【高考数学培优专题】第26讲以平面向量为背景的取值范围问题专题练习

1、【高考数学培优专题】第二十六讲以平面向量为背景的取值范围问题专题一、选择题 1.已知在平面四边形/BCD中,AB 1 BC , AD 1 CD,乙BAD = 120°, AD = 1, AB = 2,点E为边CD上的动点，则荏厢的最小值为213A5-25A.B.C.-D.164416【答案】C【解析】如图所示，以D为原点，以D4所在的直线为"由，以DC所在的直线为y轴，过点8作8NJLX轴，过点8作BMJLy轴，VAB 1 BC. AD 1 CD,乙B/D = 120。, AD = 1, AB = 2,：.AN =力8cos60。= 1, BN =力8sin60。=於，：.

2、DN = 1 + 1 = 2, :.BM = 2、，CM = MBtan30o =技:DC = DM + MC = 2价,A>1（1,0）, 8（2,福），C（0,2板），设E（0,m）, ：.AE =而=（一2,加一百），0 < m < 2/3,*.AE - BE = 2 + m .已知平 面向量ahc满 足 何=4,网=3汹=2,位、=3 ,则 (a-b)2 (a-c)2 (a -处( 一最大值为()A. 4#+36 B. 477+36C.(4有+ 3 夕丫D.(4"+ 3冏 Vsm = （jn 号 + £当7H=时，取得最小值为京故选C.【答案】D【

3、解析】设双=口丽=A灰'=右，4一6与不一5所成夹角为凡则:=08nAef -|A叫AC cos汨= AB：AC sin26>= ABAC sin2ZCAB=45二8(:，试卷第1页，总23页设8(3,0),C(l,VJ),则忸q ="，故：S OBC = x3x2xsin60J = y/3 ,设 O 至lj 8c 的距离为/?, 22则:3>/33 后.h =27由同=4可知点八落在以。位圆心，4为半径的圆上, 4至IJ BC的距离的最大值为4 + /? = 4 +3，7则A8C的面积的最大值为：1xT7x 4 +浮卜2近十竽故(6/Z?) (a-c)2/?)(

4、«-c)J 最 大 值 为4(24+叫="+3扃I/本题选择。选项.3.已知。为原点，点48的坐标分别是(2«0)和(0,2。)其中常数。0,点P在线段A3上，KAP = /AB(O<r<l),则。40P的最大值为()A. 4a2 B. a2 C. 4。 D. a【答案】A【解析】因为点A, B的坐标分别是(2,0)和(0,2a)所以而=(一%,2a),OA = ( 2a, 0)又由点尸在线段AB上，且AP = tAB = (一2<, 2at)所以。户=。乂 + 4尸=(2t/,0) + (-2r/Z, 2at) = (一2 + 2a ,27 )

5、则。乂 . O户=(2, 0) (2at + 2a, 2at) = -4a2t + a2,当uO时候取最大为4/.故选A.4.设京怎为单位向量，非零向量b=羯+烟"y e R,若格怎的夹角为。，则上的6 b最大值等于()A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】C解析区 l=jY + M + y2只考虑x>0,当且仅当工=-正时取等号。 x 2. L的最大值等于2.b故答案为：2.5 .若向量叶点,叶1同=6，且无/；=0,则必“西的最大值是A. 1 B. >/2 C. /3 D. 3【答案】B【解析】d + B =(M + B) = V5V5cosR + B,q&#

6、171;3 ，选 D.6 .已知在三角形ABC中，AB< AC, ABAC = 90 ,边A及AC的长分别为方程 F-2(l + JJ)x + 46 = 0的两个实数根，若斜边3c上有异于端点的£尸两点，且EF = EAF = 09则tand的取值范围为(V1 46一.3，11B.C.心4小t V,-iTD.，且2出丁，-n-试卷第5贞，总23页【答案】C【解析】有题可知48 = 2, AC = 268C = J6+2 =4.建立如图所示的坐标系，有点A(0,0),8(2,0)©0,2j5).BF=ABC(Ae0,|1b£ =/(2-2X2>/32),

