【教师必备】小学奥数4-3-2三角形等高模型与鸟头模型(二).专项检测及答案解析

1、4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型4-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page 17 of 11明蚱 例题精讲板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底父高小2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大 （小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大 （小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时， 它的底和高之中至少有一个要发生变化. 但是，当三角形的 底和高同时发生变化时， 三角形的面积不一定变化. 比如当高变为原来的 3倍，底变为原来 的1 ,则三角形面积与原来的一样. 这就是说

2、：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和3底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图S :弓三a：b夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图Saacd =SABCD ；AA ACDAA BCD反之，如果SaACD =SaBCD ,则可知直线 AB平行于CD .ACD BCD等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；三角形面积等于与

3、它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于 它们的高之比.板块二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在 4ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 （或D在BA的延长线上，E在AC上），则 Sa ABC : SA ade =（AB AC）： （AD AE）D【例1】 如图在4ABC中，D,E分别是AB, AC上的点,且 AD:AB = 2:5 , AE:AC=4:7 ,Skade =16平方厘米，求 4ABC的面积.【考点】

4、三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答【解析】 连接 BE , Sa ade ：Sa abe =AD : AB =2:5 = （2 M 4） :（5 M 4）,SA ABE : SA ABC= AE:AC =4:7=（4父5）:（7父5）, 所以 SAa d：Sa斤B（C2 4）:（, 设Saade =8份，则Saabc =35份，Saade =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70 平方厘米，4ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角 三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.【答案】70【巩固】如图，三角形 ABC中，AB是AD

5、的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形 ADE的 面积等于1,那么三角形 ABC的面积是多少？【解析】连接BE .EC =3AE- SLABC =3S_ABE又 AB=5ADS|_|ADE =S_abe 丁5 = S abc _15 ,S ABC =15S ade =15 .【答案】15【题型】解答【巩固】如图，三角形ABO分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4, BE=3, AE = 6 , 乙部分面积是甲部分面积的几倍？A【难度】2星A【考点】三角形的鸟头模型【解析】连接AD .BE =3 , AE =6 ，AB=3BE, Sabd =3Sbde又 BD =DC=4, SjABC =

6、2S_ABD , 1- SjABC =6S_ BDE ,【答案】5例2 如图在 ABC中，D在BA的延长线上， E在AC上，且AB: AD = 5: 2 , AE:EC=3:2, SA ADE=12平方厘米，求 ABC的面积.中阴影部分）的面积为8平方厘米.【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答【解析】 连接FB.三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】 连接 BE , Sade : SAABE =AD : AB =2:5 =（2父3）:（5父3）Saabe：SL abc =AE：AC =3: （3+

7、2） =（3 父 5）: （3+2）父5 ,所以 Saade :Sabc =（3M2）: 5M（3+2） = 6:25 ,设 SAE =6份，则 SABC =25份，SAADE =12 平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米， ABC的面积是50平方厘米.由 此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角） 两夹边的乘积之比【答案】50例3如图所示，在平行四边形 ABC珅，E为AB的中点，AF=2CF,三角形AFE图平行四边形的面积是多少平方厘米?AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边 形的面积是三角形

8、ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形 AFE面积的（3父2） =6倍.因此，平行四边形的面积为8M6 = 48（平方厘米）.【答案】48例 4 已知 4DEF的面积为7平方厘米， BE =CE,AD =2BD,CF =3AF ,求 ABC的 面积.A【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】 Sbde ：SAabc =(BD MBE) ：(BAMBC) =(1m1)：(2m3)=1:6 ,SACEF : SAABC =(CE CF):(CB CA) =(1 3): (2 4) =3:8SAADF : SAABC =(AD AF):(AB AC) =(2 1): (3 4

9、) =1:6设 S/ abc24 份,则Sa bde4 份,Sa adf 4 份,Sacef 9 份，Sa def =24449 = 7 份,恰好是7平方厘米，所以SAabc =24平方厘米【答案】24例5如图16-4,已知.AE=1 AC, CD=1 BC, BF=1 AB,那么f DEF?吗等 二角形ABC的面积有4ABE ABC的高相等，面积比为底的比，则有S ABESABCAE所以S ABEAEAC于多少？【考点】三角形的鸟头模型【关键词】迎春杯，决赛，第一题， 9题【解析】 如下图，连接AD BE, CF.X SABC =- SABC5同理有Saef =AFAB1S ABE，即=S

