3等比数列-中等-讲义

1、等比数列麻知识讲解一、等比数列1 .定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q 0)表示.等比数列中的项不为0.2 .通项公式：an aqn1 amqn m (n N*, n 2)；nai(q 1)3 .前n项和公式：Snai(1 q ) a1 anq /八(q i)1 q 1 q4 .等比数列an的性质(其中公比为q):1)an amqn m, q n m (n N*, m N*)；22)右 p q m n ,则有 ap aq am an ;右 2m p q ,则有 am ap aq

2、 ；3)等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an, an m, an 2m, L L为等比数列，公比m为q .4)等比数列的n项和也构成一个等比数列，即Sn,Sn Sn,&n S2n , L L为等比数列，公比为qn.5)当且仅当两个数2和b同号是才存在等比中项，且等比中项为 G 而6)若a,G,b成等比数列，则G2 ab2 an、7）若数列an, bn都是等比数列且项数相同，则 kan( k0), anbn, an fbn都是等比数列；8）用方程思想处理等比数列相关参数问题， 对于an, n, Sn, a1 ,q这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”；、等差与等比数

3、列1 .若正项数列an为等比数列，则数列log a an 为等差数列；2 .若数列an为等差数列，则数列ban为等比数列；a b3 .任意两数a,b都存在等差中项为2 ，但不一定都存在等比中项，当且仅当a,b同号时才存在等比中项为'ab;4 .任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列；判断一个数列为等比数列的方法：1）定义法：ai 0，三 q.（常数）（n N*,n 2）an为等比数列.a i 22）等比中项法：an aniani,（n N *, n 2）an为等比数列.3）前n项和法：数列an的前n项和Sn A Aq （A是常数，A

4、0,q 0,q 1）数列an为等比数列；jcp经典例题一.选择题(共14小题)1. (2018?全国二模)等比数列an中，a3=-2, aii = - 8,则 a7=()A. - 4B. 4C. ±4D. - 5【解答】解：由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，/.a7=- 7?=-v(-2) X (-8) =-4.故选：A.2. (2018?齐齐哈尔二模)等比例数列an的前n项和为S,公比为q,若S6=9S3,S5=62,则 a1=()A.屹B, 2C. v5D. 3【解答】解：根据题意，等比例数列an中，若S6=9S3,则qw±1,若&=9S3,则?(1-?6

5、)=9X1-?(1-?3)1-?,解可得q3=8,则q=2,?(1-?5)又由 S5=62,则有 S51-=31ai=62,1-?解可得a1二2； 故选：B. 313. （2018湘安区一模）已知无穷等比数列则该an的各项N和为2,首项a1=2,数列的公比为（A.C.13132B.-31 , 2D. 一或一3 3【解答】解：由题意可得:1 23 一r 一解得q.1-? 23故选：B.4. （2018?安阳一模）已知等比数列an中，ai=1, a3+a5=6,贝U a5+a7=(B. 10D. 6V2A. 12C. 12v2【解答】解：:，a二1, a3+a5=6,二 a3+a5=q2+q4=6

6、,得 q4+q2-6=0,即(q22) (q2+3) =0,贝U q2=2,贝 U a5+a?=q4+q 6=22+23=4+8=12,故选：A.5. （2017秋？昌吉市期末）在等比数列an中,a1=1, a5=4,则 a3=(A. 2B. - 2C. ±2【解答】解：在等比数列中,由 a5=4 得 a5=q4=4,彳3 q2=2,贝U a3=q2=2,故选：A.6.（2018?广东二模）已知等比数列an的首项为1,公比qw-1,且a5+a4=3（ a3+a2）,则 9/7? ?9二(B.A. - 9C. - 81D.81【解答】解：等比数列an的首项为1,公比q w 1,且 a5

