湘教版高中数学必修二三角函数的图像和性质教案

1、让学生学会学习第一课时 三角函数的图象和性质三角函数的周期性教学目标一、知识与技能了解周期函数的概念， 会判断一些简单的、 常见的函数的周期性， 并会求一些简单三角函数 的周期。二、过程与方法从自然界中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象、建立周期函数的概念， 再运用数学方法研究三角函数的性质，最后运用三角函数的性质去解决问题。三、情感、态度与价值观培养数学来源与生活的思维方式，体会从感性到理性的思维过程，理解未知转化为已知的数学方法。教学重点周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。教学难点周期函数的概念设计思路创设情境，从自然界中的周期现象出

2、发，通过对P点的圆周运动这一模型的分析，引入周期函数的概念。在研究P点的圆周运动时，给出了 y=f（t）的图象；并在研究了三角函数的周期后，给出了 y=sinx的图象，让学生从图象上对函数的周期加深理解，让学生体会数形结合的思想。在讲解例2时，充分利用解方程的思想，让学生更易理解。教学过程一、创设情境每年都有春、夏、秋、冬，每星期都是从星期一到星期日，地球每天都绕着太阳自转，公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返，这一些都给我们循环、 重复的感觉，可以用“周而复始”来描述，这就叫周期现象。二、学生活动（P点的圆周运动）如图，点P自点A起，绕圆周按逆时针方向进行匀速运动。点P的运动轨迹是：A-B-

3、C-D-A-B-C-D- A-B-C-D-A-B 显然点P的运动是周期运动。设圆的半径为2,每4分钟运动一周。设 P到A的距离为V,运动时间为3则y是t的函数，记为 y=f（t）.则 f(0)=f(4)=f(8)=f(12)=二0,（位置在A点）f(2)=f(6)=f(10)=f(14)二二4,（位置在C点）般地，点P运行t分钟到达的位置与运行（t+4）分钟到达的位置相同，由此能得到这样的数学表达式：f(t+4)=f(t)想一想：f(t+8)、f(t+12)与f(t)有什么关系？说明它们的实际意义。f(t+8)=f、f(t+12)=f(t),运行时间不等，但最终位置相同x的值，每增加或减少一个

4、不为零的可以用描点法画出这个函数的图象(如图)它的特征是：在区间(0,4)(4,8)(8,12)内重复。我们将上面的函数y=f(t)称为周期函数。三、建构数学一般地，对于函数 f (x),对定义域内的每一个定值T,函数值就重复出现，这个函数就叫做周期函数，即 f(x+T)= f(x)(一)、周期函数及周期的定义周期函数定义如下：一般地，对于函数f (x),如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值，者B满足f(x+T尸f(x),那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。前面函数y=f的周期可以认为是 4、8、12、 (二)、最小正周期的概念.对于一个函数f(x),

5、如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期注思今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期.显然上面的函数y=f(t)的周期T=4.(三)、三角函数的周期思考：正弦函数y=sinx是周期函数吗？即能否找到非零常数T,使sin(T+x)= sinx成立?sin(2兀+x)=sinx, sin(4兀+x)=sinx,根据周期函数定义判断它是周期函数，又根据周期的规定，它的周期 T=2兀(最小正值)用几何画板展示周期函数 y=sinx的图象，使学生感知其特征。讨论：余弦函数y=cosx和正切函数y=tanx也是周期函数，并找出它们的周期。周期分别是2 nt、兀四、数学

6、运用例1若钟摆的高度h (mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示。(1) 求该函数的周期；(2) 求t=10s时钟摆的高度。分析：周期可由两顶点间距离确定，此函数周期T=1.5;根据函数的周期性，f(10)=f(10 1.5)=f(10 -2 1.5)=f(10 1.5k)(其中 k 为整数)，直到 101.5k=1 或 2.5 为止，即 f(10)=f(1)=20.解：(略)例2 求函数f(x)=cos3x的周期。解：设周期为 T. f(x)=cos3x=cos(3x+2 兀)，f(x+T)=cos3(x+T) 由 f(x)= f(x+T)得,3x+2 兀=3(x+T),解得 T=2 兀

