课时提升作业(六)23

1、圆学子梦想 铸金字品牌温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(六)函数的奇偶性与周期性(25分钟50分)1.定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是.【解析】由奇函数的概念可知y=x3，y=2sinx是奇函数.答案：22.下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为.y=cos2x，xR；y=log2|x|，xR且x0；y=ex-e-x2，xR；y=x3+1，xR.【解析】由函数是偶函数可以排除和，又函数在区间(1，2)内为增函数，而此时y

2、=log2|x|=log2x为增函数，所以正确.答案：3.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x)，当x(0，2)时，f(x)=2x2，则f(2015)等于.【解析】因为f(x+4)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 015)=f(503×4+3)=f(3)=f(-1).又f(x)为奇函数，所以f(-1)=-f(1)=-2×12=-2，即f(2 015)=-2.答案：-2【方法技巧】周期性问题常与奇偶性相结合，解题时注意以下两点：(1)周期的确定：特别是给出递推关系要明确周期如何确定.(2)周期性与奇偶性在解题时，一般情况下周期性起到

3、自变量值转换作用，奇偶性起到调节转化正负号的作用.【加固训练】(2014·皖北八校模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，f(x-2)=f(x+2)，且x(-2，0)时，f(x)=2x+12，则f(2013)=.【解析】因为f(-x)=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数.因为f(x-2)=f(x+2)，所以f(x+4)=f(x)，即函数的周期为4.所以f(2 013)=f(4×503+1)=f(1).因为f(-1)=2-1+12=1，f(-1)=-f(1)=1，即f(1)=-1，所以f(2 013)=f(1)=-1.答案：-14.(2015·苏

4、州模拟)f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=log2(1-x)，则f(3)=.【解析】f(3)=-f(-3)=-log24=-2.答案：-25.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=.【解析】因为函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，所以f(-x)=f(x)，即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|，所以|-x+a|=|x+a|，所以a=0.答案：06.(2014·温州模拟)若函数f(x)=sinx(x+a)2是奇函数，则a的值为.【解析】由f(-1)=-f(1)，得sin(-1)(-1+a)2=-sin1(1+a)2，所以(-1+a)2=(1+a)2，

5、解得a=0.答案：07.(2015·重庆模拟)已知函数y=f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=lgx，则ff1100的值等于.【解析】因为当x>0时，f(x)=lgx，所以f1100=lg1100=-2，则ff1100=f(-2)，因为函数y=f(x)是奇函数，所以ff1100=-f(2)=-lg2.答案：-lg28.(2015·徐州模拟)能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数中是圆O的“和谐函数”的是.f(x)=4x3+x；f(x)=ln5-x5+x；f(x)=tanx2；f(x)=ex+e-x.

6、【解析】由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数.中，f(0)=0，且f(x)为奇函数，所以f(x)=4x3+x为“和谐函数”；中，f(0)=ln5-05+0=ln1=0，且f(-x)=ln5+x5-x=ln5-x5+x-1=-ln5-x5+x=-f(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(x)=ln5-x5+x为“和谐函数”；中，f(0)=tan0=0，且f(-x)=tan-x2=-tanx2=-f(x)，所以f(x)为奇函数，故f(x)=tanx2为“和谐函数”；中，f(0)=e0+e-0=2，所以f(x)=ex+e-x的图象不过原点，所以f(x)=ex+e-x不

7、是“和谐函数”.答案：9.设定义在-2，2上的偶函数f(x)在区间0，2上单调递减，若f(1-m)<f(m)，则实数m的取值范围是.【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以不等式f(1-m)<f(m)，等价于f(|1-m|)<f(|m|).又当x0，2时，f(x)是减函数.所以|1-m|>|m|,-21-m2,-2m2,解得-1m<12.答案：-1,1210.(2015·连云港模拟)若函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数，且在0，2上的解析式为f(x)=x(1-x),0x1,sinx,1<x2,则f294+f41

