2.矩形(基础)知识讲解+练习

1、矩形（基础）【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：是平行四边形；有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1. 矩形具有平行四边形的所有性质；2. 矩形的对角线相等；3. 矩形的四个角都是直角；4. 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（ 1 ）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（ 2 ）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分

2、别通过对边中点的直线）. 对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（ 3 ） 矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看， 矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法:1 .定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2 .对角线相等的平行四边形是矩形 .3 .有三个角是直角的四边形是矩形 .要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

3、推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：(1)直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用(2)学过的直角三角形主要性质有：直角三角形两锐角互余；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形中30。所对的直角边等于斜边的一半.(3)性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、( 2015?方南)如图，在矩形 ABCD中，AB=4 , AD=6 , M , N分别是AB, CD的中点，P是AD上的点，且/ PNB=3 / CBN.(1 )求证：/ PNM=2 / CBN;

4、(2)求线段AP的长.BSf【思路点拨】（1）由MN/ BC,易得/ CBN=Z MNB,由已知/ PNB=3 / CBN,根据角的和 差不难得出结论；（2）连接AN ,根据矩形的轴对称性，可知/PAN=Z CBN,汕（/ PNM=2 / CBN=2 / PAN,由AD/ MN,可知/ PAN= / ANM,所以/ PAN= / PNA,根据等角对等边得到 AP=PN ,再用勾股定理列方程求出 AP.【答案与解析】解：（1）二.四边形ABCD是矩形，M, N分别是AB, CD的中点， MN/ BC, ./ CBN=Z MNB, . / PNB=3 Z CBN, ./ PNM=2/CBN;（2）

5、连接AN ,根据矩形的轴对称性，可知/PAN=Z CBN, MN/ AD,/ PAN= / ANM,由（1）知/ PNM=2 / CBN, ./ PAN=Z PNA,AP=PN ,AB=CD=4 , M , N 分别为 AB , CD 的中点,DN=2 ,设 AP=x ,贝U PD=6 - x,在 Rt PDNPD2+DN 2=PN 2,(6 - x) 2+2 2=x 2, 解得：x=!3所以AP=卫!.3A圮B【总结升华】 本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到/PAN=Z PNA, AP=PN是解决问题的关键.举一反三：【高清课堂417081 矩

6、形例7】【变式】如图，Rt 快BC 0= 90 AC = 3 , BC = 4,点P为AB边上任一点，过另I作PE± AC于E, PF, BCF F,则线段EF的最小值是 .CF £12【答案】飞,提示：因为ECFP为矩形，所以有 EF=PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高类型二、矩形的判定、(2015?内江)如图，将口BCD的边AB延长至点 巳使AB=BE ,连接D巳EC,DE交BC于点O .(1 )求证： ABDA BEC;(2)连接BD,若/ BOD=2 Z A,求证：四边形BECD是矩形.【答案与解析】证明：(1)在平行四边形 ABCD 中，AD=BC , AB=

7、CD , AB / CD,则 BE/ CD.BE=DC ,四边形BECD为平行四边形,BD=EC ./ AA BE中，rAB=BEBD=EC, 、AD 二 BC . ABDA BESSX；(2)由(1)知，四边形 BECD为平行四边形，则 OD=OE , OC=OB 四边形ABCD为平行四边形， ./ A=Z BCD,即/ A=Z OCD.又. / BOD=2 Z A, Z BOD=Z OCD+Z ODC, ./ OCD=Z ODC,OC=OD,OC+OB=OD+OE ,即 BC=ED ,平行四边形BECD为矩形.【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识点的综合运用，熟练

8、掌握特殊几何图形的性质与判定是解决问题的关键.【变式】如图，在 ABC中，AB=AC, D为BC中点，四边形 ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.证明：四边形ABDE是平行四边形, .AE/BC, AB = DE, AE= BD .D为BC的中点, .CD = BD. CD/AE, CD = AE四边形ADCE是平行四边形 .AB = AC.AC= DE 平行四边形ADCE是矩形.、如图所示，YABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H.求证：四边形 EFGH是矩形.【思路点拨】AE、BE分别为/BAD、/ABC的角平分线，由于在 Y ABCD中，/ BAD+ /ABC

9、= 180 ° ,易得/BAE+ "BE = 90 ° ,不难得到/HEF=90° ,同理可得/H =/F= 90 ° .【答案与解析】证明：在 YaBCD 中，AD /BC, /BAD +/ABC = 180 ° , AE、BE 分别平分/BAD、/ABC,/1 /1 。 /BAE + / ABE = /BAD + /ABC = 90 .22ZHEF=ZAEB =90 ° .同理：/ H = ZF=90 ° .四边形EFGH是矩形.【总结升华】（1）利用角平分线、垂线得到 90。的角，选择“有三个直角的四边形是矩

10、形”来判定.（2）本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形.类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、（2012? 佳木斯）如图， ABC AB = AC=10, BC=8, AD 平分/ BAC BC于点D,点E为AC的中点，连接 DE,则 CDE周长为（A. 20B. 12C. 14D. 13B【答案】C;【解析】解： AB AC, AD 平分/ BACBC = 8,AD± BC,CD = BD= 1BC=4, 2点E为AC的中点，CL 21 DE=CE= -AC= 5, . CDE周长=CD + DE + CE=4 + 5 + 5 = 14 .【总结升华】本题考查了直

