Chapter13VARMA模型

1、19VARMA模型1980年Sims提出向量自回归模型(vectorautoregressivemodel)。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。8.1基本概念8.1.1向量平稳过程设Xt=(x1t,X2t,牙用)由N个随机过程构成的多维随机过程。如果Xt的一阶矩(均值)和二阶矩(协方差)伙E(Xt)晨E(Xt佻)(Xtk便k)为时不变的，即战，鼠与t没有关系，则称Xt为弱平稳过程。当k=0时，丁。E(Xt售)(Xt售)表示Xt的同期协方差矩阵，对角线元素(0)表示过程xit的方

2、差，非对角线元素ij(0)表示过程xit与xt的协方差。当kwo时，对角线元素ii(k)表示Xit与Xi,t-k的协方差,非对角线元素观)表示“让与刈t-k的协方差。8.1.2跨相关矩阵令D表布Xt=(x1t,x2t,xNt)标准差构成的对角矩阵，则Xt与Xt-k的相关系数矩阵为：PkDkD1其中，第i行第j列的元素具体为：cov(xit,xjtk)cov(xit,xjtk)ij(k)-std(xit)std(xjtk)std(Xt)std(xQ当k=0时，P0=D-1I0D-1表示Xt的同期相关系数矩阵。对角线元素ii(0)表示过程xit的同期相关系数1,非对角线元素ij(0)表示过程xit

3、与xjt的同期跨相关系数。当kwo时，对角线兀素ii(k)表示xit与xit-k的自相关系数，非对角线元素ij(k)表示xit与xjt-k的跨相关系数。显然，ij(k)与ji(k)表示不同的线性依存关系，一般情况下，ij(k)与(k)。因此，ij(k)和pij(k)不是对称矩阵。由cov(xt,xj,tk)cov(xj,tk,xit)以及平稳条件可得：cov(xj,tk,xit)cov(xj,t,xi,tk)cov(xjt,x,t(k)即：ij(k)=ji(-k),ij(k)表示矩阵(k)的第i行第j列元素，ji(-k)表示矩阵(-k)的第j行第i列兀素。因此，(k)w(-k),而是(k)=(

4、-k)。同样地，pij(k)布(-k),而是p(k)=p(-k),。将多维相关矩阵总结如下。ij(k)(k=0,1,表示xit的自相关函数。ij(k)(k=0,1,表示xit与xt的同期相关系数。ij(k)(k=0,1,表示xit与x,t-k的跨期相关系数。样本相关系数矩阵估计公式为：?目1?1其中，T?-Xt/TT?11(Xt?)(Xtk?)kTHkKosking(1980,1981)和LiandMcLeod(1981)将单变量情形下的Ljung-BoxQ统计量推广到多元情形。原假设为：p(k)=0,k=1,2,mo即不存在自相关和跨相关。检验统计量为：cm1Q(m)T2-1-Trace(?

5、k?01?k?01)kITk在原假设成立白条件下，Q(m)2(Nm2)。其中，N表示变量的个数。例：1926年1月至1999年11月，SP500指数收益率和旧M股价收益率的自相关和跨相关。例：石油期货与现货价格8.1.3多维变量滤子设A(L)和B(L)表示两个滤子。Aj和Bj表示mD(L)=A(L)B(L)如果A(L)B(L)=I,则称B(L)为A(L)的逆，或者A(L)为B(L)的逆。从卷积公式可以看出,r和rs矩阵。滤子的积为A0B0A0B1A0B2LDOA1B0A1B1DIA2B0D2ABjABLAjBoDj只要A00,A(L)的逆就存在。比如，求一阶多项式(L)=I-iL的逆。AoI,

6、Ai=-1。BoIBi+Ai=0Bi=-Ai=i_2B2+AiBi+A2=0B2=-AiBi=iBj=ij8.2向量自回归模型设定VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设yit,y2t之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型yi,t=f(yi,t-i,yi,t-2,)y2,t=f(y2,t-i,y2,t-2,)则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式,VAR模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数utIID(0,)是Ni阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素,即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。用滞后算子的表述为：(I-iL-2L2-pLp)Yt=(L)Yt=c+ut此处，c表示的不是Yt的均值。对于平稳过程来讲，Yt的均值为：E(Yt)=(i)-ic,其中(i)=I-i-2-p以两个变量yit,y2t滞后i期的VAR(i)模型为例，yi,t=ci+iiyi,t-i+i2y2,t-i+uity2,t=c2+2iyi,t-i+22y2,t-i+U2t就可以建立起两个变量之间的关系。N,一个是最大滞后阶数ko含有N个变量滞后k期的其中,Yt=c+iYt-i+2Yt-2+kYt-k+ut,utIID(0,)Ytcii.ji2.jLiN.juitY2t；c2j