2021模拟卷命题回顾2

1、2021模拟卷命题回顾（二）当直线遇见双曲线悲伤的双曲线词、曲：王渊超如果我是双曲线恩你就是那渐近线如果我是反比例函数你就是那坐标轴虽然我们有缘能够生在同一个平面然而我们又无缘恩F曼慢长路无交点为何看不见等式成立要条件难到正如书上说的无限接近不能达到为何看不见明月也有阴晴圆缺此事古难全但愿千里共婵娟此事古难全但愿千里共婵娟少年多愁的小王笔下"悲伤的双曲线凄美而悲情，但在数学老师的眼中，双 曲线美丽而多情，当直线遇到双曲线，再也不会无交点，再也不会无限不能达到，这 是一场盛大的恋爱，有等线，有全等，有平行，有等积，还有很多很多美丽的结论， 模拟卷中也就少不了她们丽影双双，留给学生的更多

2、是心理阴影面积了.似乎现在一份本地模拟卷中没有双曲线与直线的问题，都不好意思拿出手了， 或是第10题，或是16题.老叶自然不能免俗，也是为编新题强说愁，也是为双曲 线消得人憔悴.例1 （龙湾二模）如图，直线AB与双曲线y仝交X 于点A, B,与y轴交于点C,与x轴交于点D,A，3分别作x轴的垂线AF, BE,垂足分别为点F, 3E,连结AE, BF,若=13,则k的2A. 3 B. 6 C 6的一3 D 62注：本题不再详解，前面等积变形一文已叙过.问题设计建立在直线AB与双曲线 及坐标相交的基础之上，这条直线打通了两个分支的联系，构造了两个等积的阴 影三角形，而这两个三阴影三角形面积恰都为I

3、k,这种“恰为"却是一个一般性2的结论，这仿佛也为直线与双曲线相遇的美丽增色不少.例2 （2017校三模）如图，点A在函数y = -L（x<0）图象上，x12$ =二（兀>0）图象匕且AB/x轴，则ZUBC的x面积为（）点B, C在函数3 12.5C. 63说明：例2的设计基于鹿城二模柯老师提供的第10题的基础之上，原题如下.10.如图，在ZUBC中,D. 9点恰好在反比例函数A. 10C. 18BC/x 轴，AD丄BC,若 A, B 两y = L（O0）第一象限的图象上，若XSw=9,则 £ 为（）B15D. 20此题设计在双曲线的一个分支上，在问题解决过程中

4、，有学生 过点D添辅助线，构造双双曲线.在学生的解法启发之下，三 模设计了一双双曲线问题.例2解析：解法一（设参数法）：设3坐标为（人上），则有点A纵坐标为上,值为（）故点A坐标为（-严）,所以点C的横坐标为代入y二得点c的纵坐标血,t t t接下来的儿何法山陈嘉路同学提供，将厶D， G C故 S = 1 xABxCD= 1 x5rx20 = 12.5,选 B.I14 7解法二（特殊值法）：由于是选择题，注意A, B, C的位置可以变，结论应当具 有一般性，故可以采用特殊值求，不妨取点B为（4, 3）,则点A坐标为（一1，3）,3则点D坐标为（二3）,2所以点C坐标为（二,8）,2于是S .

5、=xA3xCD J x5x5= 12.5 ,故选 B.解法三（儿何法）：本题大部分学生用的是 代数设参法或特殊值，儿何法的学生较少,CBD搬到AC的上方构造出矩形ADCD, 阴影面积等积转化为矩形ADCDfW积， 由AB截双双曲线结论知AF： BF=3： 12 =1： 4,所以 DF： BD=1.5： 2.5 = 3： 5,由 EF/BC, DE： CD=DF： BD=3： 5,而矩形GOEC的面积为12,B|J CD： CE=5： 8,所以矩形GFDC面积为T ,2乂 DFz AD=1.5： 2.5 = 3： 5,所以矩形ADCiy面积为12.5,故选B.解法四：实际上，儿何法也不局限于上法

6、， 也可如右图所示辅助线，则面积为6, 又 DE： CD = 3： 5,故BCF面积为10,乂 BF： AB=4： 5,所以ABC面积为12.5.后记：儿何法利用比例关系转化的方法还 是不少的，但大都大同小异，换点方向而 已.另外，不管用哪种方法，可以知这里的等腰三角形的面积也是很巧妙的存在， 它是一定值.即一般地有：如图，点A在函数y = «（£ < 0,x < 0）图象上，点B,1C在函数 尸上仏>0,x>0）图象上，且轴，AC=BC9则ABC的面积为 X 2（©一）'.证明代数法或儿何法都可以不难发现,上图面积不变的儿何图形还有2 也+