f分布t分布和卡方分布

1、§ 1.4常用的分布及其分位数1.卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导生的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。2 一当Xi、X2、.、Xn相互独立且都服从 N(0,1)时，Z= £ Xi的分布称为自由度等于n的/2分布，记作Zi2 2(n),它的分布密度p(z尸n 112-x2“20,z一2其他,式中的:i 2_ uu e du,称为Gamma函数，且口1)=1 ,一 I,、2 )n 2分布是非对称分布，具有可加性，即当 Y与Z相互独立，且 Y/ 2(n), Z？ 2(m),则Y+Z2 2(n+m)。证明：先令X1、X2、Xn、Xn+1、Xn

2、+2、Xn+m相互独立且都服从N(0,1),再根据2 2分布的定义以及上述随机变量 的相互独立性，令Y=X2+X2+X2, Z=X 2书+X2+2+Xn+m,y+z= x 2+X2 +Xn + X2+1+Xn+2 + .+Xn+m,即可得到Y+Z2 2(n+ m)o2. t分布若X与Y相互独立，且 _XN(0,1), Y72(n),则Z = x/q 的分布称为自由度 等于n的t分布，记作Zt (n),它的分布密度(吟(z2)-叱1P(z)=-2 1+2 。小雄)I n J请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当 n>30时，t 分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。 这

3、时,t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。3. F分布 若X与Y相互独立，且 X？ 2(n), Y厘2(m), 则Z='/Y的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于n mm的F分布，记作 ZF (n, m),它的分布密度n m ,、二 二7 Tj n + m 1nn 2 m 2 i 1，、J z2p(z)=色 jm n + m,22 J 12 J(m + nz) 20,其他。请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度1的次序有美，当 ZF (n, m)时，ZF (m ,n)。4. t分布与F分布的关系2若 X t(n),则 Y=X F(1,n)。n 

4、9;n + 1 ,证：Xt(n), X的分布密度 p(x户 ' 21 1+x2 而小卜ny=x2 的分布函数 FY(y) =PY< y=PX 2<y。当 y"0 时,FY(y)=。，PY(y)=。；当 y>0 时，FY(y)=P- Jy<x< 八=Cyyp(x)dx=2 炉 p(x)d x,y=x2的分布密度PY(y)=yL22 J 22 J (n+y) 2与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密2度相同，因此Y=X F（1,n）。为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查由。但是，解应用问题时，通常是查分位数

5、表。有关分位数的概念如下：4.常用分布的分位数1）分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即a 分位数、上侧a分位数与双 侧a分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为 F（x）,实数a满足0 < a <1 时，a分位数是使PX< X 0 =F（ X 口尸a的数X 口，上侧民分位数是使PX >入=1 - F（入户口的数人，双侧a分位数是使 PX<入1=F（入1）=0.5 a的数人1、使 PX> 入 2=1 - F（入 2）=0.5 a 的数入 2。因为1- F（入户a , F（入）=1- a ,所以上侧a分

6、位数人就是 1- a分位数X 1- % ；F（入1）=0.5 a , 1- F（入2）=0.5 a ,所以双侧a分位数入1就 是0.5a分位数X 0.5a,双侧a分位数入2就是1- 0.5a分位 数 X 1- 0.5a。2）标准正态分布的a 分位数记作Ua , 0.5 a分位数记作U0.5 a , 1- 0.5 a分位数记作U 1- 0.5aP(x)P(x)J£Ox当 XN(0,1)时，PX< Ua =F 0,i(Ua 户 a,PX<U 0.5a = F 0,1 (U 0.5a )=0.5 a ,PX<U 1- 0.5a = F 0,1 (u 1- 0.5a )=1

7、- 0.5 a。根据标准正态分布密度曲线的对称性，当 = =0.5 时，Ua =0 ;当 < <0.5 时，ua <0oUa =- U 1- a。如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查由U 1- a ,然后得到Ua = -U1- a。论述如下：当 XN(0,1)时，PX< U a= F0,1 (Ua 户 a,PX< U 1- a = F 0,1 (U 1- a )=1 - a ,PX> U 1-力=1 - F 0,1 (U1- a 户 a ,故根据标准正态分布密度曲线的对称性，Ua = - U 1- 口。例如，U 0.10= - U 0.9

8、0= - 1.282,u 0.05= - u 0.95= - 1.645,u 0.01= - uu 0.025= - uu 0.005= - u0.99= - 2.326,0.975=- 1.960,0.995= - 2.576。a ,所以标准正态分布的双1- 0.5a。又因为 P|X|< u 1-0.5a =1 -侧a分位数分别是u 1- 0.5a和- u标准正态分布常用的上侧a 分位数有:a =0.10, u 0.90=1.282；a =0.05, u 0.95=1.645;a =0.01, u 0.99=2.326;a =0.025, u 0.975=1.960;a =0.005,

9、 u 0.995=2.576 o3)卡平方分布的a分位数记作，2 口(n)。& 2 a (n)>0 ,当 X？ 2(n)时，PX< 7 2 a (n)= a例如，7 2 0.005(4)=0.21,227 2 0.025(4)=0.48,0.05(4)=0.71 ,0.95(4)=9.49,7 20.975(4)=11.1,'120.995(4)=14.94) t分布的a分位数记作 J (n)。当Xt (n)时，PX<t ° (n)= a ,且与标准正态分布相类 似，根据t分布密度曲线的对称性，也有(n户-11-a(n),论述同 ua =-ui-a。

10、例如，t 0.95(4)=2.132, t 0.975(4)=2.776,t 0.995(4)=4.604, t 0.005(4)=- 4.604,t 0.025(4)=- 2.776, t 0.05(4)=- 2.132。另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到J (n),可用Ua作为ta (n)的近似值。5) F分布的a分位数记作Fa (n , m)Fa (n , m)>0 ,当 XF (n , m)时，PX<F q(n , m)=民。另外，当a较小时，在表中查不由 Fa(n, m),须先查1Fi- 口(m, n),再求 F5(n, m)=。论述如下:Fi- (m ,

11、n )当 X F(m, n)时，PX< F i- a(m, n)=i - a ,P工1=1 -q,P<1=民,X F v： (m,n)X F _ gm)''又根据F分布的定义,因此 F a (n, m)=:F(n, m), P：<Fa(n, m) = a , XX1oF (m , n )例如，F 0.95(3,4)=6.59, F 0.975(3,4)=9.98,F 0.99(3,4)=16.7, F 0.95(4,3)=9.12,F 0.975(4,3)=15.1, F 0.99(4,3)=28.7,F 0.01(3,4)=白，F 0.025(3,4)=上，

12、F 0.05(3,4)= 土。28.715.19.12【课内练习】1 .求分位数 7 2 0.05(8), 72 0.95(12)。2 .求分位数 t 0.05(8), t 0.95(12)。3 .求分位数 F0.05(7,5), F0.95(10,12)。4 .由u 0.975=1.960写生有关的上侧分位数与双侧分位数。5 .由t 0.944)=2.132写生有关的上侧分位数与双侧分位数。6 .若X X(4), PX<0.711=0.05 , PX<9.49=0.95 ,试写 由有关的分位数。7 .若XF(5,3), PX<9.01=0.95 , YF(3,5), Y<5.41二 0.95,试写由有关的分位数。8 .设X1、X2、X10相互独立且都服从 N(0,0.09)分布, 试求 P£Xi2>1.44。习题答案：1.2.73, 21.0。2.- 1.860, 1.782。3.上，3.37。4. 1.960为上侧 0.025分位数，-1.960与 1.960 4.8