排列组合组合练习题精心总结

1、排列组合教案1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 g种不同的方法， 在第2类办法中有 m2种不同的方法，在第 n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：Nm1m2 L mn种不同的方法.例：1.在填写志愿时，一名高中毕业生了解到，在A大学里有4种他所感兴趣的专业， 在B大学里有5种感兴趣的专业，如果这名学生只能选择一个专业，那么他共有多少种 选择？2. 一工作可以用2种方法完成，有 5人只会用第一种方法完成，另有4人只会用第二种方法完成，从中选出一人来完成这项工作，不同的选法的种数是2. 分步计数原理(乘法原理)完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m

2、i种不同的方法，做第2步有m2种不同的 方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：Nim,m2Lmn种不同的方法.例：1.从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从A村经B村到C村, 不同的线路种数是2. 设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生一名代表班级参加比赛, 共有多少种不同的选法？3. 从集合1,2,3和1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是；3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事

3、件.例：1.书架的第一层放有4本不同的计算机书， 第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有 2本不同的体育书.(1) 从书架中任意取一本书，有多少种取法？(2) 从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？2. 现有高一年级的学生 3名，高二年级的学生 5名，高三年级的学生 4名，问:(1) 从中任选一名参加接待外宾活动，有多少种不同的选法？(2) 从3个年级的学生各选一名参加接待外宾活动，有多少种不同的选法？排列定义从n个不同的元素中，取m个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取m个的无重排列。排列的全体组成的集合用A(n,m)表示。排列的个数用An表示。当m=n时称为全排列。(1

4、)排列数公式Amn(n 1)(n 2)L (n m 1)(m (n m)!n) ； A n! n(n1)(n2)L 2 1。1. A；; A；A1 ； a5 .A ； A1.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出 2幅, 有多少种挂法？例:A；a7；A3分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共2.从5本不同的书中选出 3本送给3名同学,每人各1本，共有多少种不同的送法?3.从参加乒乓球团体比赛的 种不同的方法？5名运动员中选出3名，并按排列的顺序出场比赛，有多少组合定义从n个不同元素中取m个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序,称为从n个中取m个的无重组合。组合的全体组成的集合用C(n,m)表

5、示，组合的个数用Cn"表示.(2)组合数公式n (n 1) L (nCmAmAmcfm 1)n!m (m 1) L 2 1 ； Cl .；c7 (m n);其中 Cn 1 . m! n m !； c；;C°例：C11. (1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?；C°2.在一 100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出 3件,(1) 有多少种不同的抽法？(2) 抽出的(3) 抽出的 排列数、 C： C； 13件中恰好有3件中至少有 组C；21件是次品的抽

6、法有多少种？1件是次品的抽法有多少种？ 的性质：cn c：mCr 1Cn 1 . cm cm1 cm;例:1. C2C5, c：Cs C62 C；2. C83 C3C： C3 c；C822.解排列组合问题的方法有：一：特殊元素先排列：（1）特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。1. （1995年上海高考题）1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种.2. （ 2000年全国高考题）乒乓球队的 10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛,3名主力队员要安

7、排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.3. 某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为 ;4. 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设, 其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？5. 从6名运动员中选出4人参加4X 100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共 有多少种不同的参赛方案？6.用 0, 1,2, 3, 4, 5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数个;7.用 1, 2,多少个(1)(2)3, 4, 5, 6这6个

8、数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有数字1不排在个位和千位数字1不在个位，数字6不在千位。走廊、大厅的地面及楼的其中1号石材有微量的放射性， 不 种；9. A的一边AB上有4个点，另一边 点为顶点，可以构成_8.某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、 外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择， 可用于办公室内，则不同的装饰效果有 AC上有5个点，连同A的顶点共10个点，以这些个三角形；10. 用六种不同颜色把右图中 A B C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻 区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法；11. 如图5：四个区域坐定4个单位

9、的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿 同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同， 不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种（84）图512. 将一四棱锥（图6）的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420）13.给图中区域涂色，要求相邻区域不同色，现有4种可选颜色，则不同的着色方法有72种二：相邻问题捆绑法 （把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。1. 把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法

10、种数为 ；2. 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种?3. 有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本.若将这些书排成一列 放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有（）种.（结果用数值表示）4. 五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，则不同的排法有（A 60 种 B、48 种 C、36 种 D、24 种三：不相邻问题插空法：（可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元 素插入上述几个元素的空位和两端.）1.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（A 1440 种 B、3600 种 C、4820

11、种 D、4800 种3个晚会的节目有 4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出 场顺序有多少种？2.用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻,5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有 （）个.（用数字作答）四：可重复的排列求幕法：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的 约束，可逐一安排元素的位置， 一般地n个不同元素排在 m个不同位置的排列数有 mn种方 法.1.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?2.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种;五：有序问题组合法1.学号为1,X1X2X32 ,

12、3, 4的四名学生的考试成绩xi 89,90,91,92,93（ i 1,2,3,4）且满足X4，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有 种；2.设集合的个数是1,2,3,4,5,6,7,8，对任意 x A，有 f(1) f (2) f (3)，则映射 f : A A3.离心率等于log pq（其中1 P 9,1 q 9且p,q N ）的不同形状的的双曲线的个数 为六：定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的 方法.,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24 种 B、60 种 C、90 种 D、12

