线性代数与解析几何：第2章第2节矩阵的运算

1、第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算 定义2 矩阵的和矩阵的和()() ( , ) ijijijijabm nm ni jab设和都是矩阵，则它们的定义为一个矩阵，它的元素为这个矩阵记为定义为ABAB,和和AACBACBAABBAnm0 ) 3()()( )2( ) 1 (：结合律交换律mnmnmmnnnmijijbababababa11111111)(BA 矩阵的减法矩阵的减法BABA) 1( )5(定义为这个矩阵记为元素为矩阵，它的定义为一个矩阵，则它们的差都是和设B,ABAijijijijbajinmnmba ),( )()(mnmnmmnnnmijijbababababa11111111

2、)(BABABA) 1( 定义定义3 矩阵的数乘矩阵的数乘mnmmnnnmijijaaaaaaaaaanmanm 212222111211)()( AAA，定义为记为矩阵，的乘积仍是矩阵与数AA)()( )3(2121AAA2121)( ) 1 (BABA)( )2(0AAA0 ;1 )4(矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算。负矩阵：( 1)()ijm nAAa 。练习练习1设,502134A301021B求 A2B解：6020422B6020425021342BA104172练习练习2: 设 满足534021A435628BXBXA22X 求1(2 )38261201 2534435322

3、2 111XBA 解：定义定义4 矩阵的乘法矩阵的乘法()()()ikikijamsbsnm nc 设是矩阵，是矩阵，那么 和 的乘积是一个矩阵。其中ABABC 1 1221sijikkjijijissjkca ba ba ba b111211111212212111 sjnjniiisssjsnmmmsjjaaabbbbbbiaaabbbaaa第列第列第行111111jniijinmmjmncccccciccc第行课堂练习：课堂练习： 设矩阵设矩阵121,212A121 3 ,10B 求乘积求乘积 AB 和和 BA.解：2 33 2121211 321210AB08373 22 312122

4、1 321210BA 546514122注：注：AB BA 即矩阵乘法不满足交换律即矩阵乘法不满足交换律课堂练习：032 ),2 , 1, 1 ( , babaab其中和求1 12(1, 1,2) 31 2( 1) 32 0103 322 12 ( 1)2 2224 3 (1, 1,2)3 13 ( 1)3 233600 10 ( 1)0 2000 乘积个矩阵，而乘积个矩阵，是一是一ab abbaba解：解：矩阵乘法与数的乘法的不同之处：矩阵乘法与数的乘法的不同之处：000第二，当时，不能推出或，如：ABAB第一，矩阵乘法不满足交换律. AB有意义，而BA 可能无意义；一般地，ABBA.242

5、2 1211242200 121100 000，可见， 但是，。ABABABA.00第三，当且时也不能断定 当且时也不能断定.ABACABC;ABCBBAC241311 1210012626 13130例如：，且，但是。ABCABACABACABCAAEAEABABAABACABCBABCACABCB,A,nmnmnppssm )4()()()( ) 3()( )2()()( ,1矩阵，则是设关于数乘的结合律：分配律：则矩阵，分别是）结合律：设（ 矩阵乘法与数的乘法的相同之处：矩阵乘法与数的乘法的相同之处：2111222222 kkkknnnaaaaaaAAAaaa 两个同型对角矩阵的乘积仍为

6、对角矩阵，特别地，有，1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算 nnnnnn 个如果 是 阶方阵，则 的 次幂表示 个 的乘积，即AAAAAA AA, ()mnm nmnmnmn显对于数，。然，任意正整和有 AAAAA), 3 ,2(1021011nnAnAA次幂的，求：例22322310110110220202011110210110320202011110201nnAAA AnA 解：以此类推，然后用数学归纳法证明。10201000000100121000000100121121)( 00000010012110210121112nnnnnnnnnnnnnCnBBCCnBBCBOCCBBCCB

