2020高考数学二轮复习考前提分攻略(高考重难点题型归纳,方法归纳)超实用,经典

1、兀,兀、兀，一23+ 42+2k兀,、.1g 4k+2,530 2k+4,0<w<2解法二:令1 2g声4<2k兀+, jt，5 %2k%+-2k%+ -44<x<332020高考数学二轮复习考前提分攻略（高考重难点题型归纳，方法归纳）超实用，经典提分攻略一三角函数中3取值范围求解策略策略1和单调性有关的问题_ . . _ 、一兀. 斤，、,、一.、.一一【例1】 设f（x） = sin 3 x+ 4（90）在2，兀上单调递减，求3的取值范围。【解】 解法一：令t= 3X+4,则y=sint在羡+ 4,兀3+4 上单调递减，所以 23+4，兀 oj+4 ? 2+

2、2k 乃 2+2k 兀，kGZ。所以兀3+4W 3+ 2k兀,2兀 ）兀 3k Z,UL f _-> r .,: 兀 - 兀 5 Tt 15所以k=°,从而2,兀？ “，获?矛但4 一一一.兀.兀.解法二：（导数法）因为函数f（x）= sin ojx+ 4（3>0）在2,兀上单调递减，一一一一，一一兀 一，.兀，一，、所以f （x）= cxos 3X+ 4 W0在2,兀上怛成立，兀j 兀，兀故 cos 3 x+ 4 < 0? 23+4,Ttw+j ? T+ 2k 兀，竽+ 2k；t, k42'2? Z。、-14k+2,.59W 2k+ /, 40<w&

3、lt;2兀,M * CL2 3+ 4)2+ 2k 兀，所以大y+ 2k兀,2兀存兀315对某个k Z成目，故k= 0,从而2<4本题给出了三种方法，其中解法一、解法二是最常见的两种 方法，即运用子集的观点是解决这类问题首选方法。策略2和最值有关的问题_._、一，兀兀，.一，,一【例2】设f(x) = 2sinax在一鼻，7上的最小值为2,3 4求3的取值范围；(2)为了使函数y=sin3)(3>0)在区间0,1上至少出现50次最大值，求3的最小值。【解】若3>0,则由一，兀兀c兀JJ兀xe 3, 4 ? 33W3g4wo因为 f(x) = 2sin 3 x在兀3'4上

4、的最小值为一2,所以一3TC 、32? 3)2，一一 兀兀一兀兀右 3<0,则由 xG 3, 4 ? 43W 3尬33。因为f(x) = 2sin,x在一最 34上的最小值为一2,所以 430-2? 302。3的取值范围是（一8, - 2U综上所述，符合条件的实数3,2，+00。 1“由题意，至少出现50次最大值即至少需494个周期,所以1973)2 兀,一 一一 ，一 ,197所以3的最小值为号危本题(1)利用存在最小值的条件求解。本题(2)将最值问题转化为周期，从而求出 3的取值范围。策略3和零点、对称轴有关的问题【例 3】设 f(x) = sin(ojx+。3>0, |4乒2

5、 , x= 4为 f(x)的零点，x=4为y=f(x)图象的对称轴，且f(x)在18, 36c单调， 求3的最大值。【解】 由f(x)的单调区间长度不超过半个周期，故 工一喧 36 18兀_<-? 30 12。4 w+ j= ki 兀，由对称轴和零点可得了，"+k2 兀+ C4*2_4.兀? 3= 2k+1, kG Zo 右 3=11, 。= 一4，此时f(x) = sin 1仅-4,在18 44递增,在34，56递减，不满足f(x)在i8，56单调。若 3=9,卡此时 f(x) = sin 9x+?,满足 f(x)在,单44IO 36调，所以3max = 9o，一，一，.一兀

6、 一y= Asin(ojx+昉的对称轴满足的条件是ax+ <= k兀+ 2(kG Z);y=Asingx+的零点满足的条件是ax+ 产k兀kG Z)。1【例4】 设f(x)=sinax cosax 3>4 ,右f(x)的任息一条 对称轴与x轴的交点的横坐标都不属于区间(2怎3兀)求3的取 值范围。【解】 因为 f(x)=sinax cosojx= 72sin ax 4 ,丁兀一 一 一 一则 c=>3 兀- 2 ?1。23由3 X 4= k兀+ 2? f(x)的对称轴为,3k+4兀x=(k Z)。 一 3k+1+4 兀3由题意X1 =k+4兀w 2兀且 X2 =3所以k= 0

