简易逻辑与充要条件复习讲义与习题

1、第三讲 简易逻辑与充要条件一知识归纳：1命题与逻辑联结词（1）命题：能够判断其真假的语句，因此疑问句、祈使句都不是命题.（2）若一个命题是正确的，该命题叫真命题；若一个命题不正确，该命题叫假命题.由命题的概念，一个命题不是真命题就是假命题。（3）由简单命题用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结起来组成的命题叫复合命题.若用小写字母p、q表示命题，则复合命题的基本形式是“p或q”，“ p且q”以及“ 非p”.（4）逻辑联结词“或”可以与集合中的“并”相联系，AB=x|xA,或xB.逻辑联结词“且”可以与集合中的“交”相联系，AB=x|xA,且xB。逻辑联结词“非”，可以与集合中的“补”相联系 ，

2、CuA=x|xU,且xA.2、真值表（1）一个简单命题的真假易于判断，但一个复合命题的真假不一定容易判断，真值表是判断复合命题真假的有力工具。（2）对一个复合命题，如果能把它分解成一个或几个简单命题及逻辑联结词，只要逐一判断简单命题的真假，就可以很容易用真值表判断这个复合命题的真假.（3）真值表中，“非p”形式的复合命题的真假与p相反；“p且q”形式的复合命题，当且仅当p、q都为真时为真，其余情况均为假；“p或q”形式的复合命题，当且仅当p、q都为假时为假，其余情况都为真.3四种命题（1）在初中学习原命题和逆命题的基础上，引进了否命题和逆命题的概念。（2）将一个命题采用交换命题的条件和结论，同

3、时否定命题的条件和结论；同时否定和交换命题的条件和结论，分别产生了原命题的逆命题，否命题和逆否命题。如果原命题为“若p则q”，则逆命题为“若q则p”，否命题为“若¬ p 则¬ q”，逆否命题为“若¬ q 则¬ p”. （3）在四种命题之间关系的图示中，要理解其中互逆，互否，互为逆否的含意.原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价. 4.反证法从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。充要条件：(1)若pq，但pq，则说p是q的充分而不必要条件（q成立的充分条件是p）；(2)若p，但

4、pq，则说p是q的必要而不充分条件（q成立的必要条件是p）；(3)若p，且pq，则说p是q的既不充分也不必要条件.pq.此时，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.（当然此时也可以说q是p的充要条件）二例题讲解：【例1】在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p1是“第一次射击击中飞机”，命题p2是“第二次射击击中飞机”，试用p1，p2及联结词“或”“且”“非”表示下列命题：（1）两次都击中飞机；（2）两次都没击中飞机；（3）恰有一次击中飞机；（4）至少有一次击中飞机。解答：（1）p1且p2；（2）p1且p2；（3）p1且p2（或p2

5、且p1）；（4）p1或p2【例2】已知函数f(x)在(-,+)上是增函数，a、bR，对命题“若a+b0，则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)”。（1）写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；（2）写出逆否命题，并证明你的结论；解答：(1) 逆命题是：若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，则a+b0，真命题用反证法：假设a+b<0，则a<-b,b<-a，f(x)在(-,+)上是增函数，则f(a)<f(-b)，f(b)<f(-a)，f(a)+f(b)<f(-a)+ f(-b)，这与题设矛盾，所以逆命题为真。(2) 逆否命题是：若a+b0，则f(a)+

6、f(b)f(-a)+f(-b)，为真命题。一个命题它的逆否命题，可证明原命题为真命题。a+b0,a-b,b-a，又f(x)在(-,+)上是增函数,f(a)f(-b), f(b)f(-a)，f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)。所以逆否命题为真。（2）注意“命题的否定形式”与“否命题”的区别。变式1：写出命题“当abc=0时，a=0或b=0或c=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。分析：改造原命题成“若p则q形式”再分别写出其相应的逆命题、否命题、逆否命题。在判断真假时要注意利用等价命题的原理和规律。解答：原命题：若abc=0，则a=0或b=0或c=0。是真命题；逆命题：若a=

7、0或b=0或c=0，则abc=0。是真命题；否命题：若abc0，则a0且b0且c0。是真命题；逆否命题：若a0且b0且c0，则abc0。是真命题。变式2：判断并证明下列命题的真假（1）如果一个整数n的平方是偶数，那么这个整数n本身也是偶数；（2）不存在实数k。使抛物线y=kx2+3x-1与x轴只有一个交点。解答：（1）真命题，用反证法证明。假使整数n不是偶数，则n可以写成：n=2k+1(kZ) 2n2=(2k+1)2=2(2k2+2k)+1, kZ2k2+2kZ2(2k2+2k) 是偶数,2(2k2+2k)+1是奇数。即n2为奇数，与已知矛盾。假设不成立，原命题为真命题。（2）假命题，举反例如

8、：取k=-99，则抛物线y=-x2+3x-1与x轴只有一个交点。 44点评：欲说明一个命题为真命题，须通过逻辑证明；而证明一个命题为假命题，则举一个反例即可。【例3】（1）三个数lgx,lgy,lgz成等差数列是y2=xz成立的（ ）A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件（2）“”是“coscos”的（ ）A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件(3)若A是B的充分条件，B是C的充要条件，D是C的必要条件，则A是D的(4)方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根的充要条件是。解答：(1)由题意2lgy =lg