7、+a4=3 ( as+a2), ?+ ?=3 (a?q+a2),化为：q2=3.8X (8+1)由等比数列的性质可得：a1a29=q1+2+ +8=?-=q49一 9则 9/?2? ?9=V?TX 9=q4=9.故选：B.7. （2018TFF封一模）已知等比数列an的前n项和为S,且9及=与，&=1,则1 A.一2C,也B.D.【解答】解：设等比数列an的公比为qw1,9?(1-?3) ?(1-?6)1-?1-?,a1q=1.v229S3=S6, a2=1, 一 1q=2, a1=2.故选：A.8. (2017秋？浦东新区期末)已知各项均为正数的等比数列an中，ai=1, a3=4,

8、则此数列的前n项和等于()A. 2n+1B. 2n-1C. 1 (4n 1)D. 1 (4n+1)33【解答】解：设等比数列an的公比为q>0a1二1, a3=4,贝U 4=q2,解得q=2.2?-1此数列的刖n项和=2n - 1.2-1故选：B.9. (2016秋？怀仁县校级期末)等比数列an共有奇数项，所有奇数项和S奇=255,所有偶数项和S偶=-126,末项是192,则首项a1=()A. 1B. 2C. 3D. 4【解答】解：设等比数列有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，设公 比为q,得到奇数项为奇数项为a1 (1+q2+q4+- +q2n) =255,偶数项为a1 (

9、q+q3+q5+q2n 1)=-126,所以 qa1 (1+q2+q4+, +q2n) =255q,即 a1 (q+q3+q5+ +q2n)+qa2n+1=255q,可得：-126+192q=255q,解得 q=-2.?2?+1(1-( 4)?+1) 192(1-( 1)?+1)所以所有奇数项和 S奇=255,末项是192,1=4=255,1- -1-44即：(»?+1 = 256，.一一 一1 C ，,一解得n=3.是共有7项，a7=ai (-5) 6,解得日=3.故选：C. 一？10. (2017秋？城阳区期中)ABC,若sinA, cos-, sinC成等比数列，WJ AABC

10、的形状为()A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形，? C ?【解答】解：' sinA, cos-, sinC成等比数歹！J,？?？-?:sinA?sinC (1 +cosB) =- - cos (A+C) - cos (A - C),1+cosB=- - cosB- cos (A - C),化为：cos (A-C) =1,又 A, C (0, Tt), A=C,可得 a=c.则AABC的形状为等腰三角形.故选：D.11. (2018W匕京模拟)设数列an的前项和为S,如果a二1, an+1 = -2an (nCN*),那么Si, S2, S3, S4中最小的是(

11、)A. S1B. 8C. S3D. 3【解答】解：an的前n项和为Sn,如果a1=1, an+1 = - 2an (nCN*),则数列an为首项为1,公比为-2的等比数列，则 Si=a1=1;&=1 2= 1;S3=1 - 2+4=3;S4=1 -2+4-8=-5.则其中最小值为故选：D.12. (2018?曲靖一模)递增的等比数列an的每一项都是正数，设其前n项的和为&，若 a2+a4=30, aia5=81,则 Ss=()A. 121B. - 364C. 364D. - 121【解答】解：设每一项都是正数的递增的等比数列an的公比为q>1,02+24=30, a1a5

12、=81=a2a4,联立解得a4=27, a2=3.3q2=27,解得 q=3. .a1X3=3,解得 a1二1.36-1则 S6=364. 3-1故选：C.13. (2018春?仓山区校级期末)设等比数列an的前n项和为Sn,若?=4,则得 ( )13A. 3B.4C. D. 44【解答】解：由等比数列an的性质可得：S3, S6-S3, S9-S6成等比数列， .(?_ ?)2=S3? (S9-S6),?“1c 一=4, .?= 1与.?4 (4?)2=4? (S9-S6),13 解得切了S6.? 13 ?=4故选：B.14. (2017硝州二模)已知公差不为0的等差数歹1an与等比数歹1?