7、 或 k= 1 o当k= 0时,当k= 1时,1112,3 所以/3,7127 11u g, 12。本题利用对称轴与函数周期的关系及f(x)两相邻对称轴与区间(2怎3兀的关系解题。提分攻略二 三角形中的最值问题利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关的最值问题，一般是指先运用正、余弦定理进行边角互化， 然后通过三角形中相 关角的三角恒等变换等，构造关于某一角或某一边的函数或不等 式，再利用函数的单调性或基本不等式等来处理。破解此类题的关键点如下。定基本量，根据题意或几何图形厘清三角形中的边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，弁选择 相关的边、角作为基本变量，确定基本变量的变化

8、范围。构建函数，将待求范围的变量，根据正、余弦定理或三角 恒等变换转化为基本变量的函数关系式。求最值，利用基本不等式或函数的单调性、有界性等求最 值。【例1】已知锐角三角形 ABC的内角A, B, C的对边分3别为 a, b, c,且 a= bcosC+gcsinB。求B;(2)若b= 2,求ac的最大值。3【解】（1）在ABC 中，因为 a=bcosC + *csinB,3 所以 sinA= sinBcosC + sinCsinB,33所以 sinA= sin（B+ C） = sinBcosC + msinCsinB,3 .化为 cosBsinC = rsinCsinB, sinC中0,3可

9、得 tanB=<3, BG（0,兀）所以 B= To3b4(2)由正弦定理得SbB=2R= -43,令 y= ac16= 2RsinA . RsinC16= -3sinAsinC = -3sinAsin 3-A= 0sin 2A- +-o363因为 0<a<2，0V“ 兀 匕一、r兀 兀 一A<2,所以6VA?。故6<”6<9 所以 sin2A-6 所以yG A 4。所以ac的最大值为4。本题把ac转化为三角形内角的关系, 三角函数的单调性求解。利用角的范围，结合【例2】（2019湖北黄冈9月质量检测）已知 ABC的内角、升 sinA sinB+sinCA，

10、B, C 满足sinC二sinBsinA+sinB sinC0(1)求角A;若 ABC的外接圆半径为1,求4ABC的面积S的最大(1)结合正弦定理、余弦定理即可求出角Ao (2)先利用正弦定理得到角A所对的边a的长，再利用余弦定理求出三角形三边 的关系式，结合重要不等式求出bc的最大值，最后利用三角形的面积公式，即可求出 ABC的面积S的最大值。【解】 设内角A, B, C所对的边分别为a, b, co(1)由正弦定理及sinA sinB+sinCsinCsinBa b c b-,得=:、sinA+ sinB sinCc a+bc整理得 b2+ c2 a2= bc,所以cosA=b2+ c2

11、a2 bc 12bc=2bc= 2,又0<A<兀，所以A=-o3(2)根据正弦定理，弁结合题意可得岛=2,sin所以 a=2sinA= 2sinf= 3,所以3= b2+ c2 bc>2bc bc= bc,当且仅当b=c时等号成立,11所以 S= 2bcsinA<2>< 3X故 ABC面积的最大值是比3=氧32 4，3.34 °本题将三角形的面积转化为三角形边的关系，再利用基本不等式求 ABC面积的最大值。提分攻略三 强化三种意识 引领向量解题解决平面向量问题的常用方法(1)求解有关平面向量的问题时，若能灵活利用平面向量加、 减法运算及其几何意义进

12、行分析，则有利于问题的顺利获解。 这种解题思路，我们不妨称之为按“图”处理。(2)基底法：求解有关平面向量的问题时， 若能灵活地选取基 底，则有利于问题的快速获解。理论依据：适当选取一组基底ei, e2,利用平面向量基本定理及相关向量知识，可将原问题转化为关于ei, e2的代数运算问题。(3)建系法：处理有关平面图形的向量问题时， 若能灵活建立 平面直角坐标系，则可借助向量的坐标运算巧解题， 这也体现了 向量的代数化手段的重要性。第一种“基底”意识所谓“基底”意识，是指有预见性地选择适当的“基底”， 弁用“基底”来表示有关向量，以实现化归的一种思维方式。“基底”意识的本质是平面向量基本定理的灵

