中考数学二次函数平行四边形存在性问题例题

1、二次函数平行四边形存在性问题例题一.解答题(共9小题)1 .如图，抛物线经过 A (-1, 0), B (5, 0), C (0,卷)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点 P,使PA+PC的值最小，求点P的 坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N,使以A, C, M , N四点构成的四边形为平行四边形？若存在， 求点N的坐标； 若不存在，请说明理由.2 .如图，在平面直角坐标系中，直线 y=-3x-3与x轴交于点A, 与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A, C两点，且与x轴交于 另一点B (点B在点A右侧).(1)求抛物线的解析式及点B坐标

2、；(2)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交 x轴于点F,交抛物线于点E.求ME长的最大值；(3)试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点 P, 使以M, F, B, P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.3 .已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线产V五十6与x轴、y 轴的交点分别为A、B两点，将/ OBA对折，使点O的对应点H落 在直线AB上，折痕交x轴于点C.(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析 式；(2)若(1)中抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使 得四边形ODAP为平行四边形

3、？若存在，求出点 P的坐标；若不存 在，说明理由；(3)若把(1)中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于 F、N (点F在点N的左侧)两点，交y轴于E点，则在此抛物线的 对称轴上是否存在一点 Q,使点Q到E、N两点的距离之差最大？若 存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.4 .已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线产3五十6与x轴、y 轴的交点分别为A、B,将/ OBA对折，使点O的对应点H落在直 线AB上，折痕交x轴于点C.(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析 式；(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形 ODAP为平行四

4、边形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理 由；(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T, Q为线段BT上一点, 直接写出|QA-QO|的取值范围.5 .如图，RtAOAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边 OA 与x轴重合，/ OAB=90 , OA=4, AB=2 ,把RtAOAB绕点。逆时 针旋转90°,点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O, C, A三点.(1)求该抛物线的解析式；(2)在x轴上方的抛物线上有一动点 P,过点P作x轴的平行线交 抛物线于点M,分别过点巳点M作x轴的垂线，交x轴于E, F两 点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请

5、求出最值， 并写出解答过程；如果没有，请说明理由.(3)如果x轴上有一动点H,在抛物线上是否存在点 N,使。(原第34页/共34页点)、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出6 .如图，直线y= -x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线 y=ax2+(x+c经过B、C两点.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当 BEC面积 最大时，请求出点E的坐标和 BEC面积的最大值？(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M, 连接AM ,点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 巳 使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是

6、平行四边形？如果存在，请7 .如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于 A、B、C三点，其中B (4, 0)、C (-2, 0),连接AB、AC,在第一象限内的抛物线上有一动点D,过D作DE，x轴，垂足为E,交AB于点F.(1)求此抛物线的解析式；(2)在DE上作点G,使G点与D点关于F点对称，以G为圆心， GD为半径作圆，当。G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；(3)过D点作直线DH / AC交AB于H,当 DHF的面积最大时， 在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点 组成平行四边形，请你直接写出符合要求的 M、N两点的横坐标.D8.已知直线y=kx+b (k

7、#0)过点F (0, 1),与抛物线yqx2相交于B、C两点.I和邺(1)如图1,当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；(2)在(1)的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴 的平行线，与抛物线交于点D,是否存在这样的点M,使得以M、D、 O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图 2,设 B (m. n) (m<0),过点 E (0. - 1)的直线 l / x 轴，BR，l于R, CS，l于S,连接FR、FS.试判断 RFS的形状， 并说明理由.9.抛物线y=x2+bx+c经过A (0, 2), B (3, 2)两点，若两动

8、点 D、 E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒 1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度.(1)求抛物线与x轴的交点坐标；(2)若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D,使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点 D的坐标；若不 存在，说明理由；(3)问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？2017年05月03日1587830199的初中数学组卷参考答案与试题解析一.解答题(共9小题)1. (2016被顺)如图，抛物线经过 A (- 1, 0), B (5, 0), C (0, 一)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点 P,使PA

9、+PC的值最小，求点P的 坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N,使以A,C, M , N四点构成的四边形为平行四边形？若存在， 求点N的坐标；【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c (a#0),A (-1, 0), B (5, 0), C (0,2)三点在抛物线上，r 息-b+c二 o.25a+5b+c=。1a=T解得，b=-2 .I 2抛物线的解析式为：y=1x2 - 2x _; 22(2) .抛物线的解析式为:其对称轴为直线x=-=2a连接BC,如图1所示，. B (5, 0), C (0,设直线BC的解析式为y=kx+b (k#0),r5k+b=0

