数二-基本知识点

1、实用标准文档基本知识点Deran Pan 2017.8.11文案大全实用标准文档十五、附10第三章元函数积分1.1文案大全目录第一章极限6.八、四、第二章四、五、八、七、八、九、十、十三、十四、定理6.重要极限等价无穷小积分和求极限佩亚诺余项泰勒展开元函数微分函数微分微分运算法则基本微分公式变限积分求导N阶导数参数方程导数隐函数求导法则，幕指函数求导法则反函数的一阶、二阶求导单调、极值、凹凸、拐点渐近线曲率泰勒定理极限与无穷小的关系6.6.6.8.8.8.8.8.8.9.9.9.9.9.9.实用标准文档定理1.111基本积分公式基本积分方法四、一个重要的反常积分五、定积分的应用1.1第四章多元

2、函数微分1.3四、五、八、七、八、九、十、第五章第一章如果limx 7 xOy yOfx ,y存在，则,fX在该点连续求重极限方法可微性讨论复合函数微分高阶偏导隐函数求导二兀函数极值的充分条件条件极值、拉格朗日乘数法重积分柯西积分不等式常微分方程一阶微分方程可降阶的高阶微分方程高阶常系数微分方程行列式1. 3131.3131.31.31.41.41.61.71.71.71.71.9几个重要公式19文案大全1.9余子式&代数余子式实用标准文档二次型24文案大全抽象n阶方阵行列式公式1.9第二章矩阵1.9四、第三章第四章第五章四、五、尺氏 、:弟八早运算规则特殊矩阵可逆矩阵向量线性表出、线

3、性相关、极大线性无关组施密特正交化正交矩阵线性方程组克拉默法则齐次线性方程组、基础解系非齐次线性方程组、通解结构特征值、特征向量、相似矩阵特征值、特征向量相似矩阵实对称矩阵矩阵、特征值、特征向量判断A是否相似于对角二次型标准型1.920202.02.02.12.121222.22222232.3232.323242424实用标准文档文案大全规范型24四、化二次型为标准型，规范型五、合同八、惯性定理25后记七、八、九、实对称矩阵A、 B合同的充要条件正定正定阵性质2.52.526.第一章极限、定理? .1 ? 1lim ?= lim 洌?刀？羽=/ ?d? ?=? 0夹逼定理，单调有界定理、重要

4、极限H9.H?4. Iim+ ?(ln ?= 0?氏3. lim ?v?= 15. lim ?= 1?8三、等价无穷小当？?T 0时:1、sin ?2、tan ?3、1 - cos ? 2?4、?- 1 - ?5、In (1 + ?-?6、(1 + ?- 1 ?7、arcsin ?？8、arctan ?？9、?- 1?l n(?10、?+ ?？?？(?> ，、五、洛必达法则六、积分和求极限四、佩亚诺余项泰勒展开?= 1 + ?+ 2；?+ ? + ?+ ?(?(2、sin ?= ? 3;?+ ?/ 八？需？?"+?"?")cos ?= 1 - 2?+?/ 八

5、?y)T?+?+i)In (1 + ? = ?- ? +?+? +(-1)?1?' ?(1 + ?= 1 + ?牛？+ ? + ?心1)二 4? ?" ?+ ?)2!?实用标准文档文案大全第二章一元函数微分、函数微分d ?= ?+ ?= ?!? ?, 112、(arcsin ? = -= “1- ?， 1 ? = -“1- ?， 1?=而13、 (arccos14、(arctan15、(arccot/ 1?=-市、微分运算法则1、(?± ? = ? ± ?四、变限积分求导2、(? = ?+ ?3、(? = ?(皤(T?d?4、= ?(?)?(?- ?(?)

6、?(?三、基本微分公式五、N阶导数1、?= 02、(? = ? 13、(?3 = ?1 n(?4、(?= ?5、Z(? = 1j ？?n(?6、(cos ? = - sin ?7、(sin ? = cos ?8、(cot ? = - (CSC?29、(tan ? = (sec ?210、(sec? = sec ?tan ?11、(csc ? = - csc ?cot ?1、(?± ?(? = ? ± ?”(?(? = ? ?+ ?1) ?*?1) + ?%? ? ? + ? +六、参数方程导数? = ?-? ,?曲(?_?-? ?3(?)七、隐函数求导法则，幕指函数求导法则

7、柯西中值定理。八、反函数的一阶、二阶求导十三、泰勒定理? 1 = 1? ? ? ?(?(?)?( ?)?=?) +?) + 2!(?7 ?)2九、,?(?(?=-3(?)单调、极值、凹凸、拐点十、渐近线? ?) (?- ?)?+ ?:?十四、极限与无穷小的关系?= ? ? = ?+? * 斗?厂？3其中？?？?？ =0水平渐近线: li? = ?铅直渐近线:辄？?？=?斜渐近线：帆竽=? ,?I?J?- ?=?曲率3-23-2十二、定理费马定理（驻点）、罗尔定理、拉格朗日中值定理、十五、 附麦克劳林公式:? = ?0)+ ?¥?+ ?(0)?+ ? +2!?P?+ ?惡？?= 0泰勒