7、E |-22,2>/32 +荏诟=(2 2 兀 2&)«| - 2/1,2& +孝1622-42 + 3 = 16| 2-1 ! + e .9.8； 4 L4 )因为点A到BC边的距离d = ,BC=3-42-3A+422 +1222 +32 =所以务收的面积又因.=：稗孝为定值.j靶处冶AEW ；麻|«用.0$6 225.以.>/3land = _丝=_1 _, eAE4F AEiiAF>/3 4x/3尸TF故选c.7.已知 b是单位向量，a,b = 0.若向量c满足|c - a -b| = 1,则|c|的取值范围是()A. 72-14-

8、1 B. V2 - 1, V2 + 2C. 1,72 + 1 D. l,V2 + 2【答案】A【解析】设a = (1, 0), b = (0, 1), c = (% y),则(x - l)2 + (y - l)2 = 1.设x = 1 + cos a, y = 1 + sina,则 |c| = Jx? + y' = J3 + 2/5sin(a +)故四一1K|M< 夜 + 1,故选A.8 .已知非零向量满足|=2网，且关于X的方程F + I小+ a» = 0有实根，则向 量。与夹角的取值范围是()B.D.7T 一,兀6【答案】B【解析】设与的夹角为°，因为 =

9、 |。一430 ,所以也，4, crb 1cosd = 7r < 卜加2本题选择B选项.9 .在AABC中，N43C = 90°, BC = 6,点尸在BC上，则正声的最小值是()A. -36 B. -9 C. 9 D. 36【答案】B【解 析】 / ZABC = 90. AB2PC = 0, 贝ijPCPA =(PB + BAyPC = PBPC + BAPC= -|pb|pc|>10.设M,MP是单位圆上三点,若MN = 1,则mNMP的最大值为()D. V3c131. 3 B. C, 22【答案】C 【解析】是半径为1的圆上三点，MN = 1, ：.根据余弦定理可知

10、MN边所对的圆心角为60°则Z P =30。MP MN I在<MNP中，根据正弦定理可知=2, MP = 2s加NN.s 加 NN N P s 加 30°_._./T1 A MNMP = 2si/Ncos(1500 /N)= 2si/N - - cosN + -sinN22=一 JJs 加 NNcos/N + s 力/N£%2/N + 2l-cos2/N2试卷第7贞，总23页= -sin| 2N + - + -<-l 6j 2 2丽丽的最大值为故选C.211 .已知两点A(1,1), 8(3,5),点C在曲线y = 2/上运动，则44A3的最小值 为(

11、)C. -2 D.一 121A. 2 B.一2【答案】D【解析】设A(xo,2xj) ,则A8 = (4,4),AC =(入0,2 %广)AB - AC = 8x<： + 4x。= 8 j %)+ 即丽衣的最小值为一，故选D.12 .已知向量。4与O豆的夹角为6, |4| = 2 , |布卜1, OP = tOA9OQ = (-t)OBt 附|在。时取最小值，当0</°q时，cosd的取值范围为1 - 4zrn【答案】D 【解析】解:建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意有：A(2,0),B(cossin(9), 由向量关系可得： 而=/赤=(2八0),而= (1T)砺=

12、 (T)cose,(lT)sin。)则：=| og _ O户卜 27了 +(lT)sin 行整理可得：PQ = (5 + 4cos6>)r-(2 + 4cos)r + l ,满足题意时:(2 + 4cos。) 132(5 + 4cos。) 2 2(4cos8 + 5)据此可得三角不等式:0<-：< 2 2(4cos6 + 5) 4解得：一！vcosCvl，即cose的取值范围是（一！一13 .已知平面向量d, b ,同=1, =2,且ci = l.若d为平面单位向量, 伍+5”的最大值为（）A.氓B. 6 C. V? D. 7【答案】C【解析】（不+ be =cie +b e

