完整版直线和双曲线的位置关系理

1、2.71直线与双曲线的位置关系【学习目标】1. 能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2. 能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)解决相关问题；3. 能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题【知识网络】心在原点,以坐标轴为对称轴的情况下,焦点在哪条坐标轴上;“定式根据“形设双曲线方程的具体形式;"定量"是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.要点二、双曲线的几何性质【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义在平面内,到两个定点 Fi、F2的距离之差的绝对值等于常数 2a (a大于0且

2、2a F1F2 )的动点P的轨迹叫作双曲线.这两个定点F1、F2叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫作双曲线的焦距双曲线的标准方程：焦点在x轴上的双曲线的标准方程22号% 1(a 0,b 0) a b说明：焦点是 Fi(-c , 0)、F2(c , 0),其中 c2=a2- b2标准万程22xyT2 ab1 (a 0,b 0)22土 1(a 0,b 0)图形Ji . XiXA 1 flj麟/或1r0xfit 性质焦点Fi( c,0),F2(c,0)Fi(0, c), F2(0,c)焦距|吓| 2c|FiF2| 2c(c Ja2 b2)(c J a2 b2)范围* x a 或£x a , y

3、 Ry ya或 y a, x R对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(a,0)(0, a)轴实轴长=2a,虚轴长=2b离心率e - (e 1) a渐近线方程yb xaa y Ex焦点在y轴上的双曲线的标准方程22yx2,2ab1(a 0,b 0)说明：焦点是 Fi(0 , -c)、F2(0 , c),其中 c2=a2- b2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形、“定式和“定值三个方面去思考.“定形是指对称中要点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系22将直线的方程y kx m与双曲线的方程 今% 1(a 0,b 0)联立成方程组,消元转化为关于x或ya b的一元二次方程,其判别式为.

4、22| 2、22.2 22以2(b a k )x 2a mkx a m a b 0假设b2 a2k2 0,即k.,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点；a假设b2 a0,即 k -, a直线和双曲线相交直线和双曲线相交,有两个交点;直线和双曲线相切直线和双曲线相切,有一个公共点;1与椭圆生_L 1共焦点,且过点一2,16 2522与双曲线生Y1641有公共焦点,且过点直线和双曲线相离直线和双曲线相离,无公共点.直线与双曲线的相交弦2X设直线y kx m交双曲线a2v 1 (a 0,b 0)于点 P(xi,yi) ,P2(x2,y2),两点,那么 b2X2_y_16252b.yJ 2a

5、1的焦点为0 ,【解析】1 -椭圆2X-21,9 a又点一2,何在双曲线上,IP1P2I .(Xi X2)2 (yi y2)2104 7 1 ,解得a2 9 a25或a2= 18(舍去).=,3 X2)21 (Vi y2)2=.1 k2IXi X2I所求双曲线方程为同理可得1也1XiX2|yi y2 I (k 0)2 X .双曲线162y4这里IxX21, I yi y21,的求法通常使用韦达定理,需作以下变形:.设所求双曲线方程为:2 X 2 a|Xi X2 I.(Xi X2)2 4X1X2I y1y2 I(yi vN 4y/2又点(3 J2 , 2)在双曲线上,184一 22a 20 a1

6、,解得a212或30舍去,双曲线的中点弦问题所求双曲线方程为12遇到中点弦问题常用“韦达定理或“点差法求解2匕1.8【总结升华】根据焦点所在轴的位置合理的设出方程是求双曲线方程的根本步骤.22x v在双曲线 1 a 0,b 0中,以Px0,y°为中点的弦所在直线的斜率ka bb2X02 ；a y【变式1】设双曲线焦点在 X轴上,两条渐近线为涉及弦长的中点问题,常用“点差法设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化, 同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍A. 51y=±x,那么该双曲线的离心率为解题的主要规律可以概括为“

7、联立方程求交点,韦达定理求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题,我们要抽象出相应的数学问题,即建立数学模型,一般要先建立直角坐标系,然后利用双曲线定义,构建参数a,b,c之间的关系,得到双曲线方程,利用方程求解CC.2【答案】C【变式2 (2021双曲线中的最值问题,根据转化途径主要有以下三种:(1)利用定义转化2(A) X2利用双曲线的几何性质(3)转化为函数求最值【解析】D.安徽卷以下双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y= + 2x的是(B)2x_42,y 1 (C)2_y_42X 1 (D)【典型例题】类型一：双曲线的方程与