10、AEF =一5ABC = SABC .614 -类似的还可以得到 SCDE = x S 45ABC =- SLabc , SBDF511=- X -63AB。 SABC8所以有 S def =S-ABC -( S AEF +S_CDE + S BDF )=(1-8)S61ABC =120SABC .即为更二角形ABC的面积 120【答案】列120例6如图，三角形ABC的面积为 三角形BDE的面积是多少？3 平方厘米，其中 AB:BE=2:5, BC:CD=3:2,【考点】三角形的鸟头模型【解析】由于/ABC+/DBEBE =5 份，BD=3+2=5份，由共角定理D2星【题型】解答=180 ,所

11、以可以用共角定理，设 AB=2份，BC = 3份，则7 ABC : SABDE =(AB XBC) : (BE x BD) = (2 父3): (5 x 5) = 6: 25 ,设 区ABC =6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25黑0.5=12.5平方厘米，三角形 BDE的面积是12.5平方厘米【答案】12.51【例7】 如图所不，正万形 ABCD边长为6厘米，AE=AC, 3CF1-=BC ,三角形DEF3平方厘米.的面积为【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【关键词】走美杯，五年级，初赛112【斛析】 由题后口 AE =-AC、CF =BC ,可得C

12、E =AC ,根据共角定理”可得,SACEFSAC E F:SAABC =(CF MCE):(CBMAC)=(1M2 3M3) =2:9 ；而 SAabc=6父6T 2= 18所以=4 ；同理信,S/ cde : S ACD = 2 :3 ; , SACDE =18 ,3父2=12 , S/cdf =6故 S/ DEF SACEF +SA DEC SADFC =4 +12 6 =1。(平方厘米).【答案】10例8如图，已知三角形 ABC面积为1 ,延长AB至D ,使BD =AB ;延长BC至E ,使CE =2BC ;延长CA至F ,使AF =3AC ,求三角形 DEF的面积.【考点】三角形的鸟

13、头模型【难度】3星【解析】（法1）本题是性质的反复使用.连接AE、CD ./ W，SABC =1，S DBC -SJDBC =1 同理可得其它，最后三角形DEF的面积=18.(法2)用共角定理:在|_ABC和|_CFE中，/ACB与/FCE互补,. S ABC _ AC，BC _ 1x1 _1S FCE - FC CE 442 一8 .I_厂Lz匚又 SABC =1 ,所以 S FCE =8 .同理可得 SADF =6 , SbDE =3.所以 SJDEF =|_EAHSFCG =6 S ABD S BCD连接AC, AF, HC,还可得 ABC +S FCE +SADF +SBDE =1 +

14、8 +6 +3=18 .【答案】18 -G解答【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星 【题型】例9如图，把四边形 ABCD勺各边者B延长2倍，得到一个新四边形 EFGHfe果ABCD勺 面积是5平方厘米，则 EFGH勺面积是多少平方厘米 ？【解析】方法一：如下图，连接 BD ED, BG有 EAD同理SEAHGEADB同高，所以面积比为底的比，有AHAD的SEADSEADEAABS ABD2S ABD 3 3s EAD = 6 SABD SFCG = 6s BCD ,) = 6Sabcd =30平方厘米.S EFB =6SABC , S DHG = 6S ACD ,有 S|_EFB * SDHG

15、 =6(SABC * SACD ) = 6SABCD =30 平方厘米 .DH有四边形 EFGH的面积为U EAH,U FCG,U EFB, U DHG,ABCD的面积和，即为 30+30+5=65（平方厘米.）方法二：连接 BD,有 LEAH、4ABD 中 / EAD+Z BAD=180又夹成两角的边 EA AH, AB AD的乘积比，EA-AH =2X 3=6,所以S EAH =6SABD .AB ADG类似的,还可S S fcg =6 S BCD ,有 S Ad + S FCG =6( S ABD + S BCD )=6 SABCD =30 平方厘米连接AC,还可得SLefb=6Sabc