13、 <他相篙懵其几何意义为彳在2上的投影的绝对值与日在0上投影的绝对值的和，当?与1 +共线时，取得最大值，（M司+W 矶 =a+b = 浦+ + 2万 B = J7 ,则仅+ B） °的最大值为J7 ,故选C.14.如图在 AA8C 中，N3AC = 120。, 43 = 1,42 = 2,3 为 8C 边上一点（含端点）,DC = 2BD（2>0）,则AZi 3d的最大值为（）B.C. 4D.【答案】D【解 析】 v AB AC = x2cos200 =-,AD = AC + CD = AC + -CBAC + (AB-AC =-L/+ 2荏， 1 + A1 + A1

14、+ 21 + 2.ad.bc=(J_ac+A_ab(ac-ab = -ac2-ab2+-acab = - 1 + /I1 + A /1 + 41 + /I1 + A1 + A,因为aNO,所以一71 + AW5,即丽沅的最大值为5.15.已知点M是边长为2的正方形ABC。的内切圆内(含边界)一动点，贝 的取值范围是()A. 1,0 B. 1,2 C. 1,3 D. 1,4【答案】C【解析】试题分析：建立坐标系如图所示，设例(x,y),其中4(1,1),易知炉+),241,而加.标=(工+ 1,)，+1)(工-1,)，+ 1) = /+(，+ 1-1,若设 E(0,-l),则苏痂=|腔一1,由于

15、04|A/E|«2,所以宓该=|"同21的 取值范围是1,3,故选c.16.已知凡5为单位向量，且向量巳满足1+不+5 =3,则向的取值范围为c. - D. 1-T建立如图所示平面直角坐标系，设P(cost,sint),M(09,N(m, 0),则PM = (-cost, -sint), PN = (m cost, sint),故PM - PN = 1 (sint + mcost),因为0 < m < 1,所 以 PM - PN = 1 - (Jsint + mcost) > 1 (sint + cost)：又因为 1 (J-sint + cost)= 1

16、 J+ lsin(t + /) = 1 sin(t + w)(tan# = 2), 所以 1 (：sint + cost) = 1 ysin(t + <p) > 1 y (当且仅当sin(t+ (p) = 1取等号)，应选答案Do 二、填空题18.在直角梯形A8cMl AB 1 AD. DCIIAB, AD = CD = L AB = 2, E,F 分别为AB 4C的中点，设以A为圆心，AO为半径的圆弧上的动点为尸（如图 所示），则Q方的取值范围是【答案】【解析】以A为原点，以AB为x轴，以AD为y轴建立平面直角坐标系，设试卷第11页，总23页/pae=9A尸=(cos。,sin。

17、),PF =二一 cos6,sinJ122AP - PF = cosO 二一cosC (2+sin8 sin 612=sin6 + cos8-l =22sin(e + 8)-l，(其中夕为锐角，tan。= 3 )，当sin(夕+9) = 1时，Q所取得最大值芈-1,当 P在。点位置时0 = -, APPF 取最小值2 sin + <p- = -cos(p-= - x-=- = -=-，则Q苏的取212 yJ22 M 22 值范围19.定义域为。,句的函数)，= f(x)的图象的两个端点为4, B, 乂(%/)是/(久)图象上的 任意一点,其中x = /la+(l-/l)b(/lR),向量

18、加=2次+(1-/1)5,其中。是 坐标原点若不等式I MN I < k恒成立，则称函数“X)在a,如上“k阶线性近似”.若y =在1,2上“左阶线性近似”，则实数左的取值范围是.【答案】；-VX+8)【解析】由题意知a = 1, b = 2,A(l,2), 8(2,.直线的方程为y = ；% +1：,: Xyf = 2 + 2(1 - A) 2 AON = A(l,2) + (1 - A)(2,1) = (2-A,1-)：N两点的横坐标相同，且点A在直线相上；T11Q%*1 Q MN = yM-yN = X + -x- = - + -,3 + ：2=2, x =2时取“=”：乂方 &l

