完整版数列大题专题训练

1、数列大题专题练习1 b1. 数列 an、 bn?两足：a1 =-,an+bn =1,bn41 =.41 -an(1)求 b1,b2,b3h;(2) 求数列 bn的通项公式；(3)设Sn =a1a2+a2a3+a3a4 + +anan中 ,求实数 a 为何值时 4aSn<bn 恒成立.2 .在平面直角坐标系中,An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n 1,0)(nw N*),满足向量AAn；与向量BnC；共线,且点Bn(n,bn) (nW N*)都在斜率6的同一条直线上.(1)试用ahN与n来表示an ；(2)设a1 = a, b1 = a ,且12 < a E15 ,求数an中

2、的最小值的项.3 .在公差为d (dw0)的等差数列an和公比为q的等比数列bn中,a二b1=1 , a2=b2, a8=b3.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)令cn = an -bn,求数列cn的前n项和Tn.4、在数列an中,a=1,其前n项和Sn满足关系式 3tSn -(2t+3)SnT= 3t(t 0,n =2,3,)(1)求证：数列an是等比数列；1,、(2)设数列an得公比为f (t),作数列bn,使bi=1,bn=f(),n=(2,3,),求bnbn(3)求 bib2 b2b3 +b3b4 b4b5 +b2nb2n +b2nb2n 书的值.5.设数列an的前n项和为Sn,

3、且Sn =(1 +九)九an,其中入列1,0；(1)证实：数列an是等比数列；1 一*(2)设数列an的公比 q = f (九),数列bn酒足 b1 =,bn = f(bn)(nw N ,n >2)求数列bn的通项公式；6 .定义在 R上的单调函数 y=f(x),当x<0时,f(x)>1 ,且对任意的实数 x、yC R,有 f(x+y尸 f(x)f(y),(I)求f(0),并写出适合条件的函数f(x)的一个解析式；1*(n)数列an满足 a1 = f (0)且 f(an + ) =(n= N ),f(-2-an)求通项公式an的表达式;1 a_令(/§='工

4、. .aa2a2 a3an a n 1,4试比较S与一Tn的大小,并加以证实31 2 137 .设SnTE正项数列an的刖n项和,且Sn =an +-an, 424(I )求数列an的通项公式；(n) bn =2n,求Tn =a1bi +a2b2 + +anbn的值218 .一次函数f(x)=ax +bx满足条件：f(0) = f(1)；f(x)的最小值为.8(1)求函数f(x)的解析式；(4#(2)设数列an的前n项积为Tn,且Tn =,求数列an的通项公式；15 J(3)在(2)的条件下,假设5f (an)是bn与an的等差中项,试问数列bn中第几项的值最小 求出这个最小值.9、设等差数列

5、an的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn.(1)假设a11=0,S14=98,求数列 an的通项公式；(2)在(1)的条件下求Sn的表达式并求出Sn取最大值时n的值(3)假设a1>6, an>0, S4W 77,求所有可能的数列an的通项公式10、设an是公比大于 1的等比数列,Sn为数列an的前n项和. & = 7 ,且ai+3, 3a2, 23+4构成等差数列.(I)求数列an的通项公式.(n)令 bn=lna3n 杂 n =1,2,|,求数列bn的前 n 项和 Tn.11,等比数列an中,a2,a3,a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且a1 =64,

6、公比q #1(1)求 an；(n)设bn = log 2 an,求数列|bn|的前n项和Tn.12、 f(x)=logmx (m 为常数,m>0 且 m=1)设f(a) f (a2),f (an)(n w NQ是首项为4,公差为2的等差数列.(I)求证：数列an是等比数列；(n )假设bn=an - f (an ),且数列bn的前n项和Sn,当m = 42时,求Sn；(in)假设cn= an Ig an,问是否存在 m,使得cn中每一项恒小于它后面的项假设存在,求出m的范围；假设不存在,说明理由13.数列an的前n项和为Sn,且满足1 一“ 1、a1 = ,an +2SnSn=0(n之2

7、) (D判断是否为等差数列并证实你的结论;2 Sn一一o oo 11(II)求 Sn 和 % (出)求证：S' +S； + .+ S； <-.2 4n14 .数列an满足 an = 2an+2n 1(n 2 2),且a =5.a(I)假设存在一个实数 匕使得数列为等差数列,请求出九的值2n(II)在(I)的条件下,求出数列 an的前n项和Sn.15 .设数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=2-an, n=1, 2, 3,.(I)求数列 an的通项公式；(n)假设数列 bn满足b1=1,且bn+ =bn +an,求数列 bn的通项公式;(出)设Cn =n(3 -bn),求数列 C

