某零件供应商将大批的零件卖给某装配厂

1、Chapter 8 Tests of Hypotheses for Means and Proportions8.1 Testing Hypotheses About Population Parameters P.2741. 某零件供應商將大批的零件賣給某裝配廠，如果每一批貨品當中有瑕疵之比例少於8%，則予以接受。但由於，如果每批均逐一檢查，則成本花費相當大，故實務乃採抽樣檢驗(sampling inspection)方式。如果抽樣檢驗的結果符合前述之條件，則決定購買該批零件。2. 某一新出品的洗衣肥皂，其廣告宣稱去污力超過舊式之洗衣肥皂。在此個案中，我們欲檢定此廣告是否誇大，於是由一堆髒衣

2、物一半以舊式肥皂洗滌，另一半以新式肥皂洗滌，檢查是否新式肥皂之去污力比舊式肥皂強。3. 檢定一項統計假設是近似於法庭審判的程序。在審理一位竊盜犯時，法官必須判斷出清白或者無罪。當審判開始時，被告是假設為清白的。檢察官蒐集與提出所有有利的證據以企圖推翻無罪的假設及因而獲得定罪。結論：假如有足夠證據推翻清白，法庭將拒絕清白的假設，並宣告有罪。假如檢察官無足夠的證據證明罪行，法庭將判其為無罪，非其無罪為真。這些觀念被用來檢定第七章所討論的四種母體參數： P.276a) b) c) d) 8.2 A Statistical Test of Hypothesis統計檢定1. 假設檢定(hypothesi

3、s testing)是指先對母體特性作一適當的描述，然後利用抽出來的隨機樣本推論(檢定)此描述是否正確，此過程或統計方法便稱為假設檢定。2. 統計假設(statistical hypothesis)係指有關母體特性之述句(假設)。而此述句為真(true)或偽(false)則可由此母體抽樣所得之訊息予以評斷。3. 統計研究者總是從假設虛無假設是對的開始，再利用抽樣資料去判斷證據是否偏向於對立假設，並下這二種結論中的一個：a) 拒絕H0，並接受Ha是對的。b) 接受H0是對的。4. 欲否定者，稱為虛無假設(null hypothesis)；符號H0表示。P.2755. 欲接受者，稱為對立假設(al

4、ternative hypothesis)，符號H1表示。P.2756. 設立假設的準則：準則1：若錯誤地拒絕H0，其後果較嚴重者；此時便表示我們所建立的是合適的。準則2：以某人(單位、機構、企業等)的宣稱(或他人的主張)作為H0。即假定他人的主張是真實的。與公司立場不同準則3：當目標在於以樣本觀察值支持我們的主張時，作為H1。與公司立場相同準則4：問題中若出現是否顯著地時，則作為H1。¨ 統計檢定由五個部分組成： P.2761) A null hypothesis(虛無假設), denoted by the symbol H02) An alternative hypothesis

5、(對立假設), denoted by the symbol Ha3) A test statistic檢定統計量4) A rejection region拒絕域5) Conclusion結論Example 8.1 P.276希望證明加州建築工人的每小時平均工資與全國平均值$14有差異。即想要拒絕虛無假設加州建築工人的每小時平均工資為$14。-準則_Example 8.2 P.277在機器上做簡單調整，將降低該研磨製程所產生的不良率。-準則_¨ 母體(population)是指所研究的項目或事物之總體。¨ 樣本(sample)是指抽取自母體用來做為分析的部分。¨ 參

6、數(parameter)是指用來說明母體的特徵，它可由母體資料計算而得。¨ 統計量(statistic)是指用來說明取自母體的樣本之特徵，它可由樣本資料計算而得。¨ 檢定統計量的機率分配之圖形將被分割成二個區域：一為拒絕域(region of rejection)或稱為棄卻域(critical region)，另一為非拒絕域或接受域(acceptance region)。也就是說，為了判斷H0是否為真，我們必須先決定有關的母體分配之臨界值(critical value)，此臨界值區隔拒絕域和非拒絕域。拒絕域拒絕域臨界值x的假設值臨界值非拒絕域two-tailed test

7、of hypothesis 雙尾假設檢定 (如上圖)one-tailed test of hypothesis 單尾假設檢定拒絕或接受虛無假設的決策是基於由有關母體抽出樣本中所包含的資訊來判斷。test statistic 檢定統計量8.3 A Test of Hypothesis for a Population Mean消費者基金會關心某公司生產麥片裝填重量不足的情況。因此，想知道是否有證據顯示平均每盒裝填重量低於368克?H0：表示所獲得的結論是生產過程適當(即x = 368克)H1：表示所獲得的結論是平均裝填量偏離368克假設樣本平均數為367.5克，因為該值接近假設值368克，我們將

8、傾向於推論母體平均數沒有改變(即x = 368克)。如果樣本平均數是320克，因為樣本平均數320克遠離假設值368克，則直覺認為母體平均數不為368克(即x 368克)。不幸地，決策過程並非都是這麼明確。如何才算是靠近或遠離母體平均數，常因人而異。因此，統計假設檢定採用定量的決策過程，可解決上述問題，而不因人而異了。欲達到此目的，先須決定樣本統計量(即樣本平均數)的抽樣分配，然後計算適當的檢定統計量(test statistic)之值。此檢定統計量可用來量測樣本值接近假設值的程度，並且其機率分配常常是眾所皆知的分配(譬如常態、t分配等)。1. Consider a random sample