19、t;I 而 1 = 1 >/要使|而I 恒成立，A的取值范围是A之：一心.故答案为：停一战+8）.20.在zMBC中，。是BC的中点，”是4D的中点，过点”作一直线MN分别与逆48,/C交于M,N,若力M = x nB, AN = y - AC,贝k + 4y的最小值是.【答案】:4【解析】试卷第12页,总23页/8C中，D为BC边的中点，”为/D的中点，且俞=xABf AN = yAC9,.AH = AM + MH = xAB + MH = AD =久乐 + 就）,a MW = （：一4）而 + 夕, 同理，布=q赤+ &-y）前, 又抽与话共线，二存在实数A,使MH =<

20、; 0）,即（»%）石+浑=用石+（»,）码,% = £（1-2）X4- 4y = - （1 - A） + j=t+»江2nl正1+鸿当且仅当;1 = 一2时，成立，故答案为三 421.已知点力（4,0）,。为原点，对于圆O：x 1 n % = -X + y2 = 4上的任意一点P,直线1： y = kx - 1上总存在点。满足条件加+方=2衣，则实数*的取值范围是.【答案】。局【解析】根据题意，P是圆。：/+f=4上任意一点, 可设 P(2cos8,2sin6),若点Q满足条件5?+5? = 2&，则Q是P4的中点，则Q的坐标为(2 + cos

21、6,sin。)，若Q 在直线l：y = kx 1上，则sin6 = k(2 + cos。)一 1,变形可得 =sin0+l2+cos。试卷第21页，总23页即k表示单位圆上的点(cos。, sin。)与点M(-2,-1)连线的斜率，设过点M的直线y - 1 = k(x + 2)与圆/ +产=1相切,则有2H =1,解可得k = o或士， 3则有0 萼：，即2的取值范围为O，：，故答案为0力. Z+cos C7 33322.如图，向量5sd. 55, 0A =2, OB = 19尸是以。为圆心、|55 I为半径的圆弧衣上的动点，若=+ 则加的最大值是.【答案】1【解析】因为刀J.方，|加| =

22、2, |加| = 1, 所以乔=4,052 = lfOAOB = 0.因为P为圆上，所以0P=4, OP = mOA + nOBf OP = (mOA + nOB)2, 4 = 47n2 + n2, 4m2 +n2 > 4mn, 4mn < 4, mn < 1,故答案为1.23 .在般 中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,若(2a - c)及J前;c不%且 |b7-bc|=2,则aabc面积的最大值为【答案】西【解析】/ (2a - c)前前二c而石，可化为：(2a-c) BA " BCcosB = cCB 'CAcosC,即：(2a-c) ca

23、cosB=cabcosC,( 2a-c) cosB=bcosC,根据正弦定理有(2sinA-sinC) cosB=sinBcosC».2sinAcosB=sin (C+B),即 2sinAcosB=sinA»VsinA>0,cosB =-，即B =-： 239：BA-BC = 2, a CA = 2 ,即 b?=4,根据余弦定理 b2=a2+c-2accosB>可得 4=a2+c2-ac> 由基本不等式可知 4=a2+c2-ac2ac-ac=ac,即 acW4,AABC 的面积 S = -acsinB <iX4X =V3， 222即当a二c二2时，A

24、ABC的而积的最大值为趣.故答案为：V3.24 .已知点4(一1,0), 8(1,0)和圆C: (x - 3-+ (y - 4)2 = 4上的动点P,则质否用死 的取值范围是.【答案】2店,10【解析】设已知圆的圆心为C,由己知可得55 = (-1,0),0B = (1,0),：.OA + OB = OfOA-'OB = -1,又由中点公式得港+而=2而，所以：|囤2 + 国2 =(网 + 画)2 _之网.阐=(2Pdy + 2(04 - 0Py(0A + 0P)=2|函 2 + 2,又因为而=(3,4),点P在圆什3>+(y4>=4上，所以|而| = 2,且赤=3? +而