8、n的前n项和Tn.参考答案1 .解：(1) bn+= = =(1 -an )(1+ an)bn (2 -bn)2 - bn3 - 4-,1 - 4-a1= 5,b4 =-67b -2-1-1bnbn -1bn -'11 一 ,、, 一 数列'是以一4为首项,1为公差的等差数列bn -11bn -1-4 -(n -1) - -n -3bnn4( n 4)15- a 4a<1时4aSn <b包成立一Sn 三a1a2 - a2a3 -aan 1 = - -=一4 5 5 6 (n 3)(n 4) 4一2 一晅 n 2 (a -1)n(3a -6)n -8, , 4asn

9、-bn -n 4 n 3 (n 3)( n 4)由条件可知(a 12) + (a 3- n6-)恒8成0立即可满足条件设 _2f(n) =(a -1)n3(a -2)n -8a=1时,f (n) = -3n -8<0恒成立,a>1时,由二次函数的性质知不可能成a<l 时,对称轴3Ja二2 = 3(1-,)M02 a-12 a-1f(n)在(-°0,1为单调递减函数.f (1) =(a -1)n2 (3a -6)n -8 -(a -1) (3a -6) -8 -4a -15 :二 0综上知：a01时,4aSn<b恒成立2 .解：(1) 点Bn(n,bn)(n w

10、 N*)都在斜率为6的同一条直线上,bn 1 -bn(n 1) - n=6,即bn .一bn =6,于是数列bn是等差数列,故bn =,+6(n1). 3分: 入冬¥=(1,小 中an)回.=( 1,bn),又 AA 中与 BnCn 共线,'.1 X(n)-(-1)(an+ n) =0,即 An# An =bn：5分.当n 之2时,an =a +(a2 aj +a -a2) +(a0a.)=a1 +" +b2 +4 +灯=4 b1 (n -1) 3(n -1)(n -2).7分当n=1时,上式也成立.所以 an = a +b (n -1)十3(n -1)(n -2)

11、. 8分(2)把a1 =a,t>1 =-a代入上式,一 一、 一 2 一一 一得 an = a -a(n -1) 3(n -1)( n - 2) = 3n - (9 a)n 6 2a.7 9 a12 <a <15,. <<4,2613分,当n=4时,an取最小值,最小值为 a4 =18-2a.3.解：(1)由条件得:1 + d = q2n1 +7d =q2d =5、q =6an =5n - 4, bn =6n,(2) Tn = C1C2C3 ,- CnTn =a1b1 +a2b2 +a3b3 + +anbn+anbn qTn =a1b2 +a2b3 +a3b4 +

12、 +anbn +anbn 由 一：(1 -q)Tn =a1b1db2db3dbn°dbnanbn1 =a1b1 db2(1q-)-anbn11-q6(1 - 6n 4)n即-5=15- -(5n -4)65Tn =(n1)6n 十 1 14 分4.解：(1)由 3tSn (2t+3)Sn4=3t ,即有2t 33t(a1 +a2) -(2t +3)a1 =3t 由21=1解得22=3t3t所以也=红二a1当n _ 2时,有3tSn+i -(2t +3)Sn =3t3tSn (2t +3)Sn=3t得3tan+i _(2t +3)an =0an 1 2t 3an 3t综上所述,知亘=竺

13、_0 n _1 an 3t因此an是等比数列；, 2t 3(2)由(1)知 f 3t123那么使 b1 =1,bn =2+63 3bn 42所以 bn bn=3n =(2,3,)21因此,bn是等差数列,且b1 =1,bn =bi+(n1)d = -n十一33(3)b1b2 -b2b3 b3b4 -b4b5 b2nb2n - b2nb2n1= b2(b1 也)bjb3-b5)b2n(b2n b2n1)(5+ 4n+1)= -4(b2b4b2n) = / g 加)=-4 2J332328 24= 一n 一 n935.解：(1)由 Sn =(1+,一)一Kan= Sn=(1+7)一?%_,(n 2

14、2)a 相减得：an =一九an +九an-二 =-r(n之2),数列an是等比数列an 411一 、'.bn11,(2) f (九)=,- bn =+ 1 ,1 - ,1 . 4>二1是首项为工=2,公差为1的等差数如工= 2+(n-1) = n+1 bnbibbn(3)Tn儿=1时,an = (-)n j,a Cn = an (- -1) = J),n , 2bn 211 o1 =1 2(-) 3(-)2n(-)nJ111 21T =(1) 2(1) 22221_.1%),1、31、nn()2一得：一Tn =1.) 22111 2-Tn =1 J) (j222(2)2/ 1、