10、直线BC的解析式为y=1x -|, 当 x=2 时，y=1 -1-=P -Z)；(3)存在.如图2所示,国2当点N在x轴下方时，.抛物线的对称轴为直线x=2, C （0, -1）,.Ni（4,-5）；当点N在x轴上方时， 如图，过点N2作N2D，x轴于点D,在 AN 2D 与 AMzCO 中，rZN=ZCM2Q* AN2-Clfl2Zah2d=Zh2coAAN2DAM2CO (ASA),.N2D=OC=即N2点的纵坐标为解得 x=2+/n或 x=2 vn,. N2 （2+VR 今），N3 （2-Vh,今.综上所述，符合条件的点N的坐标为（4, -|）, （2+/14,-|）或（22. (201

11、6升堰一模)如图，在平面直角坐标系中，直线 y=- 3x 3 与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A, C两 点，且与x轴交于另一点B (点B在点A右侧).(1)求抛物线的解析式及点B坐标；(2)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x 轴于点F,交抛物线于点E.求ME长的最大值；(3)试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点 P, 使以M, F, B, P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 点P的坐标；若不存在，试说明理由.【解答】解：(1)当y=0时，3x3=0, x= - 1A(1, 0)当 x=0 时，y= 3, .C (0,

12、- 3),二：厂£抛物线的解析式是：y=x2 -2x - 3.当 y=0 时，x2- 2x- 3=0, 解得：xi=-1, X2=3 .B (3, 0).(2)由(1)知B (3, 0), C (0, -3)直线BC的解析式是：y=x 3,设 M (x, x - 3) (0<x<3),贝U E (x, x2- 2x-3) . ME= (x-3) - (x2-2x-3) = - x2+3x= - (x-) 2d;24.当x=皂时，ME的最大值为9.24(3)答：不存在.由(2)知ME取最大值时ME告E吟,-4)，M律，-序) 42422MF=工 BF=OB-OF且设在抛物线

13、x轴下方存在点巳使以P、M、F、B为顶点的四边形是 平行四边形,贝U BP/ MF, BF / PM.Pi (0, -)或 P2 (3, 当 Pi (0, -1)时，由(1)知 y=x2-2x-3=-3 |Pi不在抛物线上.当 P2 (3,）时，由（1）知y=x22x 3=0# 一三2.P2不在抛物线上.综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点 巳使以P、M、F、B为顶 点的四边形是平行四边形.3. （2016双乌市模拟）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，直 线产与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将/ OBA对折， 使点。的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.（1）直接写出点C的坐标

14、，并求过A、B、C三点的抛物线的解析 式；（2）若（1）中抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使 得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点 P的坐标；若不存 在，说明理由；（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于 F、N （点F在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的 对称轴上是否存在一点 Q,使点Q到E、N两点的距离之差最大？若 存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：（1）连接CH由轴对称得 CHXAB, BH=BO, CH=CO 在4CHA中由勾股定理，得AC2=CH2+AH 2 直线产V肝6与x轴、y轴的交点分别为A、B两点

15、.,当 x=0 时，y=6, 当 y=0 时，x=8 .B (0, 6), A (8, 0) .OB=6, OA=8,在RtzAOB中，由勾股定理，得AB=10设 C (a, 0),. OC=a .CH=a, AH=4, AC=8 a,在 RtAAHC 中，由勾股定理，得(8-a) 2=a2+42解得a=3C (3, 0)设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c,由题意，得产I O6aa+8b+c 0=9a+3b+c解得： 1 抛物线的解析式为：=44.尸111 J 25(2)由(1)的结论，得D (，)216. DF=16设BC的解析式为：y=kx+b ,则有 0=3kb解得下6(k=-2直

16、线BC的解析式为：y= - 2x+6设存在点P使四边形ODAP是平行四边形，P (m, n)作 PE±OA 于 E, HD 交 OA 于 F./PEO=/AFD=90 , PO=DA, PO/1 DA. / POE=/ DAF.OPE 二 AADFPE=DF=n=T16. £51.6x332P号票)Z io当x=q时, y=-2 唱+6=141点P不再直线BC上，即直线BC上不存在满足条件的点P.(3)由题意得，平移后的解析式为:y=：(x-2)对称轴为：x=2,当x=0时，y=一旦当y=0时,解得:.F在N的左边F 局 0）, E （0,一磊），N （一, 0）连接EF交

17、x=2于Q,设EF的解析式为：y=kx+b ,则有解得：， EF的解析式为：y= - -x -816f 99.一F贮224. (2016?采圳模拟)已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 尸件/6与x轴、y轴的交点分别为A、B,将/OBA对折，使点O 的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理 由；(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T, Q为线段BT上一点， 直接写出|QA-QO|的取值范围.