9、 of n measurements drawn from a population that has mean and standard deviation . We would like to test a hypothesis of the form,為之假設值。其對立假設為 P. 2802. provides a value of the parameter to be tested , that is, equals . P. 2803. gives a range of possible values for . P. 2804. The sample mean is the be

10、st estimate of the actual value of , which is presently in question. P. 2805. Those values of that are extremely small / large would imply意味著 that is larger than hypothesized. Hence, we will reject if is “too small / large.” P. 280.The Large-Sample Test P.280When the sample size n is large, the samp

11、ling distribution of is approximately normal:The mean is:The standard deviation is:If the alternative hypothesis is , the probability of rejecting the null hypothesis , when it is true, is equal to the area under the normal curve lying above the rejection region. Thus, if we want , we would reject w

12、hen is more than 1.645 standard deviations to the right of . P.280雙尾檢定1) 臨界值檢定拒絕域拒絕域接受域z1-Z/20C1C20Z/20z1P-值ZP-值Z2) Z-檢定3) P-值檢定4) 信賴區間檢定The interval for is . If does not fall in the interval, we would be inclined傾向 to reject .Example 8.4Definition: Power of a statistical test統計檢定力 P.283真正母體平均數與假設平均

13、數之間的差距愈大，則該檢定的檢定力亦愈大。A graph of , the probability of rejecting when, in fact, is false, as a function of the true value of the parameter of interest is called the power curve for the statistical test. 統計檢定力曲線 p. 283We would like to be small and the power to be large.Example 8.5 Figure 8.4 Table 8.3

14、p. 284Figure 8.5 Note that the power of the test increases as the distance between and increases.真實值愈接近假設值，則偵測出差異的檢定力就愈低。實驗者必須決定和的值，以衡量所願意容忍的可能犯錯誤之風險，再參考檢定力曲線來選擇樣本大小。The Small-Sample Test: When the sample size is small and the population standard deviation is unknown.1. vs. 2. 檢定統計量3. 檢定規則4. 計算5. 結論

15、雙尾檢定1) 臨界值檢定拒絕域拒絕域接受域t1-t/20C1C20t/20t1P-值tP-值t2) Z-檢定3) P-值檢定4) 信賴區間檢定The interval for is . If does not fall in the interval, we would be inclined傾向 to reject .Example 8.6Example 8.78.4 Another Way to Report the Results of Statistical Tests: p-Values顯著機率值(又稱P值; P value)：由樣本所計算的檢定統計量值，並由統計量的機率分配查出能觀

16、察到該值或比該值更極端的所有可能值的機率Definition:一統計檢定的p-值或觀察顯著水準observed significance level是被拒絕的值中最小的。在統計檢定的觀察值下若被拒絕, 則實際風險為犯了型I錯誤。P-值為測量反對的證據強度。是檢定統計量之值所計算出的右邊實際面積。一個很小的p-值指出檢定統計量的觀測值遠離著假設的值。這對是錯的且被拒絕(reject )，提供了強大的證據。一個大的p-值指出檢定統計量的觀測值落在假設的值不遠處，且不支持拒絕的假設(do not reject )。Definition:若p-值比已給的顯著水準更小時，則可被拒絕，其結果在顯著水準下有

17、統計顯著性。雙尾p-值是計算出的檢定統計量之值所對應出實際的兩倍尾端面積。Example 8.8 P. 294Figure 8.8Example 8.9 P. 295Figure 8.98.5 Tests Concerning the Difference Between Two Population Means1. Large-Sample Statistical Test for 2. The small-sample test for a difference between population means is based on the assumption that both po

18、pulations are normally distributed and, in addition, that they possess equal variances8.6 A Paired-Difference Test for 8.7 A Large-Sample Test of Hypothesis for a Binomial Proportion8.8 A Large-Sample Test of Hypothesis for the Difference Between Two Binomial Proportions8.9 Inferences Concerning Pop

19、ulation Variances8.10 Some Comments on the Theory of Tests of Hypotheses實驗者可以藉由使用適當的 值控制拒絕 之錯誤的風險，另一方面， 值受樣本大小和在對實驗者實質重要的檢定下之參數值影響。當這訊息無法獲得時，實驗者必須決定選一充足的樣本大小，以期望此樣本能包含充分訊息足以拒絕虛無假設。若樣本沒有提供充分證據去拒絕 ，實驗者因未知 值而可能希望陳述結論以“資料不支持拒絕 ；do not reject ”而不說接受；accept 。一些實驗者寧願使用觀測的p-值去計算作為拒絕決策之樣本訊息強度，這些值通常是用電腦產生且時常使用在統計結果的報告上。例如：報表結果意義p-值 > 0.05表示以 = 5%，結果為不顯著。p-值 < 0.05表示0.01 < p-值 < 0.05，以 = 5%，結果為顯著。p-值 < 0.01表示0.001 < p