25、, 所以|五|一|而| < op = |oc + cp| < oc + |cp|,即3 < 0P < 7,故20 < PA + |PBp = 2OP + 2 < 100,所以旧4P十IP外的最大值为100,最小值为20.J|P*2+|ps|2的取值范围是2后,10.25.如图，在梯形力8CD中，AB/CD9 AB = 49 AD = 39 CD = 2. M是线段力。上一点, （可与4 D重合），若就嬴=-3,则函而的取值范围是.【答案】-5,8【解析】设病=AADfA G 0,1, .BM = AM-AB= AAD-AB. AC =AD + DC = AD

26、 + AB ,嬴就=(AAD - AB) (AD + A5) = AAD2 - AB2 +- 1)赤布 =9A-8 + (9l)而.而=-3,.诟荏=2 登=一2(9 + 怒) -5,8，故答案为-5,8.26.在 ABC中，D为AB的中点，若2床弑=3而左，贝!JtanA + tanB + tanC的最 小值是.【答案】竽.【解析】根据D为AB的中点，若2丽沃=3丽而，得到石(EJ +万)=3而就, 化简整理得瓦J BC = 4AB - AC,即cacosB = 4cbcosA.根据正弦定理可得sin/cosB = 4sinBcosAt进一步求得taiX = 4tan8, 所以 tanA +

27、 tanB + tanC = tan4 + tanB tan4+tanBl-tan>ltanB广人 门 StanB -20tan【答案】4/2-2【解析】V/i： mx - y - 3?+1=0 与 /2： 少-3， - 1=0»./i_L，2,八过定点(3, 1) , /2过定点(1，3),点尸的轨迹方程为圆(x-2) 2+ (y-2)三2,作垂直线段 CQLAB, CD=2Z- (>J3) 2=1,所以点D的轨迹为(x + iy + (y + I)2 = 1.则 | 记J + 方 | = |正+ QJ+正 + 而| = 2PC + CD = 2|彷因为圆P和圆D的圆心

28、距为J(2 + 1)2 + (2 + 1)2 = 3后> 1 +夜, 所以两圆外离，所以IPDI最小值为3企- 1-V1 = 2夜一 1,所以|55 +两的最小值为472 - 2.故答案为：4七-2.28.如图，已知同形力。8的弧长为呼右 半径为4心，点C在魄48上运动，且点C不与 点4 8重合，则四边形。4cB面积的最大值为B=5tanB-=-l-4tan-B l-4tan-B求导可得当tanB = ?时，式子取得最大值，代入求得其结果为 20X 乎 1SV31-4X- 4故答案为苧. 427.已知kmx - y - 3m + 1 =。与+my - 3m - 1 = 0相交于点P,线段

29、48是圆0C:(x + l)2 + (y+ 1>=4的一条动弦，且|力8| = 2於，贝!) I五J +而I的最小值是【答案】16V3【解析】己知扇形力。8的弧长为尊妹 半径为4右，所以乙力。8=?。 33由三角形的面积公式可知 SA。" = sinAOC XOAXOC = 16sinAOC , SA0CF = sinZLBOC X 08 X OC = 16sm480c , 所以四边形。力CB 面积为 Soca + ocb = 16(s讥乙40C + sin乙BOC),因为乙40C +乙BOC =乙AOB =,所以480c =-"乙40C, 由此四边形0月CB而积为S

30、a。+ Saocb = 16 (sm乙40C +sin (4一乙力oc) = 16 (-sin/AOC + cosZ-AOcy = 16V3sin(Zi4OC + -) , Z.AOC G (0, ) , AOC + 22/63M (3萼，所以最大值为166，当乙40C = g时取等号。 666329.若zMBC中，AB = >/2fBC = 8fB = 4S°9。为448c所在平面内一点且满足(四 丽)(就诟)=4,则长度的最小值为.【答案】2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，B(-1,-1),C(7,-1),设D(%,y),所以0B = (-1,-1),AC =

31、 (7,-1),AD = (%,y),所以(力8 AD) (AC - AD) = ("% - y)(7x y) = 4»即(x + y)(y-7幻=4, 令则":")，所以 mn=4, 丁y = -(7m + n)所以力 D = y/x2 + y2 = 1/(m n)2 + (7m + n)2 = 50m2 + 2n2 + 12mn=>/25m2 + n2 + 24 > /10mn + 24 = 88当且仅当57n = n = ±2退时，AD取得最小值VIt（第垣题）30.如图，棱形A8CD的边长为2,乙4 = 60。, M为DC的