8、6=.【解题提示】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求解析式，通过分段函数求解即可.【解析】函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数，且在0，2上的解析式为f(x)=x(1-x),0x1,sinx,1<x2,则f294+f416=f8-34+f8-76=f-34+f-76=-f34-f76=-341-34-sin76=-316+12=516.答案：516(20分钟40分)1.(5分)(2014·山东高考改编)对于函数f(x)，若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)=f(2a-x)，则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是.f(x)=x；f(x)=x

9、2；f(x)=tanx；f(x)=cos(x+1).【解题提示】本题为新定义问题，准确理解准偶函数的概念再运算.【解析】由f(x)=f(2a-x)可知，fx关于x=a对称，准偶函数即偶函数左右平移得到的.答案：【加固训练】定义两种运算：ab=a2-b2，ab=(a-b)2，则f(x)=2x2-(x2)的奇偶性为.【解析】因为2x=4-x2，x2=(x-2)2，所以f(x)=4-x22-(x-2)2=4-x22-(2-x)=4-x2x，该函数的定义域是-2，0)(0，2，且满足f(-x)=-f(x).故函数f(x)是奇函数.答案：奇函数2.(5分)(2015·杭州模拟)若偶函数y=f(

10、x)(xR)满足f(x+2)=f(x)，当x0，1时，f(x)=x，则y=f(x)的图象与y=log4|x|的图象的交点个数是.【解析】由于f(x)是满足f(x+2)=f(x)的偶函数，且当x0，1时，f(x)=x，故f(x)是周期为2的周期函数，其图象如图所示，根据函数y=log4|x|也是偶函数，其图象也关于y轴对称，容易知道它们的交点共有6个.答案：63.(5分)(2015·徐州模拟)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=-14x+12x，则此函数的值域为.【解析】设t=12x，当x0时，2x1，所以0<t1.f(t)=-t2+t=-t-122+14

11、，所以0f(t)14.故当x0时，f(x)0,14；因为y=f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x0时，f(x)-14,0；故函数的值域是-14,14.答案：-14,144.(5分)已知函数f(x)满足：f(1)=14，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x，yR)，则f(2015)=.【解析】令x=1，y=0时，4f(1)·f(0)=f(1)+f(1)，解得f(0)=12，令x=1，y=1时，4f(1)·f(1)=f(2)+f(0)，解得f(2)=-14，令x=2，y=1时，4f(2)·f(1)=f(3)+f(1)，解得f(3)=-12，依次求得f(

12、4)=-14，f(5)=14，f(6)=12，f(7)=14，f(8)=-14，f(9)=-12，可知f(x)是以6为周期的函数，所以f(2 015)=f(335×6+5)=f(5)=14.答案：14【一题多解】本题还可以采用如下方法：因为f(1)=14，4f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y)，所以构造符合题意的函数f(x)=12cos3x，所以f(2 015)=12cos3×2 015=14.答案：145.(10分)函数f(x)的定义域为D=x|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值

13、.(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论.(3)如果f(4)=1，f(x-1)<2，且f(x)在(0，+)上是增函数，求x的取值范围.【解析】(1)因为对于任意x1，x2D，有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，所以令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，所以f(1)=0.(2)f(x)为偶函数.证明如下：令x1=x2=-1，有f(1)=f(-1)+f(-1)，所以f(-1)=12f(1)=0.令x1=-1，x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x)，所以f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2，由(2)

14、知，f(x)是偶函数，所以f(x-1)<2，等价于f(|x-1|)<f(16).又f(x)在(0，+)上是增函数.所以0<|x-1|<16，解得-15<x<17且x1.所以x的取值范围是x|-15<x<17且x1.6.(10分)(能力挑战题)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间0，7上，只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性.(2)试求方程f(x)=0在闭区间-2 014，2 014上根的个数，并证明你的结论.【解析】(1)若y=f(x)为偶函数，则f(-x)=f(2-(x+2)=f(2+(x+2)=f(4+x)=f(x)，所以f(7)=f(3)=0，这与f(x)在闭区间0，7上只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是偶函数.若y=f(x)为奇函数，则f(0)=-f(0)，所以f(0)=0，这与f(x)在闭区间0，7上只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是奇函数.综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=