7、 /3.函数f(x)=cos3x的周期2兀/3.注意：运用了换元方法，u=3x;f(u)=cosu的(最小正)周期是2兀；即cosu=cos(u+2兀)；由于cos(3x+2兀)=cos3(x+T)对任一 x的值都成立, cos3x的周期与f(u)=cosu的周期是两个不同的概念。所以3x+2 兀=3(x+T); f(x)=例3.求下列函数的最小正周期T.(1)f(x)3sin x(2)f(x)(3)f(x)sin 2x12sin(- x解：(1)f (x) 3sin x3sin(x 2 )f (x 2(2)f (x) sin 2xsin(2x 2 )sin 2(xf (x函数的最小正周期为兀

8、(3).1f (x) 2sin( x )24函数的最小正周期为2sin(-1x12sin- (x4 ) - f(x4总结一般规律:Asin(),yAcos( x一 2)的最小正周期是I I因而自变量例4.求证:证明:(1)Asinz,zx只要并且至少要增加到x(1)(2)f (xy cos2x sin 2x的周期为兀；| sinx | |cosx|的周期为万.)cos2(x)sin 2(x)cos(22x) sin(22x)cos2xsin 2x f (x)y cos2x sin 2x的周期是(2) f (x -) 2| cos(x ) |cos x |2| sin x | | sin x |

9、 | cosx | f (x)1 y | sin x| | cosx | 的周期是一.2总结:(1) 一般函数周期的定义(2) y Asin( x ), y Acos( x )周期求法尝试练习(1)求 g(x)=2sin( 1 x )的周期。26(2)证明函数f(x) Asin( x )(其中A,为常数，且A 0,0)的周期结论:一般的，周期函数y=Asin(cox+ )及y=Acos(x+)(其中A , w ,为常数,2且AW0,> 0)的周期T二 一 .五、回顾反思通过这节课的学习，你有哪些收获?1 .周期函数、周期概念。一般地，对于函数f (x),如果存在一个非零的常数 T,使得定

10、义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x),那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。2 .函数y=sinx和函数y=cosx是周期函数，且周期均为2兀.3 .函数y=tanx是周期函数，且周期土匀为兀.4 .周期函数 y=Asin( cox+(j)和 y=Acos( w x+ ()(其中 A, w ,()为常数，且 Aw0, 3 > 0)的周期的求法。六、课外作业：1、举例说明周期现象。.5 .、课本3、设m、p、q为自然数，m除以5所得的商是p且余数是q(q<5).显然q是m的函数, 记q=f(m). (1)写出这函数的值域；(2)这函数是周期函数吗

11、？若是，则写出周期；若不是， 则说明理由。七、设计说明：1、由可感受、能理解的实例出发，感性的认识周期函数的概念。比如创设情境，从自然界中的周期现象出发，建立P点的圆周运动这一模型 。本节课的难点在于周期函数概念的理解，因此在讲解概念之前，通过现实情境帮助理解周期运动，在此基础上 理解周期函数的概念就不太困难了。2、通过对P点的圆周运动这一模型的分析，引入周期函数的概念，体现了数学由具体到抽象、由特殊到一般的过程。3、新课程的一个重要理念就是“用教材教，而不是教教材”。在处理例2的过程中，由于课本的解法学生不太易理解，所以，我利用解方程的思想，根据周期函数的概念列出方程，解出周期T,从而降低了

12、难度。4、在教学过程中，我设计一些思考与练习，变由老师讲解为学生思考、探究，发展了学生的思维能力。第二课时 三角函数的图象和性质课型：新授课课时at划：本课题共安排一课时教学目标：1、能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象2、掌握五点法作正、余弦函数图象的方法，并会用此方法画出0,2 上的正弦曲线、余弦曲线教学重点：正、余弦函数的图象的画法教学难点：借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象教学过程：一、创设情境，引入新课为了更加直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象，那么该怎样作出正、 余弦函数的图象？二、新课讲解1、正弦