13、活应用， 选择“基 底”应有利于化未知为已知、 化零乱为有序，从而达到简化问题 的目的。【例1】 在等腰梯形 ABCD中，已知AB/DC, AB=2,一BC=1, /ABC = 60°。点E和F分别在线段 BC和DC上，且BE 2f 二 1 77"z -= §BC, DF=gDC,贝UAEAF 的值为 o【解析】先取基底弁表示向量AE,AF,再利用数量积运算求解。取AB,4,所以DF = ±AB。在4AD为一组基底，如图所示，在等腰梯形 ABCD中，CD=1, AD1= BC=1,又因为 DF = dc，DC =6 ,1ADF 中，AF = AD + D

14、F = AD + 12aB,在梯形 ABCD 中，BC=BA11+ AD+DC= AB+AD + AB= 2AB+AD,在 A ABE 中,AE =221= 二 2AB+BE = AB+§BC=AB+3 -1AB+AD =§AB + 3ad，所以221122213AE AF= 2AB+3AD *AB + AD = AB2 +3AD2 + AB AD =1 c 2 c布 *22+3*12+131 2918X2>< 1X2=18°29 【答案】fl本题考查平面向量的线性运算及数量积运算。 考查考生的转 化与化归思想及运算求解能力。第二种“构图”意识所谓“构

15、图”意识，是指能主动挖掘平面向量问题的几何背 景弁用于解题的一种思维方式。“构图”意识的实质就是将“数”向“形”转化，然后运用图形的几何性质解题。1【例 2】 设向建 a, b, c 湎足|a|= |b|= 1, ab= /,a c, b-c> =60°,则|c|的最大值等于（）A. 2B乖C. 2D. 11 .【解析】因为 |a|=|b|=1, ab= 2，所以a, b> =120。一 一 一令OA=a, OB=b, OC = c,则/AOB=120°, /ACB = 60°。由一此可构造两个图形，一是点 A, B, C在以O为圆心、|OA|为半 径

16、的圆上（如图1）,止匕时|c|=1;二是 O, A, B, C四点共圆（如 图2）,此时，|c|的最大值就是该圆的直径 2R。在图2的4AOB一 一中，由/ AOB=120°, |OA|=|OB|=1,可知/OAB=30°,由正弦一定理，得2R= . |OJ八口 = 熹？=2,所以|c|的最大值是2。综上 sin/OAB sin301 1可知，|c|的最大值是2,故选Ao图1（）图2【答案】 A利用题设条件构造相关图形，然后运用图形的几何性质求解， 显得直观清晰、运转高效。第三种“坐标”意识所谓“坐标”意识，是指通过建立平面直角坐标系，将向量改用坐标来表示，使向量问题转化为

17、代数问题来处理的一种思维 方式。具优点是具体操作近乎“程序化”，学生容易掌握，关键是建立适当的平面直角坐标系，准确算出有关点的坐标。,二 "if什人 【例3】 已知ABLAC, |AB|=1 |Ac = t,若点P是 ABC t |AC|一 一 .AB 4AC 所在平面内的一点，且 APu2AB + 4AC,则PB PC的最大值等于|AB| |AC|()A. 13B. 15C. 19D. 21【解析】建立平面直角坐标系，用坐标法求解。由题意，ABXAC,故以点A为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，AC所在的直1线为y轴建立如图所7K的平面直角坐标系，由题息可得，Bp 0,C(0,t)

18、,所以号= (1,0),与|AB| |AC|AB 4AC=(0,1),所以 AP = += (1,4),|AB| |AC|1t4),因止匕PBPC故 P(1,4)。所以 PB= -1, 4 , PC=(1,1.1, 一，.1="一1 X(-1)+(-4)X(t-4)=17- j + 4t o 由已知 AB| = -, 所以t>0 o由基本不等式可得：+ 4t>2 . tl二一一一.1-1一一一4当且仅当,= 4t,即t = 2时，等号成立，所以PB PC =17 , + 4t 0 17 4=13。综上，当t=2时，PB PC取得最大值13故选A【答案】 A本题考查平面向量

19、的数量积、 平面向量的模、基本不等式等 基础知识，意在考查考生的转化与化归思想、数形结合思想和运 算求解能力。提分攻略四三类特殊递推公式求通项公式类型一 形如“an + i=pan+qn + t(p*0)”的递推公式求通 项公式方法：用待定系数法转化为 an+i-x(n+ 1)-y= p(an-xn-y), 构造等比数列anxny进行求解。【例11(2019四川省高三“联测促改”活动测试)已知数列 an满足： an+i = 2an n+ 1(n N ), ai = 3O(1)求数列an的通项公式；、一an+1 an 、一一. 、. 一一. .、(2)设Cn=,数列Cn的刖n项和为Sn,求证：S