16、，有 S EFB + S DHG =6( SABCR FCG EFR+ Sacd)=6Sabcd =30 平方厘米.S DHG =6 S ACD，有四边形EFGH勺面积为八EAH 即为30+30+5=65平方厘米.【答案】65G DHG ABCD勺面积和,【例10如图，平行四边形ABCD,BE=AB, CF=2CB, GD =3DC , HA = 4AD,平三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答行四边形ABCD的面积是2,求平行四边形 ABCD与四边形EFGH的面积比.H连接AC、BD .根据共角定理在 4ABC 和 ABFE 中，ZABC 与/FBE 互补, .Sa ABC AB BC 1

17、 11AFBE =3 SAfbeBE BF又SAABC =1 ,所以S同理可得 SaGCF =8 , & DHG =15, Sa AEH所以所以SEFGH = SA AEH SABCD _ 2 _ SEFGH 36, SACFG SADHG - SA BEF1=8 .+ SABCD =8+8+15+3+2 =36 .18118【例11如图，四边形EFGH 的面积是 66平方米， EA=AB, CB = BF , DC=CG,HD=DA,求四边形ABCD的面积.【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】 连接BD.由共角定理得S bcd : SACGF =(CDxCB)：(CG x

18、CF) =1： 2 ,即Sac g f=2S c d b同理 SA ABD ：SZAHE =1： 【例13如图，在4ABC中，延长AB至D ,使BD = AB ,延长BC至E ,使CE =1 BC , F是AC的中点，若 4ABC的面积是2 ,则ADEF的面积是多少？ ,即 SA AHE - 2SAABD所以 SA AHE SACGF - 2(SACBD SA ADB )-2Sg边形 ABCD连接AC ,同理可以得到SADHG +SABEF =2S四边形ABCDS3边形 EFGH - SA AHE SACGF SAHDG SA BEF SI边形 ABCD =5SH边形ABCD所以Sg边形ABC

19、D =6625=13.2平方米【答案】13.2 【例12如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点 E、F、G、H ,若四边形ABCD的面积为5,则四边形EFGH的面积是【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答 【解析】连接AC、BD.由于 BE =2AB , BF =2BC ,于是 Sef =4Sbc ,同理 S出dg =4S4dc .于7S BEF S HDG -4S ABC 4S,ADC =4Sabcd .再由于 AE =3AB , AH =3AD ,于是 Seh =9S自bd ,同理 S&fg =9Sbd .是 SAeh *S&fg =9S&bd +9

20、S百bd =9Sabcd .那么SEFGH= SBEFS.HDG . S AEH S.CFG -SABCD =4SABCD . 9Sabcd - Sabcd =12Sabcd =60【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星 【题型】解答【解析】二.在4ABC和4CFE中，/ACB与/FCE互补， SA ABCSA FCE 又 S ABCAC BC 2 2 4FC CE 1 11=2 ,所以 SFCE =0.5 .同理可得 Sa adf = 2 , Sa bde = 3 -所以 SA DEF = SA ABC SACEF SA DEB ADF =2 - 0.53 2 =3.5【答案】3.5【例14如

21、图,BC=5BD, AC=4EC, DG=GS = SE, AF = FG .求 SFGS SA ABC 1，【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边工10长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的 3种 情况.最后求得SA FGS的面积为SA fgsJmmZJJ 5 4 3 2 2【答案】-10【例15如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是因为Sa bcfABG的面积是多

22、少平方厘米?BF的中点，三角形三角形的鸟头模型连接AF、EG -_12【难度】4星=Sa cde =- 8 =164,根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”S AEF =8 , S EFG 8 , 再根据当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”至U S BFC =16, SABFE =32 ，SABF = 24,所以SABG =12平方厘米.【答案】12【例16】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.H A【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ,则MGF与ACEH都是正三角形.假设正六边形白勺边长为为 a ,则AGFF与隙EH的边长都是4a ,所以大正三角形