于什么原因？(1)基本类型：离子性结合，共价结合，金属性结合和范德瓦尔结合四种基本形式(2)相邻的原子靠得很近，以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时，相邻的原子间便产生巨大排斥力.也就是说，原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子的重叠.(答案参考教材P49)6 .什么是声子？声子就是指格波的量子，它的能量等于hqo在晶体中存在不同频率振动的模式，称为晶格振动。晶格振动能量可以用声子来描述，声子可以激发，也可以湮灭。(答案参考教材P92)7 .对于一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系W-K示意图

5、，并说明光学模式和声学模式所反映的物理意义。(答案参考教材P95-97)解：(1)一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系WK示意图如下上面线条表示光学波，下面线条表示声学波。(2)当波矢q很小时，w与q的关系类似于声波，此格波也可用超声波来激发，因此称为声学波，而离子晶体中的频率为w的格波可以用光波来激发，而且晶体有的光学性质与这一支波有关，故称为光学波。8 .试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点。导体：除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分的被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带；绝缘体：电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各能带全部都是空的，由于满带不产

6、生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电；半导体：由于存在一定的杂质，使能带填充情况有所改变，使导带中有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性，即使半导体中不存在任何杂质，也会由于热激发使少数电子由满带热激发到导带底产生本征导电.（答案参考教材P25CP254）9 .请问德拜模型的基本假设是什么？基本假设：以连续介质的弹性波来代表格波，晶体就是弹性介质，德拜也就是把品格当做弹性介质来处理的。（答案参考教材P126-129）10 .晶体由N个原子组成，试求出德拜模型下的态密度、德拜频率的表达式态密度：g（）3V_2,频率表达式：mC62cH1/323v22C3答案参考教材P12712

7、911.简述Bloch定理，该定理必须采取什么边界条件？（答案参考教材P154-157）（1）当势场具有品格周期性时，波动方程的解具有如下性质：（rR）eikRn（r）,其中k为一矢量，此式就是布洛赫定理。它表明：当平移品格矢口ikRn量Rn时，波函数只增加了位相因子e。（2）边界条件：（r）（rNii）其中Ni,N2,N3为沿1,2,3方向的原胞数，总的原胞N=NiN2N30二、证明or计算题1.已知某晶体中相距为r的相邻原子的相互作用势能可表示为：U（r）丁，其中rr、m>n都是>0的常数，求：a）平衡时两原子间的距离；b）平衡时结合能；思路参考教材P53-54解：（1）求平衡

8、间距r°由皿|0,有：drr0结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用W表示）(2)求结合能w(单个原子的)说明组成晶体的基本单元是单个原子， 而非题中标明单个原子是为了使问题简化，原子团、离子基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即U一11即：WU(r0)(-)(可代入0值，也可不代入)22romon2 .已知N个质量为m,间距为a的相同原子组成的一维原子链,(1)推导其色散关系(2)试绘出整个布里渊区内的色散关系，并说明截止频率的意义。试求出它的格波态密度函数g()，并作图表示。解：(1)mn(n1n)

9、(nn1)(n1n12n)设方程的解nAeitnaq,代回方程中得到：q的取值范围称为布里渊区。3Vc3 3)g()、一2,代入即可得出。22C3答案参考教材P8287习题4-3.电子在周期场中的势能函数1 _2,22-mbxna,*nabxnabVx20，当n1abxnab其中a4b,为常数，(1)画出此势能曲线，并求其平均值；(2)用近自由电子近似模型求出晶体的第一个以及第二个禁带的宽带解：(I)题设势能曲线如下图所示.(2)势能的平均值：由图可见，V(x)是个以a为周期的周期函数，所以题设a4b,故积分上限应为ab3b,但由于在b,3b区间内V(x)0,故只需在b, b区间内积分.这时，

10、n0,于是21 bm b 2V ； bV(x)dx - b(baz.a2. . mx )dx 2ab2x-m b206(3),势能在-2b,2b区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数禾用积分公式u2cosmudu二musinmu2cosmu-33sinmu得mmEs- 216m 23b2第二个禁带宽度Eg2 2V2,以m 2代入上式，代入上式22m 2bai 2( kxky)bEg20(bx)cos%-dx再次利用积分公式有Eg24-3用紧束缚近似求出面心立方金属和体心立方金属中与s态原子能级对应的能带的k函数。解：(1)如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示

11、成：在面心立方中，有12个最近邻，若取Rm0,则这12个最近邻的坐标是：亘(1,1,0),亘(1彳,0),亘(1,1,0),a(1,1,0)2222a(0,1,1),a(0,1,1),a(0,1,1),a(0,1,1)2222亘(1,0,1)刍(1,0,彳)，且(1,0,1)，旦(1,0,1)2222v由于S态波函数是球对称的，在各个万向重登积分相同，因此J(Rs)有相同的值,简单表示为J1=J(Rs)。又由于s态波函数为偶字称，即s(v)s(v),，一D,v*vvv.在近邻重登积分J(Rs)i(Rs)U()V(Rs)i()d中，波函数的贡献为正J1>0o一，v,、cv,._,于是，把近

12、邻格矢Rs代入Es(Rs)表达式得到：aaai-(kxky)i-(kxky)i-(kxky)SJ0J1e2e2e2i2(kykz)i2(kykz)i2(kykz)i-(kykz)e2i|(kxkz)e2i2(kxkz).a,ei2(kxkz).ai-(kxe2kz)J02J1cos(kx2ky)a-cos2(kxky)a8s2(kykz)cosa(kykz)3_ h2一 _ 24ma(coska-2)2-1当 ka = (2n+1)时,n=0,1,2 E (k)应max( )2ma当 ka=2n 时，Emin(k) 0能带宽度=Emax Emm2h22 ma(2)1 dE(k)dkh(sin ka ma1sin 2ka)4h2E=k2m(coska11cos2ka)20时,带底，m2msJ04J1c