8、性质例1.求以下双曲线的标准方程.由题意:选项中A, B焦点在X轴,排除2C项的渐近线方程为 X20,即y=± 2x,4应选C.类型二：直线与双曲线的位置关系例2.双曲线x2 y2=4,直线l : y=k(x 1),讨论直线与双曲线公共点个数 【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点,即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解举一反三:【变式1】(2021天津)双曲线1 (a > 0, b>0)的一条渐近线平行于直线l : y = 2x+ 10,双【解析】联立方程组y k(x22x y1) _消去y,并依x项整理得4(1 - k2) - x2+2k2x 一k24=0曲线的一个

9、焦点在直线l上,那么双曲线的方程为()2222A.x匕1B.x七1520205C.3x2过1D.3x2也12510010025(1) 当1 k2=0即k=± 1时,方程可化为2x=5, x=5,方程组只有一组解,故直线与双曲线只有一个公共2点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况,相交但不相切).(2) 当 1 k2乒0 时,即 k乒土 1,此时有 =4 - (4 3k2)假设 4-3k2>0(k2乒 1),那么k 巫,1( 1,1)1,竺3,方程组有两解,故直线与双曲线有两交点.33I(3) 假设4 3k2=0( k2丰1),那么k=±务3 ,方程组有解,故直线与双

10、曲线有一个公共点(相切的情况).3(4) 假设4-3k2<0且k2乒1那么k ,类3空3,方程组无解,故直线与双曲线无交点.43【答案】A【解析】令y = 0,可得x = 5,即焦点坐标为(一5, 0) , . .c= 5,综上所述,当k=±l或k=±炎邑时,直线与双曲线有一个公共点;32.32 3当k£,1(1,1)1,时,直线与双曲线有两个公共点;33当k£2 3,3233 ,时,直线与双曲线无公共点.22.双曲线-x2 匕 1(a > 0, b >0)的一条渐近线平行于直线 l: y = 2x+ 10, a b =2,a.c2 =

11、 a2 + b2, a2 = 5, b2= 20,22双曲线的方程为1.520应选：A.【答案】B【变式2】直线y=x+3与曲线一-x | x|+ - y2=1的交点个数是()x9A.0B.1C.2D.3【答案】D【总结升华】此题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数,具体操作时,运用了重要的数学方法一一分类讨论,而且是“双向讨论,既要讨论首项系数1 k2是否为0,又要讨论 的三种情况,为理清讨论的思路,可画“树枝图如图：例3.过点P(J7,5)与双曲线2y251有且只有一个公共点的直线有几条,分别求出它们的方程.【思路点拨】显然采用过p点的直线方程与双曲线方程22x _y_7251联

12、立的方法,但要注意直线斜率不存在的情况要先判断.【解析】假设直线的斜率不存在时,那么假设直线的斜率存在时,设直线的方程为x 4j,此时仅有一个交点(J7,0),满足条件;y 5 k(x V7)那么 y kx 5 k/7 ,7 g 525)2 125X2 7(kX 5 5) 7 25,2 5设万程(*)的解为X,x2,那么有x1 x2 ,为危 -3 3得,(25 7k2)x2 7 2kx(5 k寸)(5 kV7)2 7 25 0,d V2 | x1 x2 | i/2J(x1 x2)4x1x2 V2J -3*脖.5 ；77时,方程无解,不满足条件;(2)方法一：假设该直线的斜率不存在时与双曲线无交

13、点,那么设直线的方程为y kx 1,它被双曲线截得的弦为AB对应的中点为P(x, y),当k7-时,2 5j7x 10 75方程有一解,满足条件；7当 k2 距时,令 14k(5 k77)2 4(25 7k2)(5 k?)2 165 0 ,化简得：k无解,所以不满 7足条件；所以满足条件的直线有两条X 77和y 匝 x 10.设方程且x1【总结升华】直线与双曲线有一个公共点时可能相切也可能相交,注意直线的特殊位置和所过的特殊点举一反三：2 x 【变式】双曲线-2 ay222 1的右焦点到直线 x-y-1=0的距离为 ,且2a 3c.求此双曲线的方程;(2)设直线y=kx+m(护0)与双曲线交于

14、不同两点值范围.)2例4. (1)求直线y x 1被双曲线x2 42(2)求过定点(0,1)的直线被双曲线x2 匕4G D,假设点A坐标为(0 , -b),且|AC|=|AD|,求实数k取1截得的弦长；1截得的弦中点轨迹方程.【思路点拨】(1) 题为直线与双曲线的弦长问题,可以考虑弦长公式,结合韦达定理进行求解.(2) 题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题,可采用点差法或中点坐标公式,运算会更为简便2解：由xy立1 I 2224 碍 4x (x 1)4 0 得 3x 2x 5 0 (*)kx2 y4*)1一22碍(4 k )x1的解为x,x2,那么2k2kx 50 (*)4 k220(4 k2