7、A则：由于：解法例2 设A, B是n阶上三角矩阵,试证明AB仍是上三 角矩阵. 是上三角矩阵。所以，时，当设时，是上三角阵，当由于设时，是上三角阵，当由于证：设ABCabbababacjicABCbjkBbBakiAaAnjkikjkkjnjkkjikjkkjiknkkjikijijjkjkikik000 , 0 , 0 ,11111 。形式：则方程组可表示成矩阵令：写成矩阵形式：，其中上一点坐标系对应着在坐标系上每一点设例xyyxAaaaaAyyxxxxaaaayyxxaaaaxaxaxaxayyxaxayxaxayyyQOyyxxPOxx , , ),(),( 32221121121212

8、122211211212122211211222121212111212221212212111121212121nmnmmnnnnmnmnmmmnnnnmnxaxaxaxaxaxaxaxaxayyyxaxaxayxaxaxayxaxaxayyyyxxx22112222121121211121221122221212121211112121 ,改写成：的变换到另一组变量量一般地，设有从一组变AxyxAy 212122221112112121212222111211221122221211212111有记所以由于nmnmmnnmnmnmmnnnmnmmnnnnxxxaaaaaaaaayyyxxx

9、aaaaaaaaaxaxaxaxaxaxaxaxaxa 例4 某生态公园现有某种鸟类5000只，其中患病的有20%，设每年健康的鸟有20%患病，而患病的鸟有60%治愈。求两年后健康的鸟合患病的鸟各有多少？解：设转移矩阵A为：只。只，患病的鸟为两年后健康的鸟为两年后的鸟为：一年后的鸟为：现有的鸟患病健康患病健康124037601240376012003800 4 . 0 2 . 0 6 . 0 8 . 0 )(1200380010004000 4 . 0 2 . 0 6 . 0 8 . 0 10004000 4 . 0 2 . 0 6 . 0 8 . 0 AxAAxxA定义6 矩阵的转置矩阵的转

10、置T(), ),ijjim nan mi ja矩阵的是一个矩阵，它的（元素是记为。AA转置矩阵转置矩阵nmnnmmmnmmnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111T212222111211 AA()ijm na矩阵的也即将其相应的行变成相应的列。A转置矩阵转置矩阵T12211 ()(2) ()(3) ()(4) ()()TTTTTTTTTTTTTkk转阵质（）；。置矩有下列性：一般地，有AAABABAAABB AA AAAA A课堂练习课堂练习设,102211A124311012B求 ( A B ) T。解一：解一：124311012102211AB1081291102

11、89)(TBA解二解二( A B ) T = B T A T120121130211412110289,102211A124311012B1 12211 122(4) ()()()mn( , )( , )()nm()()(), )nm( ,TTjijiTTTikm skjs nsikkjijijissjkkjTTTn siksTjsimsiabi ja baja ba ba bba ba bj ibia证明设是矩阵的是，则是矩阵，它的元素，的元素矩阵的元素TTABB AA, BABABB ABB,A A, ABAB1111221()( , ) ( , ) ( , )( , () )sksski

12、jkjkkjijikkiTTTTTssiTjja bi ja baii kk jjba bba的元素的元素的元素即的元元素素TTBAABABBAAB对称矩阵，反对称矩阵对称矩阵，反对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵对称矩阵对称矩阵称它为若满足；称它为，若满足阶矩阵对于A,AAAATT ,n (1,); (1,); ijjiijjiaai jnaai jn 由定义得出，A是的充要条件是A是的充要条件是10如：对-3-3对称矩阵222-33反对称矩阵666-称矩阵：5反对称矩阵：09062练习练习 设设A为任一方阵，证明为任一方阵，证明 : A+AT为对称阵，为对称阵，而而AAT 为反对称阵为反对称阵证：由于TTTTTAAAA)()(AATTAA TTTTTAAAA)()(AAT)(TAA 故故 A+AT为对称阵，为对称阵，AAT 为反对