15、3/1、n(万)-)-n(2)3(2)nJc1 cn =2(1一夕)一n1c 1c所以：Tn =4(1-(2)n)-2n(-)n6.解：(I)由题意,令 y=0, x<0,得 f(x)1 -f(0)=0 , .x<0 时,f(x)>1.1f(0)=0. f(0)=1.14分适合题意的f(x)的一个解析式为f(x)=( 2 )x.(II)由递推关系知f(an+1) , f( 2 an)=1,即 f(an+1 2 an)=f(0).*、 f(x)的 R 上单倜,an+1 - an=2 , (nCN), 又 a1=1,故 an=2n 1.1 a 1 bn=(-)an -(-) 22

16、2n,Sn = b1 + b2+bn=1 +()3+ +(1)2n 12 221 -(2)2Tn = a®11=-(1 -23Sn = 4Tn 3a2a=i(1-/).1 a n an 11+ +2n -113-)T(1 4n211+ 十+13 3 5(2n -1)(2n 1)111-)二一 (1 一)2n 12 2n 11211、3)=(T )=2n 132n 14n24n -(2n 1) (2n 1) 4n,4欲比较Sn与一Tn的大小,只需比较 4n与2n+1的大小.3由=1, 2, 3 代入可知 4n>2n+1 ,猜想 4n>2n+1. 10分下用数学归纳法证实(i

17、)当 n=1 时,41>2X 1+1 成立(ii)假设当n=k时命题成立,即4k>2k+1当 n=k+1 时,4k+1=4X 4k>4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1>2(k+1)+1,说明当n=k+1时命题也成立.由(i) (ii)可知,4n>2n+1对于nC N*都成立.一一 4_故 Sn>Tn. 12分3注：证实4n>2n+1 ,除用数学归纳法证实以外,还可用其它方法证实,如：4n=(1+3)n=1+C： S+C： 32+C： 3n 之 1+3n >2n + 1.1 2 13.八7.解(I)当 n = 1 时,a1 =s1

18、 = a +-31 一一,解出 a1 = 3 , 1分424又 4Sn = a n2 + 2a n 3当 n 22 时 4sn 1 = an+ 2a n-1 32222一4an=an-anJ+2(an-an),即an an一 2(an + an)=03分(an +an)(an an2) =0 ,丁 an +an 0. an an=2 ( n 之2)5分二数列an是以3为首项,2为公差的等差数列:an =3 + 2(n 1) = 2n+1 7分(n) Tn =3父21 +5父22 十十(2n+1) 2n又 2Tn =3父22 +5父23川 +(2n-1) 2n +(2n+1)2n+9 分一 Tn

19、 = 3父21 2(22 +23 + +2n)+(2n+1)2n+ 11 分= -6+82父2n+(2n+1) 2n 413 分= (2n1)2n 喘+2 14 分8.解:由题知:a b =020b2 _ 1.4a - 81a 二11 9 1,解得 22,故 f (x) = x 一 - x h 122b 二一一2n2书(2) Tn =a1a2.凤=52(n J)2 in J)工二a1a2|岛二45(n-2),上4r9n 二瓦(n-2),又a =T =1满足上式.所以an(n N).(3)假设 5f (an)是 bn 与 an 的等差中项,那么 2M5f(an)=bn +an,1 o 1o3 o

20、 910分从而 10(an -an) =bn +an, 得 a=5an 6an = 5(an工)-.2255由于an(nw N")是n的减函数,所以当an353< 5M3(n w N坤)时,bn随n的增大而减小,此时最小值为至4(n w N *)时,bn随n的增大而增大,此时最小值为ba;b4.12分又a3 一33-< a4,所以 b3 <±4 ,55即数列bn中4最小,且b3 =5|i- |_l5j/4 )2224- 6 - -512514分9、解：由 an =0,Si4 =98得a1 10d =014al 91d =98解得：a1=20d = -2,当

21、n =11时,(3)法一：由a1 -6/a1 +10d >010分 M(14)得：14a1 -140d <0(4)(4) +(3)得：d >(1/(14)得:-14al <-84(5)7d Z, d =T代入(2)、(3)得：a1 10 , 1 0 ：a1 -1214a1 <168阚 w Z,. a1 =11 或 12 + (3)得：d <11779112分an =a1 n -1 d =22-2nca an n2Sn21n - n2令 an=0 得 n=11Sn取得最大值a1>6, an>0, S14W 77 得:(1)(2)J4al +91d