13、0 种个人排队，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”顺序排的排队方法有多少种？个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列, 有多少种排法。4.由数字0, 1 , 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共 有（ ）A 210 种 B 、300 种 C、464 种 D、600 种七：“至少” “至多”问题用间接排除法或分类法：1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取 3台，其中至少要甲型和乙 同的取法共有 （型电视机各一台，则不） a 、140 种 B 、80 种 C、70 种 D 、35 种2.如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少

14、有2名女同学当选的选法有八：多元问题分类法 别计数再相加。1.某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放种；:元素多，取出的情况也多种， 可按结果要求分成不相容的几类情况分.那么不同的实验方案共有2.某公司新招聘进 8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有.其中两名英语翻译人员不能种;九：阁板法，名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法，（每组至少一份），（每组至少一份，分成n份，需要n-1个隔板，当不是每组至少一份时， 先转化为每组

15、至少一份后再做）1.某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人, 名额分配方案共种。个三好学生名额分到 7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案?个相同的球各分给 3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢?4. 有20个不加区别的小球放入编号为1, 2, 3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（C16 )4.把6个不同的苹果分成 4堆，一共有种分法.5.把6个不同苹果分给4个小朋友，每个小朋友至少1个，一共有种分法.本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法?名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少

16、去一名，则不同的保送方案有多少种?本不同的书，全部分给A、 480种 B4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（240 种 C、120 种 D、96 种9.某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法 的种数。名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 （ ）4人，则不同的分配方案有C1：C8C4 种B3C12C8C4 种C 、C12C8 AS 种A3种十.（不同物品）分组问题：要注意区分是 平均分组还是非平均分组，平均分成 n组问题别 忘除以n !。1.本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法?2. 把6个不同苹果平均分成三堆，一共有种分法.

17、3. 把6个不同苹果平均分成 3份给3个小朋友，一共有从10人中选出4人承担这三项4所学校去为学生体检，每种（答：37440）；11. 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，任务，不同的选法种数是（）A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种12. 如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到 所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有十一：选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上,可用先取后排法.1.如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试， 直到4只次品全测出为止，则

18、最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是2.四个不同球放入编号为1 , 2, 3, 4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种?名乒乓球运动员，其中男 法？5名，女4名，现在要进行混合双打训练， 有多少种不同的分组方十二：标号排位问题分步法 再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.1.将数字1, 2, 3，4填入标号为1，2, 3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的 标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步2.同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺

19、年卡， 则4张贺年卡不同的 分配方式有种；3.设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 种4.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？十三：多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。1.如若2n个学生排成一排的排法数为X,这2 n个学生排成前后两排，每排各排法数为y，则x,y的大小关系为；n个学生的2. 6个不同的元素排成前后两排，每排

20、3个元素，那么不同的排法种数是（A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排,后排，有多少种不同排法？个元素排在十四：圆排问题单排法：把n个不同元素放在圆周 n个无编号位置上的排列, 顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同 （即旋转一下就可以重合） 相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列顺序的排法认为是 n个普通排列：（例如按ai,a2,a3L耳玄耳包丄耳丄玄,6丄耳1在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合,故认为相同，n个元素的圆排列数有 n!种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的

21、n 1元素全n排列.1.有5个人站成一圈，一共有多少种站法?1.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法?十五：排除法，部分合条件问题排除法：在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.）、52种1.以正方体的顶点为顶点的四面体共有（C 、 58种 DA 70 种 B 、64 种2.四面体的顶点和各棱中点共A 150种 B 、 147 种10点，在其中取144 种 D4个不共面的点，不同的取法共有（、141 种3.如在平面直角坐标系中，由六个点 可以确定三角形的个数为(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，( 1, - 2) , ( 2, 1

22、)3.有五张卡片，它的正反面分别写张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书?0与1 , 2与3, 4与5, 6与7, 8与9，将它们任意三十六：已排好元素中新增元素增位排列法1.在一个含有 8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少 中插入方法？2.某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为3.如（1）书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上 有种不同的放法；2本不同的书,二项式定理:(a b)nC0an Cnan 1b1 C；an 2b2k n k I kA

23、n.nz . i Cna b . Cnb (n N ).例：1.（X y）5的展开式为2.(Xy）7的展开式为3.(X2y）7的展开式为4.设nN*，化简1 7cn 72C273C37ncn5.设nN*，化简cn C26 C362cn6n1CnC：2n例：1.（Xy）7的展开式中，每项的系数和为2.（Xy）7的展开式中，每项的二项式系数和为3.（X2y）7的展开式中，每项的二项式系数和为4.（X2y）7的展开式中，每项的系数和为二项式的题型一:（求 Xk或Xn ym的系数）1.（重庆3) (X2A.162.(2008天津理284-）的展开式中X的系数是（XB. 7052X 的二项展开式中，Jx

24、C 560D. 1120X2的系数是（用数字作答）3.（全国1/13 )（X y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于4.（全国2/13 )xjy yJX '的展开式中X3y3的系数为5.全国n卷理）（1 %/x）6（1 Tx）4的展开式中X的系数是（）C . 3D. 43422x 1 X展开式中X的系数为(2008A .4 B .36 . (2008四川理)17. （2008浙江文、理）是（ ）（A） -158. （2008广东理）已知（1 kx2）6 （k是正整数）的展开式中, 题型二：求常数项在(X 1)(X2)(X3)(X4)(X5）的展开式中，含X4的项的系数(B) 85(C) -120（D） 274X8的系数小于120,则k=11 .（四川13） （2x 2X）6的展开式的常数项是（用数字作答）12 . （2008山东理）（X-丄）12展开式中的常数