初等数论中地几个重要定理竞赛必备

1、实用标准文档初等数论中的几个重要定理基础知识定义（欧拉（Euler）函数）一组数 九心称为是模啣的既约剩余系，如果对任意的 <5 ）=1且对于任意的&已2，若S的）=1，则有且仅有一个可是对模瓏的剩余，即E = ©（垃朋）。并定义 怒）K =02屈中和曲3互质的数的个数,呦称为欧拉（Euler）函数。这是数论中的非常重要的一个函数,显然埶1） = 1 ,而对于籾7 1，殒用）就是1,2 ,文案大全杭-1中与脸互素的数的个数，比如说尹是素数，则有就=。引理：曲）=叽 口 （1-3P力政*;可用容斥定理来证（证明略）。定理 1:（欧拉（Euler ）定理）设g材=1,则酬。

2、分析与解答：要证訶讥1（恤M蜩），我们得设法找出侃旳个总相乘，由疑同个数 我们想到12M中与喘互质的憾昭）的个数：旬®，卫的，由于仗用）=1，从而 皿1卫勺严卫町也是与喘互质的强网个数，且两两余数不一样，故口口工口皿）M 皿1卫勺，卫口皿口附）（mod税），而（2函.口诚初隔）=1,证明：取模喘的一个既约剩余系3苏血心=卩他），考虑吨卫虬应®，由 于tK与幡互质，故込Q"左打仍与幡互质，且有込込©g uj*），于是对每 个i<J<s都能找到唯一的一个I yj）壬冷，使得叫氓朋），这种对应关系n吗） ipm）问她-3疏（鸟）. （巧）（曲咖）是

3、一一的，从而 ZJjE，二 N >-1。丫（叨,口如）=1£ 、Z，二宀叭网，故酬轨）二Hmod潮）。证毕。这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。定理2:（费尔马（Fermat ）小定理）对于质数戸及任意整数曲有° "心）。设尹为质数，若&是严的倍数，则-。若门不是戸的倍数，则a刃=1由引理及欧拉定理得 血阪。如，上讥如。軌八和1丽，由此即得。 1定理龙*推论：设P为质数，&是与戸互质的任一整数，则总兰伽曲）。定理3:（威尔逊（Wils on ）定理）设沪为质数，则（P即竺1血0&

4、刃。分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找芒一1个数，然后来对应乘法。证明：对于為0= 1，在兀2心，（歹一1”中，必然有一个数除以戸余1，这是因为心2xLp-l）x则好是戸的一个剩余系去0。从而对办巴12"卩-小和卩2切-1，使得Q-l（inglp）；若X” =轨血心），兀戸）=1，则x（yi-y）= O（mcdp），->2），故对于"$3巨1，有兀1 X必。即对于不同的兀对应于不同的，即212,p-l中数可两两配对，其积除以 P余1，然后有使T =畑5，即与它自己配对，这时九21=，（斗+1）（£-1）-0（nK>d誉），击三一或除x = p-外，

5、别的数可两两配对，积除以戸余1。故9-。定义：设了占）为整系数多项式（1丿兰E），我们把含有:M勺一组同余式 去（兀）=0他旳）（1</<上）称为同余方组程。特别地，当均为兀的一次整系 数多项式时，该同余方程组称为一次同余方程组.若整数山同时满足：处）咖od '“空，则剩余类"严刘兀毛乙"巩mod朋）（其中刖=的翅严他）称为同 余方程组的一个解，写作定理4:（中国剩余定理）设气快"叫是两两互素的正整数，那么对于任意整数宀，心，一次同余方程组JJ ,/必有解，且解可以写为:这里心叫叫他，憾二g套Q，以及见满足即此为叫对模马的逆）。中国定理的作用在

6、于它能断言所说的同余式组当模两两互素时一定有解，而对于解的 形式并不重要。定理5:（拉格郎日定理）设戸是质数，吃是非负整数，多项式=+总建+兔 是一个模戸为左次的整系数多项式（即戸% 氏），则同余方程/S） = 0（niodp）至多有挖个解（在模N有意义的情况下）。定理6 :若f为&对模權的阶，去为某一正整数，满足 八，则必为£的倍 数。以上介绍的只是一些系统的知识、方法，经常在解决数论问题中起着突破难点的作用。另外 还有一些小的技巧则是在解决、思考问题中起着排除情况、辅助分析等作用，有时也会起到,_ rifniods）伪哥数时,ro（niodp） 理除川时意想不到的作用，如

7、：八1唤。呵 谕偶数时，"fgo呵 环整知时。这里我们 只介绍几个较为直接的应用这些定理的例子。典例分析例1.设（91曲21,求证：沁|（円-屮）。证明：因为 =,故由（913） = 1 知（91 卫）=1,从而7,0）=1,034 = 1 ,但是 贰?）= 6屁13） = 12，故由欧拉定理得；0兰（J尸=1?二l（mo已7），底"=13），从而0 =附湖曲；同理，0 = lmQd 91）。于是，十沪二1-1“迪制列），即91|（十-0）。注明：现考虑整数口的幕护所成的数列：盘,迁屛，若有正整数*使J = 1（尬閔阎 则有=口（111）1删），其中旳=旬+心0厂 :七；因