15、) 0. .16k2 80,| k| J5 ,x22,入乂24 k4k2'1k1c(x x2)2,y二(y24 k21y2) - (x1 x2)2k2得4x20( y 4 或 y 0).设弦的两个端点坐标为 A(x1, y1), B(x2, y2),弦中点为P(x,y),那么4x122 y4x222 y2yy2xx22即4x y方法二:24碍：4(x14y y24(x x2)x2)(x1x?) (Y14x,y 1y 0 (图象的一局部)【总结升华】(1)弦长公式| AB | Jik2|x1(2)注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法举一反三：y2)(y "x21 J1

16、63; | yy21 ；【变式】垂直于直线 x 2y 3 0的直线l被双曲线2- 七 1截得的弦长为 ,求直线l的方程2053【答案】y 2x 10类型四：双曲线的综合问题2例5.设P是双曲线x2-匕=1的右支上的动点,F为双曲线的右焦点,A(3,1),那么|PA +|PF的最3小值为.【答案】.26 2【解析】设双曲线的另一个焦点为F',那么有F' ( 2, 0) , F(2,0),连结AF'交双曲线的右支于点P,连结 PF,贝U | PF' | | PF| = 2a= 2.于是(| PA + | PF) min= |PlA| + | PF|=| PiAI +

17、 (| PF' | 2) = |AF' | 2= 26 2.【总结升华】双曲线的定义是解决有关最值问题的重要依据举一反三：【变式1】设A(3,2), F为双曲线x22=1的右焦点,3在双曲线上求一点P,使得|PA| 11 PF |取得最小值时,求P点的坐标.【答案】P点的坐标为重1 23 ,那么 2c 4,c 2;2aDF15 32,a【稳固练习】、选择题1.3的渐近线方程是双曲线3x2c1,故离心率一a【变式2】一条斜率为1的直线l与离心率为2x2a2土 1(a 0,b 0)交于P、Q两点,直线l b2uuu uur uuu uur与y轴交于R点,且OP OQ -3,PR 3

18、RQ,求直线和双曲线方程.【答案】直线方程 y x 1 ; 2双曲线方程x2 1222x y【变式3】(2021年 山东文)双曲线 E： -y - =1 (a>0, b>0).矩形ABCD勺四个顶点在 E上,A a bCD的中点为 E的两个焦点,且 2|AB=3| BQ,贝U E的离心率是 .【解析】A.y3xB. y - x3C . y7"3xD.y2.椭圆22xy/24m221与双曲线当Mm221有相同的焦点,贝Um的值是()A.土 1B . 1C. - 1D不存在(2021新课标口文改编) 双曲线过点3.,且渐近线方程为3 x32A.y2 14B.y2 1C.D.依

19、题意,不妨设 AB 6, AD 4作出图像如以下列图所示4. (2021 湖北)将离心率为长度,得到离心率为 e2的双曲线Q,A对任意的a, b, e1 > e2B.当e1的双曲线那么0a > b 时,G的实半轴长a和虚半轴长e1 > e2；当 av b 时,ev e2C.对任意的 a, b, e1< e2 Dx,那么该双曲线的标准方程为2b (a丰b)同时增加m(m> 0)个单位.当 a>b 时,e1<e2；当 avb 时,e>e25. 双曲线的两个焦点为F(- 扼,0)、F2(J5 , 0), P是此双曲线上的一点,且PFPR,| PF| |

20、 PE| = 2,那么该双曲线的方程是()x2 y2x2y2x222 y2A. 1 B. 1 C. y 1D . x%16. 双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,在左支上过F1的弦AB的长为5,假设2a = 8,那么 ABF的周长是()B. 18A. 16C. 21D. 26二、填空题227.双曲线匕124率的取值范围是.1的右焦点为F,假设过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,那么此直线斜8. (2021葫芦岛二模)双曲线2x2a2J 1(a 0,b 0)的一条渐近线经过点(3, 6),那么该渐近线 b与圆(x 2)2+y2=16相交所得的弦长为 .22x y 9.双曲线 -2 &am

21、p; 1 (a>0, b>0)的左、右焦点分别是Fi, E,点P在双曲线右支上,且|PF| =a b4| PF|,那么此双曲线离心率 e的最大值为 .10. 设一个圆的圆心在双曲线 匕1的上支上,且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点,那么原点 O到该916圆圆心的距离是.三、解做题11. 双曲线的中央在原点,焦点为F1, F2 (0,),且离心率e J2,求双曲线的标准方程及其渐近线.212. 设双曲线C:与 y21(a 0)与直线l : x y 1相交于两个不同的点 A、B;求双曲线C的离心率ae的取值范围：2213. (2021肇庆三模)设双曲线 与 与=1 (0<a<

