利用一次函数与不等式进行方案设计

1、利用一次函数与不等式进行方案设计不等式与一次函数原本是属于不同性质的两个数学知识， 但在我们的生活实 践中却存在着许多的问题， 若能巧妙地构造出一次函数， 再运用综合运用不等式 的知识求解，往往能显得十分简捷，现以 2008 年中考试题为例说明如下：例1 （南充市）某乒乓球训练馆准备购买 10副某种品牌的乒乓球拍，每副 球拍配x（x3个乒乓球，已知A, B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球 出售，且每副球拍的标价都为 20元，每个乒乓球的标价都为 1 元，现两家超市 正在促销，A超市所有商品均打九折（按原价的 90%付费）销售，而B超市买1 副乒乓球拍送 3个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓

2、球的费用， 请解答下列问题：（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去 A超市还是B超 市买更合算？（2）当x= 12时，请设计最省钱的购买方案.分析（ 1）分别求出 A， B 两家超市购买所需费的表达式，再进行分类讨论 求解.（2）当x= 12时，即购买10副球拍应配120个乒乓球，由此可通过适当 计算进行比较求解 .解（1）去A超市购买所需费用 yA= 0.9（20 W+10x） = 9x+180,去B超市购买所需费用 yB = 20%0+10（x 3） = 10x+170.当 yAV yB 时，即 9x+180v 10x+170，解得 x 10,当 yA= yB 时，即 9x+

3、180 =10x+170,解得 x= 10，当 yAyB时，即 9x+180 10x+170，解得 xv 10，综上所述：当x 10时，去A超市购买更合算；当x= 10时，去A超市或B 超市购买一样；当3$10 = 281 （元）因为281V 288,所以最佳方案为：只在B超市购买10副球 拍，同时获得送30个乒乓球，然后去A超市按九折购买90个乒乓球.说明 这是一道方案设计问题， 意在全面考查同学们应用不等式、 一次函数 解决生活实际问题的能力 .例2 （湘潭市）我市花石镇组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的湘莲共100吨到外地销售，按计划10辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同 一种

4、湘莲，根据下表提供的信息，解答以下问题：湘莲品种ABC每辆汽车运载量（吨）12108每吨湘莲获利（万元）342（1）设装运A种湘莲的车辆数为x，装运B种湘莲的车辆数为y，求y与x 之间的函数关系式；（2） 如果装运每种湘莲的车辆数都不少于2辆，那么车辆的安排方案有几 种？并写出每种安排方案；（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值分析（1）依题意，每种车型的装载量和总载重可得一个等式：12x+10y+8（10 x-y）= 100，即可整理得y与x的关系.（2）由装运每种湘莲的车辆数都不少 于2辆，由此得到装运A种湘莲的车辆数的不等式组，即确定出x的取值范围， 再根据

5、x是正整数，决定方案.（3）依题意，可列出此次销售的一次函数表达式， 再利用一次函数的性质求解.解（1）因为装A种为x辆，装B种为y辆，装C种为10 x y辆，x 2，10 2x 2.则根据题意，得 12x+10y+8（10x y）= 100，所以 y= 10 2x.(2)10 x y= 10 x (10 2x) = x,故装 C 种车也为 x 辆.所以解得2強=4 x为整数，所以x= 2，3, 4.故车辆有3种安排方案，方案如 下：方案一：装A种2辆车，装B种6辆车，装C种2辆车；方案二：装A种 3辆车，装B种4辆车，装C种3辆车；方案三：装A种4辆车，装B种2辆 车，装C种4辆车.（3）设

6、销售利润为 W（万元），贝U W = 3X12X+4X10N10 2x）+2 8x = 28x+400，故W是x是的一次函数，且x增大时，W减少.故x= 2时，W的最大值=400 282= 344 （万元）.说明 本题着重考查同学们根据实际问题建立函数模型的能力.求解时可运用不等式组解决方案设计问题，利用一次函数的性质确定最大利润问题例3 （梅州市） 一方有难，八方支援”在抗击“5.12汶川特大地震灾害中， 某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点.按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装 满根据表中提供的信息，解答下列问题：物资种类

7、食品药品生活用品每辆汽车运载量（吨）654每吨所需运费（兀/吨）120160100（1）设装运食品的车辆数为X，装运药品的车辆数为y.求y与x的函数关系 式；（2）如果装运食品的车辆数不少于 5辆，装运药品的车辆数不少于 4辆， 那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；（3） 在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？并求出 最少总运费.分析（1）由于装运食品、药品、生活用品之和等于100，由此可以得出一个关于x与y的方程，即得到y与x的函数关系式.（2）利用 装运食品的车辆数 不少于5辆，装运药品的车辆数不少于 4辆”，列出不等式组，从而确定了装运 食品、药品、生活用品的

8、车辆数.（3）构造出一次函数，利用一次函数的性质即 可求解.解（1）根据题意，装运食品的车辆数为 X，装运药品的车辆数为y，那么装运生活用品的车辆数为（20x y），则有6x+5y+4（20x y） = 100， 整理，得y = 202 x.（2）由（1）知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为x，20 2x， x，x 5则由题意，得x 5解这个不等式组，得50=820 2x 4.因为x为整数，所以x的值为5，6，7，8.所以安排方案有4种：方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；方案二：装运食品6 辆、药品 8 辆，生活用品 6 辆；方案三：装运食品 7 辆、药品 6 辆，生活用品 7 辆；方案四：装运食品 8 辆、药品 4 辆，生活用品 8 辆 .(3)设总运费为 W (元)，则 W= 6xX 120+5(202) 160+4xX100= 16000 480