11、角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.举一反三：【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD , AC、BD相交于点O, P是平行四边形 ABCD外一点，且/ APC = /BPD = 90° .求证：平行四边形 ABCD是矩形.解：连接OP .四边形ABCD是平行四边形.AO = CO , BO = DO ,ZAPC = /BPD =90OP= 1AC, OP = 1 BD, 22AC= BD .四边形ABCD是矩形.【巩固练习】一.选择题1 . （2015春？宜兴市校级期中）下列说法中正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩

12、形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.平行四边形的对角线平分一组对角D.矩形的对角线相等且互相平分2 .若矩形对角线相交所成钝角为120。，短边长3.6 cm,则对角线的长为（）.A. 3.6 cmB. 7.2 cmC. 1.8 cmD. 14.4 cm3 .矩形邻边之比3 ：4,对角线长为10cm ,则周长为（）.A.14 cmB.28 cmC.20 cmD.22 cm4.已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中/ 1与/2 一定不相等的是（）5.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（A.测量对角线是否相互平分B.测量

13、两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否都为直角D.测量其中三角形是否都为直角6 .如图， ABC AC的垂直平分线分别交 AC、AB于点D、F, BEX D咬DF的延长线于点E,已知/A= 30BC, = 2, AF = BF,则四边形 BCDE的面积是（）A. 2,3B.3 3C.4D.4.3C二.填空题7 .矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O,/AOB=60° AC=10cm,则 AB=cm , BC=cm .8 .在ABC 中，/C=90° ,AC=5, BC=3,则 AB 边上的中线 CD =9 .如图，矩形纸片 ABCD中，AD =4 cm, A

14、B=10cm,按如图方式折叠，使点 B与点D 重合，折痕为 EF,则DE =cm.10 . （2015?重庆模拟）如图，在矩形 ABCD中，E为BC的中点，且/AED=90AD=10 ,11 .如图，YaBCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若 ACD的面积为3,则图中阴影部分两个三角形的面积和为 12 .如图，RtAABC中，/C=90° AC = BC = 6, E是斜边 AB上任意一点，作 EFLAC于F, EGLBC于G,则矩形 CFEG的周长是 .C G 3三.解答题13 .如图，矩形ABCD的对角线相交于点 O, OF, BC, CE±

15、BD, OE ： BE= 1 ： （3F = 4 , 求/ ADB勺度数和BD的长.14 .如图，在矩形 ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交 DC的延长线于 G, DE± AG于E,且DE = DC,根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论15 . （ 2015?通州区一模）已知菱形 ABCD的对角线 AC与BD相交于点E,点F在BC的延长线上，且CF=BC ,连接DF,点G是DF中点，连接 CG.求证：四边形 ECGD是矩形.【答案与解析】一.选择题1 .【答案】D;【解析】对角线相等的平行四边形是矩形，A不正确； 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，

16、不正确； 平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，不正确； .矩形的对角线互相平分且相等，正确；2 .【答案】B;【解析】直角三角形中，30。所对的边等于斜边的一半.3 .【答案】B;【解析】由勾股定理，可算得邻边长为6 cm和8 cm ,则周长为28 cm .4 .【答案】D ;【解析】/ 2>Z1.5 .【答案】D ;6 .【答案】A;【解析】先证4ADF 0/BEF,则DF为GABC中位线，再证明四边形 BCDE是矩形，BE= 石, 可求面积.二.填空题7 .【答案】5, 5冉；【解析】可证 AOB为等边三角形，AB = AO = CO = BO.348 .【答案】一

17、2一；【解析】由勾股定理算得斜边AB = J34 , CD = 1AB =虐4 .229.【答案】5.8 ;【解析】设 DE= X，贝U AE=AB BE= AB DE = 10 X.在Rt ADEh 由勾股定理可 得 AD2+AE2= DE2,即 42 10 X 2 X2,解得 X=5.8.10 .【答案】5;【解析】.矩形ABCD中，E是BC的中点，AB=CD , BE=CE , / B= / C=90 ° ,可证得ABEA DCSX,AE=DE , . / AED=90DAE=45 ° , ./ BAE=90 ° - Z DAE=45 ° , ./

18、 BEA= Z BAE=45 ° ,AB=BE=AD= X 10=5 .2211 .【答案】3;【解析】根据平行四边形的性质求出AD=BC, DC = AB ,证ADC/CBA,推出ABC的面积是3,求出AC XAE = 6,即可求出阴影部分的面积.12 .【答案】12;【解析】推出四边形 FCGE是矩形，得出FC=EG, FE= CG, EF/ZCG, EG/CA,求出/ BEG=/B,推出EG=BG,同理AF = EF,求出矩形 CFEG的周长是 CF+EF +EG+CG = AC + BC,代入求出即可.三.解答题13 .【解析】解：由矩形的性质可知 OD=OC.又由OE : BE= 1 ：可知E是OD的中点.又因为 CE± OD,根据三线合一可知 OC = CD,即OC=CD = OD,即 OCD1等边三角形，故/CDB= 60 ° .所以/ ADB=