20、n<1。anan+1(I)由an+i = 2ann+1(nG N*),利用构造法，构造等比数列， 即可求出所构造新数列的通项公式，从而可得数列an的通项公式。(2)利用(1)的结论与裂项相消法，即可证得S<1。【解】(1)因为 an+1 = 2an n+1(nGN ),所以 an+1 (n + 1) = 2(an n),因为a1 = 3,所以a1一1 = 2中0,所以数列ann是以2为首项，2为公比的等比数歹U,an = 2n+ n。an>0o所以 ann=2X2n-1 = 2n,即 (2)由(1)知,an = 2n+n,所以因为an+1 - an11Cn =anan+1=

21、an an+1Sn = C1 +C2 + + Cn =+ + + a1a2a2a3一=can an+1 a1 an+1311 an+1<1an+1<1。由 an+i= qan+f(n)(q中 0)易误构造 an+i+g(n) = qan+g(n), 从而导致所求的通项公式出错，应构造an+i + g(n+ 1) = qan +g(n)o类型二 形如“an+i = pan +qn(p中0, q中0)”的递推公式求 通项公式方法：对形如an+i= pan+ qn(p0, q*0)的递推式，既可以两边同时除以qn+1,得到等=pan+i,构造新数列an进行求 q q q q q解；又可以

22、两边同时除以pn+1,得到aE=，+；qn,构造新数p列an使用累加法进行求解。p【例2】 已知数列an中,ai =an+i = aan+ o n+1,则数 634列an的通项公式为。将递推关系式两边同时乘以2n + 1或3n+1,构造新数列进行求.11【解析】 解法一：将an+i = 3an+ 2两边同时乘以2n 1,2信 2n an+ 1 = ? an+ 1。3令 bn= 2n an,则 bn+1 = |bn+ 1 ,将上式变形，得 bn + 1 -3=|(bn333) o54 2所以数列bn3是首项为b1-3=2X-3=-,公比为马633的等比数列。4 2所以 bn3= 4 彳1,3 3

23、即 bn = 3 23bn 3 an= 2n= 2n23n11 解法二：将an+1 = 3an+2 n 1两边同时乘以3n 1,得3n 1an+c 33 an+ 2 n 一3 .令 bn=3 an,则 bn + 1=bn+ 万，b2-b1= 12o33 一所以 bnbn1= 2 n, bn1bn2= 2n 1,3 -33将以上各式累加，得bn-b1= 32+ 3n 1+ 3n(22),.5 5.3又& =知=3*6 = 2=1 + 2,所以 bn=1+2+ |2+-+ |n-1 +1n1 -11n+13-1 _1 2=2 1n+ 1-2(n>2),一5一又bi = 2满足上式,3

24、所以 bn=2 -3n 1-2obn 32故 2门=30=20一 3口。_ 3_ _ 2_an= 2n 3n类型三q* 0)”的递推公ran形如an+1 = qanTp(r>°，P*0，式求通项公式方法：破解递推公式为 an+1 = ran(nG N*, r>0,p*0,q*0, qan pan中0)型的数列an的通项公式题的关键是首先对已知等式两边取倒数，变形为工=rt+r。若p=，则:是等差数歹u， 且公差为q,可用公式求通项；若 P中r,则转化为an+1=pan +q型，再利用待定系数法构造新数列求解。3a .【例3】 已知首项为3的数列an满足an+1 = ；T(

25、nG N ),3+ an贝U an =o3a 对an+i=a（n N*）两边取倒数，再利用等差数列的定义，3十an即可求出数列an的通项公式。3an .【角牛析】因为an+i = t- （n N ）,易知an中0（n3 十 an'*111 一,11 .gn）,所以 一r=a，因为a1=3,所以广=鼻，所以数 an+1 an 3a1 31、，一 ,an是首项为1.、，, 1 一 111n3'3,公差为3的等差数列，所以an= 3+（）义3=3所以an=-。 n提分攻略五 构建模型搞定空间几何体的外接球问题类型一墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可 求出球半径）方法：找三条

26、两两垂直的线段，直接用公式 （2R）2=a2+b2 +c2,即 2R= /a2+ b2+ c2,求出 Ro【例1】 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分 别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是 。【解析】设三棱锥外接球的半径为 R,由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为 a, b, c（a, b, c均为正实数）,ab=12,则 bc=8,所以 abc=24,所以 a=3, b = 4, c=2, (2R)2 =ac= 6,a2+b2 + c2=29, S= 4uR2=29 兀。【答案】29兀【例2】 在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC 的中点，且AMLMN,若侧棱

