数列解题技巧归纳总结打印

1、等差数列前n项和的最值问题:1、假设等差数列an的首项ai >0,公差d <0 ,那么前n项和&有最大值.(i)假设通项a.,那么Sn最大=!''0 ;an 1 < 0(ii)假设Sn=pn2+qn,那么当n取最靠近一&的非零自然数时&最大；2p2、假设等差数列an的首项仇<0,公差d>0,那么前n项和S有最小值；一(i)假设通项an,那么&最小之Ian-0 ;ani -0口 二一(ii)假设Sn =pn2+qn ,那么当n取最靠近的非零自然数时&最小；2p数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通

2、项公式. Sn (即 a+a2+|1|+an = f (n)求 an ,用作差法：an =埠“ 二1).Sn - Sn(n - 2)f(1),(n =1) aLa2 J,=an = f (n)求 an ,用作商法：an = « f (n).,(n - 2)f(n-1)条件中既有Sn还有an,有时先求再求烝；有时也可直接求工.假设 an+-an = f (n)求 an 用累加法：an =(an -anj) +(anj -an) +IH +(a2 a1)a1 (n -2) oa土=f(n)求an,用累乘法：an =儿,包二川,& a(n之2). anananqa1递推关系求an,

3、用构造法(构造等差、等比数列).特别地,(1)形如an=kan+b、a0= ka0+bn ( k, b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后,再求an ;形如an = k%+kn的递推数列都可以除以kn 得到一个等差数列后,再求为.(2)形如an = % 的递推数列都可以用倒数法求通项.kan4 b(3)形如an=ank的递推数列都可以用对数法求通项.(7)(理科)数学归纳法.(8)当遇到工书-a»=d或生土 = q时,分奇数项偶数项讨论,结果可能是分段 an 1、典型题的技巧解法1、求通项公式(1)观察法.(2)由递推公式求通项.对于由递推公式所确定的数列的

4、求解,通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列 问题.(1)递推式为 an+i=an+d 及 an+i=qan (d, q 为常数) 例 1、an?两Ji! an+i=an+2,而'J=L ai=1.求 ano例1、解二力口+9口二为常数an是首项为1,公差为2的等差数列 .an=1+2 (n-1 )即 an=2n-11 例 2、an ?两足 an+ = an,而 a1=2,求 an = ?2 逊ft式为-an+T=an+f愚帘数丁 1例 3、an中 a1.二an 书=an f? ?求 an.,一自2-： 一 4n：T- 一 ,一,一,1111解：由可却.an 1 -匈1J(

5、-1 )(an-a n-1(2n 1)(2n-1)2 2n-1 2n 1令 n=1, 2,(n-1),代入得(n-1)个等式累加,即(a2-a0 + (a3-a2)+ + 说明只要和f (1) +f (2)+f (n-1 )是可求的,就可以由an+1=an+f (n)以n=1, 2, (n-1)代入,可得n-1个等式累加而求an0 递推式为an+1=pan+q (p, q为常数)例 4、an中,a1 =1 ,对于 n>1 (n C N)有 an =3an,+ 2 ,求 an.解法一:由递推式得 an+1=3an+2, an=3an-1 +2o 两式相减：an+1-a n=3 (an-an

6、-1)因此数列an+1-an是公比为3的等比数列,其首项为a2-a1= (3X1+2) -1=4an+1-an=4 3n-1 = an+1=3an+2?； 3an+2-an=4 - 3n-1 即 an=2 - 3n-1-1解法二：上法得an+1-an是公比为3的等比数列,于是有：a2-a1=4, a3-a2=4 3, a4-a3=4 - 32, an-a n-1 =4 - 3n-2,把n-1个等式累加得：；an=2 - 3n-1-1递推式为an+1=pan+qn (p, q为常数)bn+ bn =2(bn bn)由上题的解法,得：bn = 3-2(-)na0=与=3(1)n -2(-)n332

7、n 23(5)递推式为ant=pan+qan思路：设ant =pan+qan,可以变形为：an七aan由=P(an+aan),CL 4- p - r>就是y=(a + 3)-a B %那么可从?解得Q, P,CL * p = -qk于是an+1- a an是公比为B的等比数列,就转化为前面的类型.21【例6】数列区中,旷1,药=2, an+3=-ail+1+-an,53求 an.(6)递推式为S与an的关系式关系；(2)试用n表小an 0Sn 1 -'Sn = (an an i =an1+2n1.1-a n 1 ' 2nl a n 1 = 2 a n上式两边同乘以2n+1

8、得2n+1an+1=2nan+2那么2nan是公差为2的等差数列 .2nan=2+ (n-1) 2=2n 二 口2.数列求和问题的方法1:(1)、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和,另外记住以下公式对求和来说是有益的.21+3+5 + + (2n-1)=n【例 8求数列 1, (3+5), (7+9+1.,(13+15+17+19,前 n 项的和.1解此题实际是求各奇数的和,在数列的前n项中,共有1+2+=n(n+1)个奇数,2 最后一个奇数为：1+1口(口+1)-1 X2=n2+n-12因此所求数列的前n项的和为(2)、分解转化法对通项进行分解、组合,转化为等

9、差数列或等比数列求和.例 9求和 S=1 (n2-1 ) +2 - (n2-22) +3 - (n2-32) + +n (n2-n2)解S=R (1+2+3+ Tn) - ( 13 +23+33+n3)(3)、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列,采取把正着写与倒着写的两个和式相加,然后求和.例 10、求和：Sn =3C： +6C：j+| +3nC： I |例 10、解 Sn =0 C0 +3C： +6C； +| + 3nCn . S_3_4 2(4)、错位相廨如且运用C： = C产可得如果一个数潴侬苜3ir缢物|刻与贷d比麴利时及项相乘构成的,可把和式的两端同乘以上

10、面的等比数列的公上匕,然后错位和减求和.一例11、求数列1, 3x, 5x2,(2n-1)x n-1前n项的和.解设 $=1+3+5x2+(2n-1)x n-1. ?(2)x=0 时,Sn=1.(3)当xw0且xw1时,在式两边同乘以 x得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)x n,-,得(1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+ +2xn-1 -(2n-1)x n.(5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式,然后前后相消.常见裂项方法：一 一11131例 12、求和 - m1 *5 3 *7 5 *9(2n -1)(2n 3)E1111注：在消项时定注意消去亍哪些项e剩下哪些

11、项,一般地剩下的正项与负项一样多.=(-)o (2n-l)(2a + 3) 4%T 2n+3数列解题技巧归纳总结在掌握常见题型的解法的同时,也要注重数学思想在解决数列问题时的应用.二、常用数学思想方法1 .函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决.【例13】等差数列an的首项ai>0,前n项的和为S,假设S=S (l wk)问n为何值时与最大此函数以n为自变量的二次甲森ai>0?Si=Q (lwk) ,dv 0故此二次函数的图像开口向下f (l) =f (k),当区时f (又)最大,f (n)中,nE Nc2 .方程思想【例14】设等比数列当a4触僮数诙ta也假设u3+S品2瓯 最默到的公比q.?此题考查等比数列的根底知识及推理水平.：解:依题意可西强为奇数时,n =里至明最大.;如果q=1,那么S3=3ai, S6=6ai, So=9ai.由此应推出 ai=0与等比数列不符.- qw1整理得q3 (2q6-q3-1 ) =0?,qw0此题还可以作如下思考：S6=S3+q3&= (1+q3)S9=S3+q3&=S (1+q3+q6),二.由 S3+S5=