三点共线向量表示及其性质应用

1、平面内三点共线的向量表示及其性质应用本文给出了三点共线向量表示的证法探究，以启迪思维和拓展思路之目的，另外又给出了三点共线向 量表示在解题中的应用。C在直线AB上，则存在实数例题：如图，A, B, C是平面内三个点， P是平面内任意一点，若点,使得 PC= PA+ (1-) PB .证法探究：分析：初看欲证目标，始感实难下手。我们不妨从结论出发探寻线路，欲证 PC = PA+ (1-) PB,只需证PC= PA + PB- PB PC - PB= (PA-PB)BC = BA BC / BA.这样证明思路有了。证法：向量 BC 与向量 BA 共线，BC = BA ,即 PC - PB =(PA

2、-PB )PC= PA+PB- PB,.PC= PA+ (1-) PB.证毕，再思考一下实数的几何意义究竟如何。考察向量等式 BC = BA,结合图形，易知，当点 C在线段AB上时，则BC与BA同向，有0w W1；当点C在线段AB延长线上时，则 BC与BA反向， 有 <0;当点C在线段BA延长线上时，则 BC与BA同向，有 >1.此例题逆命题亦成立，即已知A, B , C是平面内三个点，P是平面内任意一点， 若存在实数 ，有PC= PA+ PB, 且 + =1,则A, B , C三点共线.故此逆命题可作三点共线判定方法。为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下：性质1：已知A, B

3、, C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若 A, B, C三点共线，则存在实数，使得 PC= PA+ (1-) pB.或叙述为：已知A, B, C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若 A, B, C三点共线，则存在实数，,使得 PC = PA+ PB,则有 + =1.性质2：已知 A, B, C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存在实数，有PC= PA+ PB,且=1,则A, B , C三点共线.三点共线性质在解题中的应用:例1.如图，在 ABC中，点。是BC的中点，过点。的直线分别交直线 AB、AC于不同/ 的两点 M、N ,若 AB = mAM , AC=nAN ,则 m n 的值

4、为./解析：连结 AO,因为点O是BC的中点，所以有 AO=1AB 1C = lmAMnAN,又 J/。C2222上1 1,因为M、O、N三点共线，所以一m n 1,故m n 2.2 2 I CO I 1点评：因为点 O是BC的中点，所以 =上= ,由性质1, =1-ICB I 2例2 （湖北省2011届高三八校第一次联考）如图 2,在4ABC中,的一点，若aP mAB AC,则实数m的值为（）11A. -11B.-11AP11C.D.1111 B, P,N224AN1111简便求出m n的值. I-NC，点P是BC上38 ,3一m 1 m ,故选 C1111例3 （广东省2015届高三六校联

5、考）所示：点G是 OAB的重心,P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线.设OP11xOA, OQ yOB,证明：-,是定值;x y证明：二因为G是1OAB的重心,OP xOAOA 1OPO OQ yOB1 r（OA 2oG 1（oa oB）1（1oP 1OQ） OG -1OP33 x y3x 3y又：P,G,Q三点共线，1- - 33x 3y x y工为定值3x y例4 .如图，在 ABC中，OC1OA, oD 1OB, 42AD与BC交于M点，设OA a,OB b.（I）用a , b表示OM ；（n ）在已知线段 AC上取一点 E ,在线段 BD上取一点F ,使EF过点M .

6、设OE pOA ,OF qOB .求证：上 3 i.7 P 7q解析：(i)因为B、M、C三点共线，所以存在实数 m使得OM = mOC (1 m)OB11=m -OA (1 m)OB =-ma (1 m)b ；又因为 A、M、D三点共线，所以存在实数 n使得 4414_ m- m n,m ,OM =nOA (1 n)OD = na -(1 n)b 由于a , b不共线，所以有 4解得， 72.1%、11m - (1 n),n - -271 _3 _故 OM = -ab77(n)因为E、M、F三点共线，所以存在实数使彳#OM = OE (1 )OF1f-p ,13=pa (1 )qb.结合(i

7、),易得出7 消去得，1.“ 、37p 7q(1 )q 7,点评：本题是以a, b作为一组基底，其他向量都由它们线性表示.解(I)中的实数 m , n的几何|BM | 4 |DM | 1意义为：m =' , 1 =- , n" _, i =,|BC | 7|DA| 7m , n e(0, 1)；解(n)中的实数|FM |= 1 |FE| 7Pm, Q在线段AD与BQ共线,=0,解得1 n 1 (1)(m 1)n(m 1)(n 1)AP例5.如图，平行四边形 ABCD中，点P在线段AB上，且2PPB,一 AQ-PR，一上，且上 n BQ与CP相交于点R,求的值.QDRCPR P

8、RAP解析：设= ，则 =,BR= BC+(1-) BP .因为 m,所以BP 1 BA，RC PC 111PBm 111 且 BR= BC + - BA .11 m 1又也 n,.AQ AD =BC , BQ BA AQ , IP BQBC BA .又 BRQDn 1 n 1n 1点评：我们先要确定好一组基底BA,BC ,看准BR, BQ如何由它们线性表示；而欲求目标数值，因P,R,C三点共线，中途要以 BP,BC作基底，BR由它们线性表出时，分析清楚该两基底系数所表示的几何意义,由性质1,得BR = BC+ (1-)BP;最终BR与BQ都得转化到由BA,BC两基底线性表示, 11此时容易由

9、共线向量性质列出等式，从而求出结果.例6 （汕头市东山中学2014届高三第二次模拟考试）所示，在平行四边形 ABCD中,AB, aF3A 24 14A. - a b771AD,CE与BF相交于G点，记扁 42 4 3/3-1 1，b. a b c. a b d.7777,AD b,4H 24a b77则tG分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题,所以我们很容易联想到点F、G B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。解：E,G,CIaG xAE三点共线,（1 x）AC由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数AE 1 AB 1a , AC a 3x使得aG x

10、 1a（1 x）（a b） 32x 1（1 T）a （1 x）b又 F,G,B三点共线，由平面内三点共线定理可得:存在唯一的一对实数使得aG aB （i ）aFaAF aD ibtG（1）1b4由两式可得：142x36737tG1b7点评：本题的解法中由两组三点共线（G B以及E,G,C三点在一条直线上）平面内三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本题的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。例 6 的变式一：在三角形 ABC 中,AM： AB=1： 3,AN : AC=1： 4,BN 与 CM相交于点P,且AB a , AC b ,试用a、b表示AP解：（N,P,B三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一对实数x,y使得aP xAB11 .AN： AC=1： 4, AN AC b 44,x y 1,AP xAb -AC xa44使得又；C,P,M三点共线，Ap AM AC,由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数. AM： AB=1： 3-1 1AM 一 AB - a , 33JT62 一11 Jra3 一11y 1yX if 3712H X 4b3 '4a 1 X4 3X1 1 4bJra-3由两式可得:例6的变式二：直线l过口 ABCD勺两条又t角线AC与BD的交点。，与AD边交于点N,与AB的延长线交于点ML又知=m