13、, ?= 2,?= ?, Mbn的前5项的和为()A. 142B. 124C. 128D. 144【解答】 解：b1=a2=2+d, b2=a4=2+3d, b3=as=2+7d,则(2+3d) 2= (2+d) (2+7d), d" 解得 d=2. - b1=4, b2=8,公比 q=2.、，4X(25-1)bn的前5项的和=124.2-1故选：B.二.填空题（共3小题）15. （2018?商洛模拟）已知数列an为等比数列，若a+a3=5, m+a4=10,则公比q= 2 .【解答】解：设等比数列an的公比为q,由a2+a4=10,可得a1q+a3q=10,即q（a1+a3）=10

14、,又 a1+a3=5,所以 5q=10.解得 q=2.故答案为2.16. （2018?萌产岛二模）已知数列an的各项均为整数，as=-2, ai3=4,前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则ai5= 16【解答】解：二.数列an的各项均为整数，a8=-2, a13=4,前12项依次成等差数列，设由前12项构成的等差数列的公差为d,从第11项起构成的等比数列的公比为q,由？? =?22 (-2+4?)?1-2+3?2_=4,由数列an的各项均为整数，解得d=1,. .a11=-2+3X1=1, a2=1+1=2,?2二2,二 q=?1 .日5=？, ?=1x 24=16.故答案为

15、：16.17. (2017秋？宁城县期末)设an是由正数组成的等比数列，且 a4a7+a5a6=18,log3a+log3a2+log3a10 的值是10 .【解答】解：二,在等比数列中，a4a7+a5a6=18,二 a4a7二a5a6二a1a10,即 2a1 a10=18,则 a1a10=9,贝U log3a+log3a2+ +log3a10=log3 (a1a2 +a10)=log3 (a1a10)5=5log39=5X 2=10,故答案为：10;三.解答题（共4小题）18. （2016秋?伊宁市校级期末）已知等比数列a, ai=2, a4=16（1）求数列an的通项公式.（2）求S0的值

16、.【解答】解：（1）由题意，an是等比数列an,设公比为q, ai=2, a4=16,即 a4=a1？q3=16,解得：q=2, 通项公式 an=a1?qn 一1二2n. 一?(1-?3(2)根据等比数列的前n项和 芹1 1-?贝U Si0=2(12 = 211 - 2=2046.1-2119. (2017春？临河区校级期中)(1)等差数列an中，已知a1=-,a2+a5=4, an=33,3试求n的值；(2)在等比数列an中，a5=162,公比q=3,前n项和$=242,求首项a1和项 数n.【解答】解：(1)因为 a2+a5= (a+d) + (a+4d)=2ai+5d=4,1解得？= 3

17、所以？?= |, ?= ?+ (? 1)?= 2? 1333由 an=33得：2?- 1 = 33,解得 n=50.33(2)因为 a5=162,公比 q=3所以由？ = ?4得：162 = ?34,解得 a1=2所以？铝？11桨)= 3?- 1 1-?因为&=242,所以由？?= 3(3?- 1) = 242,得：？?= 3?- 1 = 242解得n=5.320. (2017秋？市中区校级月考)已知等比数列an的前n项和为S,且a31,9&=2.(1)若a3, m, S3成等比数列，求m值；(2)求a1的值.m2=a3?S3,【解答】解：(1) -. a3, m,S成等比数歹1,又?= |, ?= |, .?= 27.?= +四.2 ?(2)设等比数列an的公比为q,2,当q=1时，？=?=?= 3,止匕时？?=a 3?2 = 2当q*1时，依题意得3、0,?1("? )9: 1-?2?二 63解得“ 1，综上可得?= 3或a1=6.?袋2221 .(2016?曲靖校级模拟)若数列an的前n项和为Sn,a1=1,?+ ?= 2?(?夕).(1)证明：数列an-2为等比数列；(2)求数列S的前n项和Tn.【解答】解：(1) ,. Sn+an=2n, Sn i+an 1=2 (n1), n2由得，2an an-1=2, n>2, 2