线性代数与解析几何：第2章 矩阵1

1、 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211（2）元素都是实数的矩阵称为）元素都是实数的矩阵称为，元素有复数的，元素有复数的例例 如如,012425893421.5315890321 或或 ( aij ) .矩阵称为矩阵称为表示矩阵表示矩阵.（3）常用大写黑体字母常用大写黑体字母,CBAnm 一个一个矩阵矩阵，可简记为可简记为nmijnmaAA )(4) 矩阵和行列式的区别矩阵和行列式的区别? 称为称为行矩阵行矩阵只有一行的矩阵只有一行的矩阵),(21naaaA 或或行向量行向量.称为称为列矩阵列矩阵或或列向量列向量.只有一列

2、的矩阵只有一列的矩阵Bnbbb21如果两个矩阵的行数相同与列数相同，如果两个矩阵的行数相同与列数相同，同型矩阵同型矩阵.则称它们是则称它们是652413.fedcba与与 例如例如 如果如果 m n 零矩阵记为零矩阵记为 m n 元素都是零的矩阵称为元素都是零的矩阵称为零矩阵。零矩阵。 行数和列数都等于行数和列数都等于n的矩阵称为的矩阵称为n阶矩阵阶矩阵或或n阶阶 规定规定1阶方阵（阶方阵（a）=a 11221tr( ).nnniiiAaaaa nnaaaA2211的方阵称为的方阵称为主对角线之外的元素全为零主对角线之外的元素全为零 对角矩阵常记为对角矩阵常记为 A = 主对角线上的元素全为主

3、对角线上的元素全为 1 的对角矩阵称为的对角矩阵称为.111E简记为简记为 E ，即，即 nccc（c 为常数）为常数）.主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为. 主对角线下主对角线下 (上上) 方的元素全为零的方阵称为方的元素全为零的方阵称为上（下）上（下）,22211211nnnnaaaaaa.21222111nnnnaaaaaa111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab定义定义 设有两个设有两个mn 矩阵矩阵 A=(aij)和和B=（bij），），那么矩阵那么矩阵 A 与矩阵与矩阵B

4、的加法记作的加法记作A+B , 规定为规定为（1 1）矩阵的加法）矩阵的加法4、矩阵的运算矩阵的运算注：注：只有当两个矩阵是只有当两个矩阵是同型矩阵同型矩阵时，才能进行加法运算时，才能进行加法运算.运算规律 （设 ， ， ,O都是 矩阵）ABCm n.A BBA()().A BCAB C()0.AA 其中其中 ， 称为矩阵称为矩阵 的的负矩阵负矩阵. ijAa AA.ABAB 规定规定矩阵的减法矩阵的减法为为定义定义 以数以数 乘以矩阵乘以矩阵A=( aij ) ,记作记作A,（2 2）矩阵的数乘矩阵的数乘规定为规定为（1 1）矩阵的加法）矩阵的加法 A+O=A.交换律交换律结合律结合律111

5、212122212nnmmmnaaaaaaAaaa运算规律运算规律( (设设 ， 都是都是 矩阵，矩阵， 是数是数) )A Bm n, .AA .AAA.ABAB注：矩阵的加法运注：矩阵的加法运算与数乘运算统称算与数乘运算统称为矩阵的线性运算。为矩阵的线性运算。（2 2）矩阵的数乘矩阵的数乘 1A=A.分配律分配律结合律结合律000.AA或者规定规定:矩阵矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积是一个的乘积是一个 矩阵矩阵ABm n ijm nCc1 12 2ijijijis sjca ba ba b（3 3）矩阵的乘法）矩阵的乘法ijm sAa ijs nBb定义 设 ，其中其中.CAB并记作并记作1(1

6、,2,;1,2, )sikkjka bim jn矩阵矩阵C C的第的第 行第行第 列的元列的元 就是就是 的第的第 行与行与 的第的第 列对应元素乘积之和。列对应元素乘积之和。ijijcAiBj故故 121113121430415003112101ABC. 5 671026 2 17 10例例,415003112101 A121113121430B（3 3）矩阵的乘法）矩阵的乘法例例设设),4 , 0 , 1( AAB041011 , 1 BA)4,0,1(011 .011 B 011)4 , 0 , 1( 400010410111410111 .000401401 .BAAB 注注1：矩阵的