32、中点，若N为菱形内任意一点 （含边界），则病,而的最大值为.【答案】9【解析】如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2,乙4=60°, M为DC的中点，故点/(0,0),则 8 (2,0), C(3,於),D (1,於),M (2, V3),设N(x,y), N为菱形内(包括边界)一动点，对应的平面区域即为菱形ABCD及其内部区域.因为病=(2,亚,丽=(%y),则,俞= 2x + by,令z = 2x+百y,则、=一生"+"z,由图像可得当目标函数z = 2x + V5y过点C(3,於)时，z =取得最大值

33、，此时Z = 2X3 + VXV? = 9,故答案为9.31.在44BC中= 3AC = 9,AC -AB=AC2,点P是4nBC所在平面内一点，则当回52 + 而2十记2取得最小值时，港而=.【答案】24.【解析】由就.诟=就2,得|就|丽|COS力=|就广,AB cosA = AC = 3,就工就,即NC = J 2以C为坐标原点建立如图所示的坐标系，则力（3,0）,8（0,6夜），设P（X,y）,则记J2 + 诟2 +就2 =（4 3）2 + y2 + %2 + （y - 6何？ +x2 +y2=3x2 -6x + 3y2 - 1275y + 81=3 (% - l)2 + (y - 2

34、夜 J + 18卜:.当X = lfy = 22时取得最小值，此时p(l,2/可，则EJ 而=(2, 2夜)(0, 6夜)=24,故答案为24.32 . 故力8c中，。为的中点，力C = 2CD = 4/力8C的面积为6,BE 1 CD且BE交CD于 点E,将48CD沿C。翻折,翻折过程中，力。与8E所成角的余弦值取值范围是一.【答案】局【解析】如图所示，根据题意，过力作CD的垂线,垂足为F,过8作。的垂线，垂足为E,由题力C = 2CD = 4/8C的面积为6,Sacd = iAF - CD = 3, /. BE =AF = 3 ,设靛，前的夹角为6,藁就=VE -（AF + 'FC

35、）= BE -AF=> 9 < 12cos6 < 9 = K cos6 < 故C与BE所成角的余弦值取值范围是匠 即答案为33 .如图，在边长为1的正方形A3CD中，E为A3的中点，尸为以A为圆心，AB为 半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，则布丽的取值范围是若向量获=WE + 而，贝必+ 的最小值为.【答案】0I【解析】如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，结合题意，可知 力(0,0),B(l,0),P(sina,cosa)(a G 0,口)，所以力P BP = (cosa,sina) (cosa 1,sina) =cosa(cos

36、a - 1) + sina - sina = cos2a - cosa + sin2a = 1 - cosa, 因为a W 0, 口，所以cosaW 0,1,所以1-cosaW 0,1,所以而丽的范围是0闵:根据就=2族 + 而，可得(1,1) =/l(j-1)+(cosa,sina),即11 = -A+ iicosa 从 ,1 = -2 + ixsina而可以求得;I =2sin0-2cos0sin0+2cos0 sin0+2cos02sin0-2cos0+3sin0+2cos0因为e G 0,勺，所以sin。G O4,cos0 G 0,1,所以当cos。取得最大值1时，同时sin。取 得最

37、小值0,这时；1 +取得最小值为、詈=也所以2 +的最小值是34 .已知2, 3是两个单位向量，而|2|=71力a-b = f c - a = 19 c -b = 29则对于任意实数5匕 花一忘一3|的最小值是.【答案】3【解析】|c 11a t2b2 = c2 + ta2 + 122b2 2tl2 c 2t2b * c + 2t1t2a - bt _ 23=13 + t12 + t22 2tl 4t2 + "2 = & + z)2 + 7(tz 2)2 + 9 > 9 乙*当且仅当廿2, t广0时取等号，即归一近23的最小值是3.35 .如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧 上的