9、x+lgzlgy2 =lgxzy2 =xz，而x=y=z=0时，满足y2 =xz，但不能使lgx,lgy,lgz成等差数列。故选A；(2) 当时cos=cos可以成立，如=,=-，但coscos时。选B。 33(3)由ABCD知填：充分非必要条件；(4)当a=0时，x=-1满足；当a0时，令f(x)= ax2+2x+1，由于f(0)=1>0。当a>02时, =4-4a20, a1，即0<a1. 当a<0，f(0)=1，方程恒有负根。综上a1。点评：(1)要使用要推出符号“”；(2)注意前后知识点的串联。【例4】已知数列an的前n项和Sn=pn+q，(p0且p1)，求数列

10、an成等比数列的充要条件。分析：先根据前n项和的公式，导出使an为等比数列的必要条件，再证明其充分条件。-当n=1时，a1=S1=p+q；当n2时，an=Sn-Sn-1=(p-1)pn1。由于p0且p1，所以当n2时，an是等比数列，要使an（nN*）成等比数列a2=p，即(p-1)p=p(p+q), q=-1，即an是等比数列的必要条件是p0且p1，且a1-q=-1，再证明充分性：当p0且p1，且q=-1时，Sn=pn-1；an=(p-1)pn1, an=p(n2) an-1an是等比数列。点评：注意公式an=(n=1)S1的合理运用。an-an-1(n2)3简易逻辑与充要条件复习题一、选择

11、题：1命题p与命题“非p” （ ）A可能都是真命题 B可能都是假命题C有且只有一个是真命题 D以上情况都有可能2已知命题p：若x、y是实数，且x2+y2=0，则x=y=0，命题q：若ab=0，则a=0，且b=0，下列说法中正确的是（ ）Ap真，q假，p且q假 BP真，q假，p或q假CP假，q假，p或q假 DP真，q真，p且q真3用反证法证明“方程ax2+bx+c=0”最多有两个实根，应假设 （ ）A方程至少有一个实根 B方程至少有2个实根C方程至少有3个实根 D方程有一个实根4已知p:a、bR，且a2+b20，命题若p则a、b全为0；若p则a、b不全为0；若p则a、b全不为0；若p则a、b至多

12、有一个为0；若p则a、b至少有一个为0.其中真命题有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个5与命题“能被5整除的整数的末位数是5”等价的命题是（ ）A能被5整除的整数的末位数不一定是5 B不能被5整除的整数的末位数不是5C末位数不是5的整数不能被5整除 D末位数是5的整数能被5整除6已知a、bR，则“11>”是“a<b”的 （ ） abA充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要 D既不充分又不必要条件7下列几个说法：“x<1”是“x<2”的必要条件；“xy=0”是“x=0”的充分条件；“x2+y2=0”是“x=0”的充分条件；“x2<1”是“x>-1”的充分

13、条件，其中正确的命题是 （ ）A、 B、 C、 D、8若函数f(x)，g(x)的定义域是R，则f(x)>g(x)成立的充要条件是（ ）A有个xR，使得f(x)>g(x) B.有无数个xR，使得f(x)>g(x)C对R中的任意x，使得f(x)>g(x)+1 D.R中不存在x使得f(x)g(x)二、填空题9已知命题p:0是自然数，命题q:是无理数，则命题“非p”，“非q”，“p或q”，“p且q”中，假命题是 。10命题“若x1，则x2+2x+1>0”的否定形式是命题是 。11命题“未位数字是偶数的整数能被2整除”的逆否命题是。12用反证法证明命题“若关于x的整系数一元

14、二次方程ax2+bx+c=0有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数，”应假设13b2-4ac0是关于x的方程ax2+bx+c=0有两个实数根的条件三、解答题14已知命题p：是无理数，命题q：2是有理数，写出命题“非p”,“非q”，“p或q”，“p且q”并判断它们的真假。15写出命题“若=，则tan=tan”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假。16已知A是D的充分条件，D是B的必要条件又是C的充分条件，B是C的必要条件.问：（1）A是C的什么条件？A是B的什么条件？（2）A、B、C、D、中有几对互为充要条件17若x、y、z均为实数，且a=x2-2y+中至少有一个大于零。18求关于x

15、的二次方程x+px+3=0有两个大于1的根的充要条件5 2，b=y2-2z+，c=z2-2x+，求证a、b、c2363简易逻辑与充要条件复习题答案与提示一、1C 2A 3C 4B 5C 6.D 7.B 8.D 二、9非p，p且q10若x-1,则x2+2x+10;若x=-1,则x2+2x+1011不能被2整除的整数的末位数字不是偶数.12a、b、c都是奇数 13充分不必要三、14非p:不是无理数，为假,非q:2不是有理数，为真，p或q：是无理数或2是有理数，为真，p且q: 是无理数且2是有理数，为假.15逆命题：若tan=tan，则=,为假，否命题：若，则tantan，为假，逆否命题：若tantan，则，为真.16由已知，A、B、C、D之间有关系： ADCB（1）A是C的充分条件，A是B的充分条件；（2）有3对，B、C互为充要条件，B、D互为充要条件，C、D互为充要条件.17假设a,b,c均不大于0，即a0, b0, c0则a+b+c0。而a+b+c =x2-2y+2+y-2z+z2-2x+=