18、【解答】解：（1）点C的坐标为（3, 0）. （1分）点A、B的坐标分别为A （8, 0）, B （0, 6）,可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a （x-3） （x-8）.将x=0, y=6代入抛物线的解析式，得日.（2分）过A、B、C三点的抛物线的解析式为 尸十6. （3分） 44（2）可得抛物线的对称轴为直线 受斗，顶点D的坐标为（耳，字）,=216设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.直线BC的解析式为y= - 2x+6.4分）设点P的坐标为（x, - 2x+6）.解法一：如图，作OP/ AD交直线BC于点P, 连接AP,作PM±x轴于点M . OP/ AD, ./POM

19、=/GAD, tan/POM=tan/GAD. PM DGM -GA'25解得肯.经检验背是原方程的解.此时点P的坐标为（明¥）. （5分）但此时 0M若，GA-|, OM<GA.配一知IT 4昨ngaj.OP< AD,即四边形的对边 OP与AD平行但不相等,直线BC上不存在符合条件的点P （6分）解法二：如图，取OA的中点E,作点D关于点E的对称点P,作PN，x轴于点 N.贝U/ PEO=/DEA, PE=DE.可得 PENADEG.由,喈=4,可得E点的坐标为（4, 0）.NE=EG=-,ON=OE-NE=1,NP=DG=16.点P的坐标为得,鄢.（5分）-

20、x=晟时，一2k十0-2X*6=1卢靠， 2z1b点P不在直线BC上.直线BC上不存在符合条件的点P. （6分）（3） |QA - QO|的取值范围是 iKlQATOKq. （8 分）当Q在OA的垂直平分线上与直线 BC的交点时，（如点K处），此时 OK=AK ,则 |QAQO|=0,当Q在AH的延长线与直线BC交点时，止匕时|QA - QO|最大， 直线AH的解析式为：y= - x+6,直线BC的解析式为：y= - 2x+6, 联立可得：交点为（0, 6）, .OQ=6, AQ=10, .|QAQO|=4, . |QA - QO|的取值范围是：0W |QA -QO|<4.5. （201

21、6加西模拟）如图，RtzOAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边 OA与x轴重合，/ OAB=90 , OA=4, AB=2 ,把Rt OAB绕点。逆时针旋转90°,点B旋转到点C的位置，一条抛物 线正好经过点O, C, A三点.（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点 P,过点P作x轴的平行线交 抛物线于点M,分别过点巳点M作x轴的垂线，交x轴于E, F两 点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值， 并写出解答过程；如果没有，请说明理由.（3）如果x轴上有一动点H,在抛物线上是否存在点 N,使。（原 点）、C、H、N四点构成以OC为一边的

22、平行四边形？若存在，求出【解答】解：（1）因为OA=4, AB=2,把4AOB绕点。逆时针旋转 90 ,可以确定点C的坐标为（2, 4）;由图可知点A的坐标为（4, 0）,又因为抛物线经过原点，故设 y=ax2+bx把（2, 4）, （4, 0）代入，得尸6小b1,4 二亮+2b解得寓所以抛物线的解析式为y= - x2+4x；(2)四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：由题意，如图所示，设点P的坐标为P (a, - a2+4a)则由抛物线的对称性知OE=AF,.EF=PM=4-2a, PE=MF= - a2+4a,则矩形 PEFM 的周长 L=24-2a+ ( - a2+4a) = - 2

23、(a- 1) 2+10,当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，Lmax=10；(3)在抛物线上存在点N,使O (原点)、C、H、N四点构成以OC 为一边的平行四边形，理由如下：. y= - x2+4x= -(X-2) 2+4 可知顶点坐标(2, 4),知道C点正好是顶点坐标，知道 C点到x轴的距离为4个单位长度，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y= - 4作x轴的 平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有-x2+4x= - 4解得xi=2+2e ,x2=2 .N 点坐标为 Ni (2+2&, -4), N2 (2-2的，-4).6. (2015礴芦岛)

24、如图，直线y=-x+3与x轴交于点C,与y轴交 于点B,抛物线y=ax2+-x+c经过B、C两点.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当 BEC面积 最大时，请求出点E的坐标和 BEC面积的最大值？(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M, 连接AM ,点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 巳 使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请 直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.各用国【解答】解：(1) ;直线y=-争+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,点B的坐标是（0, 3）,点C的坐标是（4, 0）,C