22、<77 a a2 a3 =7,10.解：I由得: (a-3) 4)解得a? =2 .设数列 an的公比为q ,由a2 = 2 ,可得a1 = 2, a3 = 2q . 4分q一 _一, 2 一一 _又 S3 =7 ,可知 一 +2 + 2q = 7 , q即 2q2 -5q 2=0,-1斛付 q1 =2, q2 =.2由题意得q a1,1. q = 2 .'r S11 1 7故数列an的通项为an =2n.(n)由于 bn =lna3n% n =1,2#|,由(1)得 a3n 1 = 2.bn =ln23n =3nln 2又 bn 1 -bn =3ln 210分二bn是等差数歹U

23、.n(b1 bn)2n(3ln 2 3nln 2)23n(n 1)2ln 2.故=3n(n *1)-2 14分211.解：(I)依题意 a2 =a4+3(a3 a4),即2a4 -3a2 +a2 =0332alq _ 3al q a1q = 0212q -3q 1 = 0= q =Mq =21 q # 1/ q = 4 分2故an =64 g)n,1 n(II) bn =log264M(/)nJL =log2 273=7n二 I bn 1=,7 - nn . 7n -7n 7二当nE7时,|bJ=6,Tn =(6 7 n)n n(13 n)当 n7 时,初| = 1,=T7(1 n-7)(n-

24、7) (n-6)(n-7) =21 12、'n(13 -n)(n <7)'Tn =(n -6)(n -7)21(n 7)解：(I)由题意 f(an)=4+2(n1) = 2n+2,12分即 10gm an = 2n 2,an = m2n 2c2(n 1) 2an 1 m2=2n_2_ = manm1.- m>0且m # 1 ,m2为非零常数,数列an是以m4为首项,m2为公比的等比数列(n )由题意 bn = an f (an) = m2nd210g m m2nH2 = (2n + 2) m2nd2 ,当 m = J2时,bn =(2n 2) 2n 1 =(n 1)

25、 2n 2 Sn =2 23 +3 24 +4 25 +一 +(n +1) 2n七 d式两端同乘以2,得2Sn =2 '24 +3 '25 +4 '26 +n '2n七 +(n +1) 2n的 并整理,得Sn = -2 23 - 24 - 25 -26 - -2n 2 (n 1) 2n 3-23 - 24 25- 2n 2 - (n 1) 2n 3=-23一四- 叱1)2031 -2=-23 23(1 -2n) (n 1) 2n 3r)n 3 n二2 n10 分(出)由题意 Cn =an 1g an =(2n+2) m2n1g m要使cn_1 < cn对一

26、切n > 2成立,2即 n1gm<(n+1)m ,1g m 对一切 n ±2成立,当m>1时, n <(n +1)m2对n 上 2成立；12分当 0<m<1 时,n>(n+1)m22m>2-对一切 n 2成立,只需1 -m2m2 <2,1 - m解得考虑到0<m<1 ,6. . 0<m< .3综上,当 0<m< 或 m>13时,数列品中每一项恒小于它后面的项14 分 一11 八13.斛证：(I) S1 = a1 = /. = 21分2S1当 n>2 时,an =Sn Sn 二即 Sn

27、 Sn=2SnSn2分,1.i ,、一=2故2是以2为首项,以2为公差的等差数列.Sn, m 1 一一一一 1(n)由(I)得 一=2+(n1) 2 = 2n,Sn =Sn2n1.当 n>2 时,an=2SnSn= 6分2n(n -1)1/小一(n = 1), 一 12当 n=1 时,& = 一 二 an =(12n1(n -2)2n(n -1)2111(出)1 当n=1时,Si =一 二 一一成立9分4 2 4 12假设n=k时,不等式成立,即 §2+$；+. + $：三成立2 4k那么当 n=k+1 时,S12 +S； + . +S： +S：+ <-+1一.1

28、2 k2 4k 4(k 1)2111一一- 2 4 k2.,2111k2 k 111k2k212112 4(k 1)即当n=k+1时,不等式成立由 1,2°可知又任意nCN不等式成立(k 1)224k(k 1)224k(k1)一c cc 1111(出)力证：S1S2 . Sn2 - 2 ,24 4 22 4 324 n211111111=-(1 一 一 一) - (1 )22.2.42232n241 2 2 3 (n -1)n11111111=(1 1.-)=一 42 2 3 n -1 n 2 4na a14 .解：1假设存在实数 人符合题目,那么4- n：必为与n无关的常数.2 n2n-1.an ' anan -2an-2n -1 - 1- -:- = 1 -.nn -1nnn ,22222要使电；C亘二£是与n无关的常数,那么 =0,得九=-1.2n 2 n2na,故存在实数 九=-1 .使得数列4为等差数列.6分2n(II)由(I)可得 WF1包盘1=1,二d =1,且首项为 曳二1 =- =2.2n2n22a 1. 方一=2 (n -1)=n 1,. an =(n 1)2n 1