7、乘法不满足交换律。：矩阵的乘法不满足交换律。（3 3）矩阵的乘法）矩阵的乘法1 2 33 0 1A401211122B40 11 2 321 13 0 11 2 2AB求求 ，并问，并问 是否有意义？是否有意义？ABBA解解58 911 2 5显然显然 无意义无意义 BA例例(3) (3) 矩阵的乘法矩阵的乘法注：AB有意义，未必BA有意义。2412A2436B242416321236816AB例例BA,AB求求解解242400361200BA.ABBA显然显然(3) (3) 矩阵的乘法矩阵的乘法注注3： 两个非零矩阵相乘两个非零矩阵相乘, ,可能是零矩阵可能是零矩阵. .故不能从故不能从OA

8、B 必然推出必然推出OA .OB 或或注注4： 矩阵乘法一般也不满足消去律矩阵乘法一般也不满足消去律. .)(OCBC 必然推出必然推出.BA 例例, ,即不能从即不能从AC,3021 A,4001 B,0011 C则则,001100113021AC注注5： 并非所有的矩阵的乘法都不能交换并非所有的矩阵的乘法都不能交换.(3）矩阵的乘法）矩阵的乘法,1011 A,1021 B则则,103110211011AB.103110111021BA.001100114001BC.AB CA BC(.ABA BAB为数）,A BCABAC.BC ABACAA B一般地，如果矩阵一般地，如果矩阵 ， 的乘积

9、与次序无关的乘积与次序无关ABBAA B即即 ，称矩阵，称矩阵 ， 可交换可交换结合律和分配律：结合律和分配律：（3 3）矩阵的乘法）矩阵的乘法 OA=O;AO=O;E m A mn=A mn,A mn En=A mn .结合律结合律分配律分配律例例 线性方程组线性方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 A,212222111211 mnmmnnaaaaaaaaa x,21 nxxx b,21 mbbbbAx 则则（3 3）矩阵的乘法）矩阵的乘法mnmmnnaaaaaaaaa212222111211nxxx21mbbb21

10、方阵的幂满足：方阵的幂满足：设设 是是 阶阶方阵方阵，定义方阵的幂为，定义方阵的幂为An1,AA211,AA A,11kkAA A显然，显然， 就是就是 个个 连乘连乘kAAk,klk lA AA()( ,k lklAA k l为正整数)(4) (4) 方阵的幂方阵的幂k其中其中 为正整数为正整数, , 。A只有只有 是方阵时，它的幂才有意义是方阵时，它的幂才有意义 问题：问题： (AB)k =Ak Bk ? 条件？条件？定义定义 0AE例例,1111111111111111A求求A4 .解解111111111111111111111111111111112A40000400004000041

11、0000100001000014（4 4）方阵的幂）方阵的幂,42EA.16224EAAA设设 (x) = a0 + a1x + + amxm 为为 x 的的 m 次多项式，次多项式，A 为为 n 阶方阵，记阶方阵，记 (A) = a0 E + a1 A + + am A m ， (A) 称为称为.对于对于多项式多项式 f(x), g(x)( ) ( )( ) ( )f A g Ag A f A如果如果 = diag(1 , 2 , , n)为对角矩阵为对角矩阵,则，则， k = diag(1k , 2k , , nk).08122351TA 例如矩阵例如矩阵01258231A, . (A1A

12、2 Ak)T = AkT A2TA1T ; (AT)T = A ; (B + C)T = BT + CT ; (kA)T = kAT; (AB)T = BTAT ; 注：注：若若 A 为为 n 阶方阵阶方阵, 则则 (Am)T = (AT)m ,m 为正整数为正整数。,B,A102324171231102 已知已知求求 (AB)T ，102324171231102AB所以所以.AB1031314170)(T,1013173140213012131027241.1031314170 BTAT， BTAT 设设A为为 ,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA 则则 ,212221

13、212111mnnnmmTaaaaaaaaaA, 022221miiiaaa., 2 , 1ni所以所以a 在方阵在方阵 A = ( aij )n 中中, 如果如果 aij = aji (i, j = 1, 2, n) , 则称则称 A 为为. 如果如果 aij = - -aji (i, j = 1, 2, , , n) ,则称则称 A 为为. A 为反称矩阵的充要条件是为反称矩阵的充要条件是 AT = - - A .注：注： A 为对称矩阵的充要条件是为对称矩阵的充要条件是 AT = A;nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa321333323122322211131211 单位矩阵、对角矩阵等单位矩阵、对角矩阵等 为对称矩阵为对称矩阵.例例 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵都可表示成对称阵与反对称阵的线性组合与反对称阵的线性组合.nA证明证明TAAC 设设 TTTAAC 则则AAT ,C 所