27、SA= 243,则正三棱锥S- ABC外 接球的表面积是。【解析】 如图1,取AB, BC的中点D, E,连接AE, CD, AE与CD交于H ,连接SH,则H是底面正三角形 ABC的中心， 所以 SH，平面 ABC,所以 SHXAB,因为 AC= BC, AD=BD, 所以CD，AB,所以AB，平面SCD,所以AB，SC,同理：BC ISA, AC，SB,即正三棱锥的对棱互相垂直。本题图如图2,因为 AMXMN, SB/ MN,所以 AMLSB,因为 ACXSB,所以 SB，平面 SAC,所以 SB± SA, SB±SC,因为 SB±SA, BCLSA, 所以S

28、A，平面SBC,所以SAX SC,故三棱锥S- ABC的三条侧 棱两两互相垂直，设三棱锥S- ABC外接球的半径为R,所以(2R)2 =(23)2+ (23)2+ (273)2= 36,即 4R2=36,所以正三棱锥 S- ABC外接球的表面积是 36危类型二对棱相等模型(补形为长方体)方法：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB=CD, AD=BC, AC = BD)第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；笫二步：设出长方体的长宽高分别为 a, b, c, AD=BC = x,a2+ b2 = x2,? (2R)2 =AB=CD = y, AC=BD =

29、z,列方程组 b2+c2=y2, c2+ a2=z2a2+b2 + c2 = x2+y2 + z2 ；第三步：根据墙角模型,2R= 2 a2 + b2 + c2 =x2+ y2+ z22，/x2+y2+ z2R= yj8,求出 R【例3】 在三棱锥 A-BCD中，AB=CD=2,AD = BC = 3, AC=BD = 4,则三棱锥 A BCD外接球的表面积为 。【解析】 如图，补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为 a, b, c,则a2+b2=9, b2+c2 = 4, c229+ a2=16,所以 2(a2+ b2+ c2)= 9+4+ 16= 29, a2+b2 +

30、c2 = 2, _2 29 c 294R2 = "2, s=5尼【答案】29万兀类型三 汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）方法：如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心 。的位置，Oi是4ABC的外心，则OOi ，平面ABC;11第一步：算出小圆 Oi的半径 AOi = r, OOi = 2AAi=2h（AAi=h也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：OA2=OiA2+OiO2? R2= 2 2+ r2? R=Ajr2+ 22,解出 Ro* Ji【例4】一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于一 ,9积为9,底

31、面周长为3,则这个球的体积为 81外接圆的半径为r,球的半径为R,则a=1，正六棱柱的底面积底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体【解析】设正六边形边长为a,正六棱柱的高为h,底面4c c _3 12 U3_J 92为$= 6 , 4 ,2 2= 8 , V 柱=$卜=8 h ='所以 h=3, 4R2 =12+ (43)2 = 4,也可 R2= 2 2+ 2 2= 1 , R= 1,球的体积为 V 球4兀了类型四折叠模型两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图）第一步：先画出如图所示的图形，将 BCD画在小圆上， 找出4BCD和AA' BD的外心

32、 Hi和H2；第二步：过Hi和H2分别作平面BCD和平面A' BD的垂线， 两垂线的交点即为球心 O,连接OE, OC;第三步：解OEHi,算出OHi,在RtZXOCHi中，勾股定理： oh2+ch2=oc14 515 02H =f，R2= O2H2+ r2 = o + o=o, R= 2 ; 3 3 3，3，o注：易知O, Hi, E, H2四点共面且四点共圆，证略。【例5】 三棱锥P-ABC中，平面FAC，平面 ABC, A PAC 和 ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P ABC外接球的 半径为。242【珈析】 珈法一：如图，2/1= 2r2 = Sin60"u73

33、, ri=r2=J3,解法二:+ OiO2= I,3【例6】一 1 一 1O2H =痘,OiH =表,AH=1, R2=AO2=AH2 + OiH2R-5R 3 °15甘在边长为24的菱形ABCD中，/BAD = 60°,沿对角线BD折成二面角ABD C为120°的四面体ABCD,则止匕四面体的外接球表面积为【解析】 如图，取BD的中点M, 4ABD和4CBD的外 接圆半径为r1=2=2, 4ABD和4CBD的外心。1,。2到弦BD 的距离（弦心距）为d1 = d2 = 1,解法一：四边形 OO1MO2的外接圆直径 OM=2, R=中,S28 28 兀；解法OOi