22、b)的半焦距为c,直线l过(a,0) , (0,b)两点.原a bf-点到直线l的距离为 号5求双曲线的离心率.2214. 如下列图,F1, F2为双曲线2 -y2 1 ( a>0, b>0)的两个焦点, 过F2作垂直于x轴的直线交双曲a b线于点P,且Z PFF2= 30.,求双曲线的渐近线方程.【答案与解析】【解析】：将双曲线化为2. 【答案】:【解析】:对椭圆来说,对双曲线来说,A验证法：当n±l时,n = 1, a2 = 4, b2= 1, c2= 3.a?= 1, b?= 2, c?= 3,故当n + l时,它们有相同的焦点.直接法：显然双曲线焦点在 x轴上,故

23、4-希=希+ 2.- n= 1,即 n 土 1.3. 【答案】： A【解析】：根据双曲线渐近方程为 y2y33x2 ；1-x,可设双曲线的方程为22m,把(4,/3)代入 *y242215.双曲线 E：与& 1(a >0, b> 0)的两条渐近线分别为l1： y = 2x, l 2： y = 2x. a b求双曲线E的离心率； 如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1, l2于A B两点(A , B分别在第一、第四象限),且 OAB的面 积恒为8,试探究：是否存在总与直线 l有且只有一个公共点的双曲线 E?假设存在,求出双曲线 E的方程,假设不 存在,说明理由.得m=1.

24、所以双曲线的方程为2x27 y1 ,应选A.4.【答案】:D【解析】依题意,e1a2 b2J1 (a)念-.(a m)2 (b m)2aa m由于2ab mab bm ab ama ma(am)m(b a),由于 nt>0, a> 0, b>0, a(a m)1 (b %a m所以当a>b时,0b 1,0b m1,bb m b 2,()(b)2,所以 e1<e2；aa maa m aam当av b时,-1,b顼1,b而一b m,所以(-)2(虹归)2,所以e1>e2.aamaa maam所以当 a>b 时,eiv e2；当 av b 时,ei>e

25、2.应选D.5. 【答案】: C【解析】：-c=启,| PF| 2+ | PF| 2= | F1F212= 4c2,. (| PF| -| PF2|) 2+ 2| PF| - I PF| = 4c2,.-4a2= 4c2 4 = 16, .a2= 4, b2= 1.6. 【答案】： D【解析】：|AR| |AF| = 2a = 8, |BR| | BF| = 2a= 8,.I AR| +| BFd - (| AF + | BF|) = 16,I AFa| +| BF=| = 16+ 5= 21 ,ABF的周长为 | AR| + | BF| + | AB = 21 + 5= 26.【解析】：由得

26、双曲线的上顶点为代入双曲线方程得169x02< 匕 21 ,所以x°2407.【答案】：、3 ,3,33_ . .3【解析】：由题意知F(4,0),双曲线的两条渐近线方程为y=± Y3x,当过点F的直线与渐近线平行时,3满足与右支只有一个交点,画出图形,通过图形可知该直线斜率的取值范围是?,三332 X 【解析】：双曲线-2 a2y 1(a 0,b 0)的一条渐近线经过点(3, 6), by=2x,圆(x 2)2+y2=16的圆心与半径分别为(2, 0),可得渐近线方程为：该渐近线与圆(x - 2) 2+y2=16相交所得的弦长为:4,3 5A(0,3),上焦点为F(

27、0,5),设圆心为Rx.,y.),那么yo= =4.27 16227 163-,故 | Pq - y° = J1611.【解析】：由条件知焦点在 y轴上,c 2/2 , - J2；可求a 2,b Jc2 a2a的方程为 匕 jL 1,渐近线方程为y x.4412.【解析】：由C与l相交于两个不同的点,故知方程组1,2 ；所以双曲线x y 1.有两个不同的实数解.消去y并整理得(1 a2) x2+2a2x 2a2=0.所以1 a20.4a4 8a2 (1a2)0.双曲线的离心率.1 a2- ne J2 1. Q 0 a J 2旦 a1,a . ae曲且e厄2即离心率e勺取值范围为(一6 ,、."2)2,).22 42 0)2 学.,22 12513. 【解析】：由,l的方程为ay+bx-ab=0,原点到l的距离为亨c ,那么有j ：b 222 . 2一 一 2又c=a+b, . 4ab V3c,两边平万,得3c,416a2(c2-a2)=3c4.故答案为：逐.59.【答案】:53【解析】：由 |PF| -| P| = 2a 及 |PF| = 4| PF2| 得:两边同除以a4并整理得3e4-16e2+16=0, - e2=4