8、而关于mod（初，数列盘，衣严，占，的项依次同余于邑戍，卫，&卫工r这 个数列相继的上项成一段，各段是完全相同的，因而是周期数列。如下例:例2.试求不大于100,且使11|+7” +4）成立的自然数W的和。解：通过逐次计算，可求出 ？"关于mod 11的最小非负剩余（即为被 11除所得的余数）为:3=3(niodllX3 =9(inodl|U? =5(也閱 11), 3* =5x3= 4(inocni)孑= 4x3= Rmodl 1)因而通项为歹的数列的项的最小非负剩余构成周期为5的周期数列:3，9，5，4，1, 3，9，5, 4，1，类似地，经过计算可得丿的数列的项的最小非

9、负剩余构成周期为10的周期数列:7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8, 1,于是由上两式可知通项为 3* +?" +4的数列的项的最小非负剩余，构成周期为10 （即上两 式周期的最小公倍数）的周期数列:3, 7, 0, 0, 4, 0, 8, 7, 5, 6,这就表明，当1兰应1。时，当且仅当梓=34,6时，？ +严+4=Ci（ino<ni）,即11|F+于+4）；又由于数列的周期性，故当1<106+1）时，满足要求的W只有三个，即起=10上+310上+ 40上+ 6从而当1 <<100时，满足要求的用的和为:99P工0 诞+ 3）+（1恥+4

10、）+1就+= Y3M+13=302>+10x13 = 3Qx45+13Ci=14BQi-OJUOJUOF面我们着重对Fetmat小定理及其应用来举例例3.求证：对于任意整数 卞，5215 是一个整数。1 51 17工 _ 兀 工证明：令了“21庁，则只需证15/W = +*+7x是15的倍数即可。由3, 5是素数及Fetmat小定理得 宀咖0已5） ,习，则+ 5/ +7兀=3工+ 7尤=O(mod 5) ；+7片=2x+x = Ofmod3而（ 3，5）=1,故3?-h5j?+7j=0inodig，即15是15的倍数。所以/W是整数。例4.求证：2730 I泸一理（用为任意整数）。一迪

11、证明：令/侃）=沪-E,则/（町=巩1）僅+ 1）（/+北+1）际-冲+ 1）涉+1）；所以/ 含有因式於了 -冲才-円卫玉-趴*-M 由Fetmat小定理，知 罔沪一禺7|阳一禺纠录一虬引冷鼻一耳2 |屛一耳又13, 7, 5, 3, 2两两互素，所以2730=1弘7注乂 3艮2能整除屮-找。例5.设口工是直角三角形的三边长。如果 口上工是整数，求证：&阮 可以被30整除。证明：不妨设是直角三角形的斜边长，则 宀 d¥护。若2 S 牛2 1 2 * C,则疋，"朋= 1+I"0od2），又因为所以2|处匕.若3 $ 空，3 $ 3 iC,因为(弘

12、7;1)41伽均，则若 5 $&,5 $ b ,5 S屮+沪=141=2亦呵，又亠畑均，矛盾！从而31尿.C,因为（U±l）=l（mod5；），（缺±2）2 =-1 逊均,7所以护十X = ±2或0（mod5）与= :tljmod矛盾!从而51如又(2,3,5)=1 ，所以30|必存.F面讲述中国剩余定理的应用1的平例6.证明：对于任意给定的正整数 总，均有连续冷个正整数，其中每一个都有大于 方因子。证明：由于素数有无穷多个， 故我们可以取总个互不相同的素数皿，而考虑同余组灼-兀=12卫2 2 2因为PP) 业 显然是两两互素的，故由中国剩余定理知，上述同

13、余组有正整数解。233于是，连续个数"1山+厶5 +冲分别被平方数戸1 /八丑 整除。注：（1）本题的解法体现了中国剩余定理的一个基本功效，它常常能将“找连续«个正整数具有某种性质”的问题转化为“找个两两互素的数具有某种性质”，而后者往往是比较容易解决的。（2）本题若不直接使用素数，也中以采用下面的变异方法：由费尔马数理"+1（20）两两互素，故将中的H转化为町（512屈后，相应的同余式也 有解，同样可以导出证明。例7.证明：对于任意给定的正整数 用，均有连续冷个正整数，其中每一个都不是幕数。分析：我们来证明，存在连续 总个正整数，其中每一个数都至少有一个素因子，

14、在这个数的 标准分解中仅出现一次，从而这个数不是幕数。J证明：取用个互不相同的素数 "如侶，考虑同余组"TO。心）,212/2 2 2因为戸1化'Pk显然是两两互素的，故由中国剩余定理知，上述同余组有正整数解。对于g 3因为时心凸aw；）,故，但由式可知凸科 （x+i）,即在（工+D的标准分解中恰好出现一次，故h +肥都不是幕数。设总，七是给定的偶数，八。且疋（"1）是偶数。证明:证明:存在整数兀使得（凡对=3周=1,且x +粗mod旳。我们先证明，当 用为素数幕卩 时结论成立。实际上，能够证明，存在使P $ 心且盃+y = /t：若戸=2，则条件表明上为偶数，此时可取怎=1=庄一1；中有一对满足要求。若 P >2，则兀=1 与 x=2,y = k-2般情形下，设 g时卩禅）= 12,尸是冷的一个标准分解，上面已经证明