34、 = y/3,R= y/7,S= 28 %解法三：作出 CBD的外接圆直径 CE,则AM=CM = 3,7+16-27CE=4, ME = 1, AE =市,AC=3V3, cos/ AEC= 2 g .4 ;1 3 3AC3-3一访，sin. "匚=¥，所以R=巾,S= 28/sin/ACE 1 【答案】28兀提分攻略六 空间向量解决线面关系的探究性问题解决立体几何中探究性问题的基本方法如下(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与假设吻合的数据或事实， 则 说明假设成立；若推导出与假设或实际情况相矛盾的结论， 则说 AEC

35、=2V7, 2R= sin/AEC = 3V3=2 于，R=木，25S= 28 危解法四：在 AEC 中，AE = 7, /ACE = 30°,所以 2R= 明假设不成立。(2)利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性问题转化 为方程(组)是否有解的问题进行处理。【典例】 (2019山东潍坊三模)如图，在四棱锥 E ABCD中，底面 ABCD为矩形，平面 ABCD，平面 ABE, /AEB=90°, BE = BC, F 为 CE 的中点。(1)求证：平面 BDF，平面ACE;(2)若2AE=EB,在线段AE上是否存在一点 P,使得二面角 PDB F的余弦值的绝对值为 守

36、。请说明理由。(1)由条件易得，AEXBF, BFXCE,利用线面垂直的判定定 理证得BF，平面ACE,再由面面垂直的判定定理即可证得结果。 (2)如图，建立空间直角坐标系，设 AE=1, PE = a,求得平面 BDP 和平面 BDF 的一个法向量，利用向量的夹角公式，列方程 求解即可。【解】(1)因为平面 ABCD，平面 ABE, BCXAB,平面ABCDA 平面 ABE = AB,所以 BC，平面 ABE,又AE?平面ABE,所以BCXAEo因为 AELBE, BCABE=B,所以 AE，平面 BCE, 因为BF?平面BCE,所以AEXBF,在4BCE中，因为BE = CB, F为CE的

37、中点，所以 BFXCE,又 AEACE=E,所以BF，平面ACE,又BF?平面BDF,所以平面 BDF，平面 ACE。(2)存在。如图，建立空间直角坐标系E xyz,设AE=1,则 E(0,0,0)， B(2,0,0)， D(0， 1,2)， C(2,0,2)， F(1,0,1)，BD = ( 2,1,2), BF = (-1, 0,1),设 P(0, a,0), a 0,1,则 PB=(2, a, 0),结合(1)易知EC，平面BDF,故EC= (2,0,2)为平面BDF的一个法向量，设n=(x, y, z)为平面BDP的法向量，则由 n，BD,得一2x+y+2z= 0,由 n±P

38、B?得 2x ay=0,令*= a,可得平面 BDP的一个法向量为 n = (a,2, a 1),所以 cos EC, n>EC n2a-1|EC|n|2 a2+4+ a- 1由|cosEC, n> 1=磊,解得 2=0或2=1。故在线段AE上存在点P,使得二面角PDB F的余弦值 的绝对值为 喑，且此时点P在E处或A处。该题第(2)问通过建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算 列方程求解。这样就把点的存在性问题转化为方程是否有解的问 题，避免了用几何法求解时烦琐的线面关系证明。提分攻略七与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题的常见类型及求解思路（1）最小圆（圆的面积最小）问题，转化

39、为求半径的最小值问题；（2）圆上的点到圆外的点（直线）的距离的最值，应先求圆心到 圆外的点（直线）的距离，再加上半径或减去半径求得最值；（3）形如 四 三的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问 题；（4）形如t = ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值 问题，也可用三角代换进行求解。【典例】阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作 圆锥 曲线论一书，阿波罗尼奥斯圆是他的研究成果之一，指的是： 已知动点M与两定点A, B的距离之比为XA0,届1）,那么点 M的轨迹就是阿波罗尼奥斯圆。下面我们来研究与此相关的一个1 -问题，已知圆O:x

