考研极限及应用试题

1、考研模拟试题（一）-极限及其应用（时间180分钟）、计算题（本题共 12小题，每小题60分)1、Xn1,2,2、limn3、limn4、limn5、6、7、8、9、2n 1tann求 I limn求 lim 1n求 lim 1n求limn求limp其中an3n 2 1，求 lim xnnnnn!3n1 22 sin px010、求 limn11、设函数12、求极限1cos-2n1、nx2 12nXdx1 X2132f （x）在点a可导,f (a)limnn1a -nf(a)。limX1ax 1 X甘出，其中aa 10, a 1。1、证明题（本题共 10小题，每小题6分，满分60分）13、用N的

2、方法证明：lim n 1 nn证明:15、已知:11 12 13 n 103n 1n 1,2,3,。证明：数列Xn有极限,并求其极限值。证明:16、若 xn1,2,3,，且极限limn存在，证明：lim n xn limXnn 'nXn 1。Xn证明:17、设 Xn1,2,3,lim xnn用 一N的语言，证明：lim Xnn *- a。证明:18、设 Xnsin12sin 222sin n2n，证明：数列 Xn收敛。证明:19、求证:证明:20、已知a证明:limnndx21、证明数列并求极限limn证明:X1Xn1 Xn 2如，n N，证明：数列Xna收敛。Xn收敛，其中Xna（

3、n 个根号），n 1,2,3,，Xn。22、证明施笃兹（Stolz）:设数列yn单调递增趋于Xn 1Xn，且 lim A( An yn 1yn为常数或为),(1)证明:(2)用上述施笃兹(Stolz )公式求极限，设an n 0为数列，a ,为有限数，如果存在正整数p，使得lim (an p an)，求lim色.nn n证明：三、极限应用题(本题共4小题，前两小题每小题10分，后两小题5分，满分30分)23、设函数 f(x)g(X) cosXaX,X,X0，其中g(x)具有二阶连续导数，且0g (0)1。(1)确定a的值，使f (x)在 x0处连续；求f (x) ；(3)讨论f (x)在x 0

4、处的连续性。解：24、设函数f(x)在闭区间0,1上四次连续可微，f(0) f (0) 0,证明函数f(x)2 10X1F(x)Xf (0)X0在闭区间0,1上二次连续可微。2证明：25、研究函数f(x)limnX1的连续性。nX1解:26、求下列函数的渐近线x3(1) ye；(2)y1 x解:考研模拟试题（二）-导数与微分及其应用（时间180分钟）、计算与证明题（本题共12小题，每小题7分,满分84分）1、设 F(x)t In tdt，求 F (0)解:2、设f存在,y f（x y），求慕，解:3、函数f(x) ex在x 0处是否连续，是否可导,是否有极值,为什么解:4、设yxsin sin

5、 xx，求乎。dx解:5、求 dm2X In X 解:6、求函数y 12x sin 2 x . 12x 的导数7、设 f(x) arctanx，求 f (0).&设 2x tan x yx y0 sectdt，x y，求器. dx解:x都存在，且9、设函数f(y)的反函数为(x)以及f f 1 x1x 0证明41xdxT1x1 3.x证明: 10、试用数学归纳法证明：xn解:11、设 f (x)在 Xo,Xo0)内有定义。(1 )若f (x)在点x0处导数存在，证明：f(xo h) f(xo h) limf (xo)；h 02h(2)若上式左端极限存在，是否f (x)在点x0 一定可导

6、若结论成立，请证明，若结论不成立，请举反例。解：x,x012、设f(X)，证明：不存在一个函数以f (x)为其导函1,x0数。证明：二、导数与微分应用题(本题共6小题，13题16分，14-18每小题10分，满分66)1 113、设 f(x)x2ex，作函数f (x)x 2e'的图形。解:33514、证明：xxsin xxxx，其中x0.66 120证明:15、设 f(x)在 0,2 上二次可微，且f(x) 1, f (x) 1。证明：f (x) 1。证明： 16、验证函数f(x)20 x ,0x2,8x2,2 xx在闭区间0,4上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出中值公式中的中间值。解:10x 2y 2z 27