13、函数图象的画法先画正弦函数的图象。由于y sin x是以2为周期的周期函数，故只要画出在 0,2 上的图象，然后有周期性就可以得到整个图象。（1）几何法：利用单位圆中的正弦线来作出正弦函数图象（注：如何作出函数 y sin x图象上的一个点，如点x0,sin x0 ?不妨设xo 0 ,如图所示，在单位圆中设弧AP的长为xo ,则MP sinx。所以点S xo,sinx。是以弧AP的长为横坐标，正弦线 MP的数量为纵坐标的点。）作法步骤：将单位圆十二等份，相应地把x轴上从0到2 这一段分成12等份。把角x的正弦线向右平移使它的起点与x轴上表示x的点重合，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就

14、得到正弦函数y sin x在0,2 区间上的图象。最后只要将函数y sinx, x 0,2 的图象向左、右平移（每次2个单位），就可 以得到正弦函数的图象叫做正弦曲线。(2 )五点法：在函数y sin x x 0,2 的图象上，有5个关键点：30,0 , ,1 ,0 , - , 1 , 2 ,0 ,汪意正弦曲线的走向，将这五点用光滑的曲线连22接起来，可得函数的简图。2、余弦函数图象的画法(1)几何画法：利用余弦线来作出余弦函数的图象(2)由正弦函数的图象依据诱导公式变换可得到cosx sin( x)可知将y sin x的图象向左平移一个单位几得到 y cosx的 22图象。(3) 五点法在函

15、数y cosx , x 0,2 的图象上，五个关键点为30,1 , ,0 , 1 , 一 ，0 , 2 ,0 ,利用此五点作出 y cosx的间图。22三、例题剖析：例1、用五点法画出下列函数的简图：(1) y 2cos x, x R(2) y sin 2x , x R解：(1)先用“五点法”画一个周期的图象，列表:x023W2cosx10-1012cosx20-202描点画图，然后由周期性得整个图象;(图略)(2)列表:x04万342x03222sin2x010-10描点画图，然后由周期性得整个图象(图略)四、练习1、画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正弦曲线的区别和联系:(1) y

16、 sin x 1(2) y 2sin x2、画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与余弦曲线的区别和联系:(1) y 1 cosx y COS x 3五、课堂小结：1、正弦函数的几何画法;2、五点法作图第三课时三角函数的图象与性质课型：新授课课时计划：本课题共安排一课时教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；会求它们的周期,会判断它们的奇偶性;2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念,3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性教学过程：一、创设情境，引入新课我们已经知道正、余弦函数都是周期函数，那它们除此之外还有哪些性质呢?二、新

17、课讲解知识要点：1、定义域：函数y sinx及y cosx的定义域都是, ，即实数集 R2、值域：函数y sin x , x R及y cosx, x R的值域都是1,1理解：(1)在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sinx 1,cosx 1,即 1 sin x 1 ,1 cos 1。(2)函数 y sinx在 x 2k -,(k Z)时，y 取最大值 1,当 x 2k (k Z) 时，y取最小值-1；函数y cosx在x 2k , (k Z)时，y取最大值1,当x 2k , (k Z)时，y取最小值-1。3、周期性正弦函数y sin x , x R和余弦函数y co

18、sx, x R是周期函数，2k (k Z且k 0) 都是它们的周期，最小正周期是2 。4、奇偶性正弦函数y sin x , x R是奇函数，余弦函数 y cosx, x R是偶函数。理解：(1)由诱导公式sin x sin x , cos( x) cosx可知以上结论成立；(2)反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于 y轴对称。5、单调性(1)由正弦曲线可以看出：当 x由 ,增大到 万时，曲线逐渐上升，sinx由-1增大到1；当x由一增大到3时，曲线逐渐下降，sin x由1减至-1,由正弦函数的周期性知道：22正弦函数y sinx在每一个闭区间 一2是增函数；3在每一个闭区间一2k ,3 2k k22(2)由余弦曲线可以知道：余弦函数y cosx在每一个区间2k 1数；在每一个闭区间2k