40、2 + y2=1上的动点M和定点A2，0,B（1,1）, 则2|MA|+|MB|的最小值为（）A. V6B.市C. 10D.而先求出点 M在x轴上时，2|MA|+|MB|的值；当点 M不在x 轴上时，构造一个与 AOM相似的三角形，依据题设条件取点 K( 2,0),通过相似比得到|MK|=2|MA|,则可得2|MA|+|MB|= |MB|十|MK|,再利用三角不等式|MB|+|MK|)|BK|,即可求出2|MA| 十 |MB|的最小值。【解析】(1)当点M在x轴上时，点M的坐标为(一1, 0)1 或(1,0)。若点 M 的坐标为(一1,0),则 2|MA|+ |MB|=2X2 + M 1 +

41、1 2+ 12 =1 + 5;若点 M 的坐标为(1,0),则 2|MA|+|MB| =2x|+ q 1 12+12=4。(2)当点M不在x轴上时，取点 K( 2,0),连接OM, MK, 因为10M=1，|OA| = 2，|OK|=2,所以喘震二称:2。因为/ 2|xA| |OM|MK| |OM|MOK = Z AOM,所以 MOKsAOM,则加=/不=2,所以 |MK|二2|MA|,则 2|MA| + |MB| = |MB| + |MK| o 易知 |MB| 十 |MK|>|BK|,可知|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长。因为 B(1,1), K(2,0),所以(2|MA|+

42、|MB|)min= |BK| =，-2- 1 2+ 0-1 2 = V10o综上，易知2|MA|+|MB|的最小值为VWo故选Co 【答案】C本小题运用几何法求解，将 2|MA|+ |MB|转化为B与K的距 离。在与圆有关的最值问题中几何法往往优于代数法。提分攻略八 圆锥曲线中最值问题解题策略策略1用定义性质转化法求最值解与圆锥曲线上的点到焦点的距离 (抛物线还涉及曲线上的 点到准线的距离)有关的问题常用定义性质转化法(一般利用圆锥 曲线的定义和性质求最值)，即会利用椭圆或双曲线上的点到两 焦点的距离的固定规律，抛物线上的点到准线的距离和到焦点的 距离相等及圆锥曲线的性质，合理转化所求问题。1

43、【例 1】 已知抛物线 C:y2=2px(p>0),且 Q(q,0),M 4, 1 , N(n,4)三点中恰有两点在抛物线 C上，另一点是抛物线C的焦点。(1)求证：Q, M, N三点共线；(2)若直线l过抛物线C的焦点且与抛物线 C交于两个不同 的点A, B,点A到x轴的距离为d1，点B到y轴的距离为d2, 求d4+d2的最小值。(1)欲证Q, M, N三点共线，只需证kQM=kQN,只需用已知 三点的坐标结合抛物线方程，求出 p, q, n的值，再利用过两点 的直线的斜率公式，即可证得结果；(2)易知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x= my+ 1,与抛物线C的方程联立，得y2

44、4my 4=0,利用根与系数的关系，求出 yiy2的值，再利用基本 不等式法，即可求出d4+d2的最小值。1【解】(1)由条件，可知M 4， 1 , N(n,4)在抛物线C上，Q(q,0)是抛物线C的焦点，Tf/P=2,所以42=2pn,解得q=1,pn=4,q= 21,所以 Q(1,0), M 4, 1 , N(4,4)O设直线QM的斜率为kQM,直线QN的斜率为kQN,则 kQM =一 1 一 0 41 d =3? 4TkQN4 一 04-143'所以kQM = kQN,又直线QM与直线QN有公共点Q,所以Q, M, N三点共线。(2)依题意，可设直线l的方程为x=my+ 1,与抛

45、物线C的方程y2=4x联立，得y24my 4= 0因为直线l与抛物线C有两个不同的交点,所以 A= 16m2+16>0,解得 m R设 A(x1, y1)，B(x2, y2),则 yy2= 4,y1 = - V2, y2=2 2时，取等所以 di + d2=y4+x2=y4 + 'y652 丫： 1y6 = 2 1 1：，= 8,v4y1 = V25当且仅当y4=!,即y 厂16y2=- 2V2号，所以(d4+d2)min = 8破解此类求最值题的关键需过好四关：一是方程（组 ）关，即会利用方程（组 ）求出参数的值；二是公式关，即会利用过两点的直线的斜率公式，求出直线的斜率；三是

46、转化关，如本题，把证明三点共线，转化为证明任两点的连线所在直线的斜率相等，当然也可以转化为向量共线；四是最值关，会利用基本不等式等方法求最值。策略 2 用目标函数法求最值目标函数法就是通过设参及坐标运算等建立关于所求问题的函数解析式，根据已知条件求出变量的取值范围，即可将所求的取值范围转化为函数值域进行求解的方法。此种方法适用于求弦长、 三角形或四边形面积等相关代数运算的问题。破解此类题的关键点如下。定变量，即根据题意确定变量及其取值范围（目标函数的定义域）。建立目标函数，即利用定义或公式（点到直线的距离公式，两点间的距离公式，斜率公式等），通过坐标运算，建立目标函数。定最值或定范围，即根据目

