2020-2021学年高一数学人教A版必修1学案：1.3.1 第2课时　函数的最大（小）值 Word版含解析

1、第2课时函数的最大(小)值目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；2.会求一些简单函数的最大值或最小值重点 理解函数的最大(小)值的概念并会求一些简单函数的最大值或最小值难点 求函数的最大值或最小值.知识点函数的最大值和最小值填一填1最大值一般地，设函数yf(x)的定义域为i，如果存在实数m满足：(1)对于任意的xi，都有f(x)m；(2)存在x0i，使得f(x0)m.那么，我们称m是函数yf(x)的最大值，记作f(x)maxm.2最小值一般地，设函数yf(x)的定义域为i，如果存在实数n满足：对于任意的xi，都有f(x)n；存在x0i，使得f(x0)n，就称n是函数yf(x)的最

2、小值，记作f(x)minn.答一答1函数f(x)x21总成立吗？ f(x)的最大值是1吗？提示：f(x)x21总成立，但是不存在x0使f(x0)1，所以f(x)的最大值不是1，而是0.2函数的最值与函数的值域有什么关系？提示：函数值域是指函数值的集合，函数最大(小)值一定是值域的元素如果值域是一个闭区间，那么函数的最大(小)值就是闭区间两端点的值3.函数f(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(c)af(2)，0b0,2cf(2)，2 df(2)，2类型一利用函数的图象求最值例1已知f(x)2|x1|3|x|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)根据函数图象求其最值解(

3、1)当x1时，y2(x1)3xx2；当0x<1时，y2(x1)3x5x2；当x<0时，y2(x1)3xx2.所以y结合上述解析式作出图象，如图所示(2)由图象可以看出，当x0时，y取得最大值ymax2.函数没有最小值利用图象求函数最值的方法：画出函数yf(x)的图象；观察图象，找出图象的最高点和最低点；写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.变式训练1已知函数f(x)求f(x)的最大值、最小值解：如图所示，当x1时，由f(x)x2得f(x)最大值为f(1)1，最小值为f(0)0；当1<x2时，由f(x)得f(2)f(x)<f(1)，即f(x

4、)<1.综上f(x)max1，f(x)min0.类型二利用函数的单调性求最值例2已知函数f(x)x.(1)判断f(x)在区间1,2上的单调性；(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间1,2上的最值解(1)设x1，x2是区间1,2上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).x1<x2，x1x2<0.当1x1<x22时，x1x2>0,1<x1x2<4，即x1x24<0.f(x1)>f(x2)，即f(x)在区间1,2上是减函数(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)，f(2)24；f(x)的最大值为f(

5、1)，f(1)145，f(x)的最小值为4，最大值为5.(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法.首先判断函数的单调性，再利用单调性求出最值.(2)注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析，注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍.变式训练2求f(x)在区间2,5上的最值解：任取2x1<x25，则f(x1)， f(x2)，f(x2)f(x1)，2x1<x25，x1x2<0，x21>0，x11>0，f(x2)f(x1)<0.f(x2)<f(x1)f(x)在区间2,5上是减函数f(

6、x)maxf(2)2，f(x)minf(5).类型三二次函数的最值例3求函数f(x)x22ax1在区间0,2上的最大值和最小值解f(x)(xa)21a2，对称轴为xa.(1)当a<0时，由图(1)可知，f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.(2)当0a<1时，由图(2)可知，f(x)minf(a)1a2.f(x)maxf(2)34a.(3)当1a2时，由图(3)可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(0)1.(4)当a>2时，由图(4)可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.二次函数的最值问题，解题策略一般都是讨论函数的定

7、义域与对称轴的位置关系，往往分三种情况：(1)定义域在对称轴左侧；(2)对称轴在定义域内；(3)定义域在对称轴右侧在讨论时可结合函数图象，便于分析、理解变式训练3已知f(x)3x212x5，当f(x)的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值(1)0,3；(2)1,1；(3)3，)解：作出f(x)3x212x5的图象如图所示，(1)由图可知，函数f(x)在0,2上单调递减，在2,3上单调递增且f(0)5，f(2)7，f(3)4.故在区间0,3上，当x2时，f(x)min7；当x0时，f(x)max5.(2)由图可知，f(x)在1,1上单调递减，所以f(x)minf(1)4，f(x)maxf(

8、1)20.(3)由图可知，f(x)在3，)上单调递增，所以f(x)minf(3)4.无最大值1函数f(x)x24x1，x3,3的值域是(c)a(，5b5，)c20,5 d4,5解析：f(x)(x2)25，当x2时，函数有最大值5；当x3时，函数有最小值20，故选c.2函数f(x)在1,2上的值域为(c)a. b.c. d.解析：f(x)在1,2上是减函数，f(2)f(x)f(1)，又f(2)，f(1)3，f(x)3，故选c.3若函数yax1在1,2上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(c)a2 b2c2或2 d0解析：当a>0时，yf(x)的最大值为f(2)2a1，最小值为f(1)

9、a1，(2a1)(a1)2，解得a2.当a<0时，yf(x)的最大值为f(1)a1，最小值为f(2)2a1，(a1)(2a1)2.解得a2，综述，a2或a2，选c.4若函数f(x)则f(x)的最大值为11.解析：当x1,2时，f(x)为增函数，其最大值为f(2)10；当x4,1时，f(x)为减函数，其最大值为f(4)11.故函数f(x)的最大值为11.5求函数f(x)x22axa1(a>0)在4,4上的最大值解：f(x)(xa)2aa21，当0<a<4时，f(x)在4，a上是减函数，在a,4上是增函数又f(4)9a17，f(4)177a，f(4)>f(4)所以f(

10、x)的最大值为f(4)9a17.当a4时，f(x)在4，4上是减函数，所以，f(x)的最大值为f(4)9a17.综上，在4,4上函数的最大值为9a17.本课须掌握的三大问题1函数最值定义中两个条件缺一不可，若只有(1)，m不是最大(小)值，如f(x)x2(xr)，对任意xr，都有f(x)1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是最大值了最大(小)值的核心就是不等式f(x)m(或f(x)m)，故也不能只有(2)2函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素(2)若函数f(x)在闭区间a，b上单调，则f(x)的最值必在区间