25、两点,抛物线y=ax2+?x+c经过B、llc=3解得1 -c=3y= - &x2+Wx+3 .84（2）如图1,过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M, EF交x轴于点F,.点E是直线BC上方抛物线上的一动点,设点E的坐标是(x, - Jx24x+3), s q则点M的坐标是（x,EM= ?x2+卷+3 84谓x+3)，(-x+3) =-fx2+1x, Szbec=Sabem +Samec=( - -|x2+-|x) X4 上o Z=一 x2+3x 4=1 （x-2） 2+3,当x=2时，即点E的坐标是（2, 3）时， BEC的面积最大，最大面积是3.（3）在抛物线上存在点P,使得

26、以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.如图2,即，由（2）,可得点M的横坐标是2, 丁点M在直线y=-；x+3上， 点M的坐标是（2,当,又点A的坐标是（-2, 0）, . AM= '2<2）尸呜一0）2，2-(-2) -8 'AM所在的直线的斜率是： y= - 1x2+x+3的对称轴是 0 q设点Q的坐标是（1, m）,点P的坐标是（x, -|x2+|x+3）,.x<0,二点P的坐标是（-3,假）.2如图3,圉3,由（2）,可得点M的横坐标是2, 丁点M在直线y=-口x+3上，4点M的坐标是（2,彳），又点A的坐标是（-2, 0）, . AM=0) =,AM

27、所在的直线的斜率是:2-(-2) -8 '- y=- -1-x2+x+3 的对称轴是 x=1,设点Q的坐标是（1, m）,点P的坐标是x,三 x2+lx+3)845.x>0,.二点P的坐标是5,由（2）,可得点M的横坐标是2,丁点M在直线y=-、x+3上，4点M的坐标是（2,日），又点A的坐标是（-2, 0）, . AM=0） =，y= _1x2+x+3 的对称轴是 x=1 ,0 q设点Q的坐标是（1, m）,点P的坐标是（x, -|x2+x+3）,则点P的坐标是(-综上，可得在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形, 点P的坐标是(-3,-等)、(5,

28、-号)、(1,圈).7. (2015箱州)如图，抛物线 y=ax2+bx+2与坐标轴交于 A、B、C 三点，其中B (4, 0)、C (-2, 0),连接AB、AC,在第一象限内 的抛物线上有一动点 D ,过D作DE，x轴，垂足为E,交AB于点F.(1)求此抛物线的解析式；(2)在DE上作点G,使G点与D点关于F点对称，以G为圆心， GD为半径作圆，当。G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；(3)过D点作直线DH / AC交AB于H,当 DHF的面积最大时， 在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点 组成平行四边形，请你直接写出符合要求的 M、N两点的横坐标.C两点在抛

29、物线y=ax2+bx+2上,所求的抛物线为：y=ve»z抛物线y=J壹则点a的坐标为（0, 2）,设直线AB的解析式为y=kx+b,产，4k+b=0直线AB的解析式为y=-；x+2,设F点的坐标为（x, Jx+2）,则D点的坐标为（x,得广2）, .G点与D点关于F点对称，.G点的坐标为（x,卜小,x+z）,若以G为圆心，GD为半径作圆，使得。G与其中一条坐标轴相切，若。G与x轴相切则必须由DG=GE,即一32+2 （gj-x+Z）=；工2了+2,解得：x=-3,x=4 (舍去)；若。G与y轴相切则必须由DG=OE, 即一小弓肝2T十2)二工解得：x=2, x=0 (舍去).综上，以

30、G为圆心，GD为半径作圆，当。G与其中一条坐标轴相切 时，G点的横坐标为2或系(3) M点的横坐标为2±2历，N点的横坐标为目±2向.8. (2015所阳)已知直线y=kx+b (k#0)过点F (0, 1),与抛物线(1)如图1,当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式;(2)在(1)的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D,是否存在这样的点M,使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图 2,设 B (m. n) (m<0),过点 E (0. - 1)的直线 l / x

31、轴，BR，l于R, CS，l于S,连接FR、FS.试判断 RFS的形状， 并说明理由.【解答】解：(1)因为点C在抛物线上，所以C (1,1),4又直线BC过C、F两点，rb=l故得方程组：,1口解之，得欠三，b-1所以直线BC的解析式为：y=-1x+1;(2)要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF,如图1所示，设 M （x,一卷x+1）,则 D （x, ：x2）,. MD /y 轴,MD= - x+1 - x2, 44 '由 MD=OF,可得 |-2x+1 -二x2|=1, 44当一-x+1 -x2=1 时，解得x1=0 （舍）或x1= - 3,所以M （ - 3,苧），当 一?x+1-/x2, =-