47、标函数解析式的结构特征，采用配方法、基本不等式法、函数的有界性及单调性(可以利用导数研究)等定最值或取值范围。【例2】已知抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为1,过焦点F的直线交C于A(xi, yi), B(X2, y2)两点，yiy2= 4。(1)求抛物线C的方程；(2)如图，点B在准线1上的正投影为E, D是C上一点，且 ADXEF,求 ABD面积的最小值及此时直线 AD的方程。【解】(1)依题意知Fp, 0,当直线AB的斜率不存在时，yiy2=-p2=-4,解得p=2o当直线AB的斜率存在时，设1ab: y=kx P(k中0), Py = k x 。，由2消去x弁整

48、理，y2= 2px,得 y2 2py p2=0,则 yiy2=_p2, k由 yiy2= 4 得 p2= 4,解得 p=2o综上所述，抛物线 C的方程为y2 = 4x、一一_ t + 7V yi + yo2 4yiyo t2+16+8,设 D(x。，y。)，B4, t ,则 E(1, t),44又由 y1y2= 4,可得 A12, 一t。一一 t2因为 kEF=2，ADX EF,所以 kAD= p4 24则直线AD: y+f =x t2,8化间传 2x ty 4 t2= 0°c ,，8-2x 一 ty 一 4 一 ,2=0)由t 消去x弁整理,y2= 4x,16 -信 y 2ty 8

49、 12 = 0,a、,116A= (- 2t/ - 4 X 8 t2所以 yI+yo=2t, yiyo =c 64，一，、= 4t2 + ,+ 32>0 怛成立,168 22 0于是AD| =一匕 ,1 + 4|yi yo|则d=t2282 -124 -12t2+16t24+t22 4+t211 c 16所以 SABD=2|AD| d = 4 y t2 + -tr+8设点B到直线AD的距离为d,>16,当且仅当t4=16,即1=±2时取等号，即 ABD面积最小值为16。当 t=2 时，直线 AD： x y 3 = 0;当 t= 2 时，直线 AD: x+y- 3=0多元素

50、问题：设定主元，化繁为简本题第(2)问涉及点、直线、三角形面积等，信息量较大，很容易让人迷失解题的方向，本题给出的解题方法体现了 “主元思 t2一 ，一想”，即由点B在抛物线y2=4x上，设其坐标为4, t ,后面的 相关点的坐标、直线的方程及三角形的面积都以参数 t为“元”， 最后得到面积的表达式是一个关于 t的函数，将求面积的最小值 问题转化为求函数的最小值问题。提分攻略九 概率统计中的交汇问题交汇一图表与概率的交汇问题【例1】 甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员， 日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，

51、超过45件的部分每件提成8元。(1)请将两家公司各一名推销员的日工资y(单位：元)分别表示为日销售件数n的函数关系式；(2)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100 天的销售情况进行统计，得到如图所示的条形图。若记甲公司的推销员的日工资为X,乙公司的推销员的日工资为Y,将频率视为概率。 若某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由。(1)利用已知条件，即可求出甲公司、乙公司各一名推销员的日工资与日销售件数n 的关系式；(2)利用条形图，分别求出X，Y的分布列，再利用公式求出E(X), EY,并比较E(X),

52、E(Y)的大小，即可做出选择。【解】（1）由题意得，甲公司一名推销员的日工资 y（单位： 元）与日销售件数n的函数关系式为y=80+n, nGN。乙公司一名推销员的日工资 y（单位：元）与销售件数n的函数关系式为y=120 n045, n N ,8n 240 n>45, nG N。（2）由条形图可得X的分布列如下:X 122124126128130P 0. 20.40. 20.10. I由条形图可得Y的分布列如下:Y 120128 H4 160P 0. 2 0i 30,40, 1易得 E(X)= 122X0.2+ 124X0.4+ 126X0.2+ 128X0.1 + 130X0.1 = 125,E(Y) = 120X0.2+ 128X 0.3+ 144X 0.4+ 160X 0.1 = 136。因为 E(X)<E(Y),所以仅从日均收入的角度考虑，选择去乙公司更好。破解此类条形图、离散型随机变