8、公式:?(?)(?- ?)2+? +2!?(?)? = ?) + 77(?- ?)?(?)？? (? ?)?+ ?(?佩亚诺余项:拉格朗日余项:R?=? 1)( ?二歹(?.?) ? 1(?+ 1)!(?=0¥R?= ?(?- ?)?= 1?彳？)?=?T?) + ? ?)?彳？?= ?) + 十"？?- ?)? - ?) = ?彳？ ?(?- ?)?- ?) = ?(?) ?(?-?) + ? ?)拉格朗日中值定理?= ?買？)?+ ?- ?)增量与微分的关系式实用标准文档第三章一元函数积分定理1 ?15、/d?= arcsin -?+ ?"?孑-1、定积分存在

9、定理16、/ 1d?- In |?+ 6? ± ?|F ±?12、原函数存在定理3、积分中值定理三、基本积分方法?/ ?d?= ?(?(? ?1、凑微分法2、换元积分法二、基本积分公式a)含"?？- ?，命？- ?sin ?b)含 ?+ ，命？?- ?tan ?sec ?1、+ Cc)含 F - ?，命?=/?d ?=禽?？1 + ?2、/#?= I n(?+ ?部分积分法利用被积函数的奇偶性3、? ?/?d ?=+ ?Jln(?拆项积分4、/?d ?= ?+ ?四、一个重要的反常积分14、文案大全5、6、/cos ?d?= sin ?+ ?/?d?=-X+ co

10、2/?d?=行？0/sin ?d ?= - cos ?+ ?7、/tan ?d?= - Inicos ?+ C8、/cot ?d ?=In |sin ?+ C五、定积分的应用9、/sec ?d ?=In |sec ?+ tan ? + C1、平面图形的面积10、/csc ?d ?=In|CSC?" cot ?+ C11、/sec2?d ?= tan ?+ ?12、/csc2 ?d?= - cot ?+ ?/ ?(?- ?(? d?/ ?(?- ?(? d?1 ?A = - / ?(?2 ?13、1 1 ? 亠亠?arctan ?+ ?平面曲线的弧长1 1?_?莎"T+ C?

11、 2 2S= /?(?) + (?買？)d?实用标准文档? , 2/ v1 + (?) d?7t?/ ?(?- ?(? d? 2/(?買？?)d?3、旋转体体积?n/ ?(?d?n / ?(?-?(? d?4、旋转曲面面积? S = 2 n / |?v1 + ?(? 2 2S= 2 n / |?|? V( ?(?) +(?(?) d?文案大全第四章多元函数微分、如果?1鹦0 ?存在，则?在该点连?r?d?d?'d? d? d?d? ? + ? d?d? dv d?多元与多元复合? ? ? ? = ?+ ? ? ? ? ?、求重极限方法利用极限性质、四则运算、夹逼准则等消除分母中为零的因

12、子，有理化、等价无穷小等转化为一元函数求极限利用无穷小乘以有节量仍为无穷小三、可微性讨论1、可微a) 考察？?4?，?)和？?：？，？)是否都存在。b) 考察?2+ ?2+ ? - ?,?) - ?(?,?2)?+ ?X?,?)? lim ?0 ?"“？ + ?是否成立。五、可微的必要条件：可微必可导，不可导一定不可六、微。1、可微的充分条件：有连续一阶偏导函数一定可微。全微分形式不变高阶偏导四、复合函数微分1、元与多元复合? ? ? +? ? ?d?=丽?？? ? ? ? ? ? 帀號？ ? ? 二(二)=? (? ? ' ? ? ? ?)? = ? ?， = ()=? (

13、？? ? ?与？?？相等，次序无关隐函数求导利用公式d?-邑d?=F?=F?=?-、F?F?b)二元:F?a) 一元:2、方程组两端分别求导a)比较定理b)估值定理利用微分形式不变，方程两端求微分C）中值定理计算七、二兀函数极值的充分条件a）直角坐标系下的计算i. 适合先y后x的积分域若？?（？，？）= 0 以及？?（？，？?）= 0设 A = ?,?)、B = ?,?)、C =?，?)则:AC -B2取的极值，A > 0为极小值，A < 0为极大值AC -B20,无极值？? ?(?AC -B20,不能确定ii. 适合先x后y的积分域八、条件极值、拉格朗日乘数法构造拉格朗日函数F（

14、?？ = ?？?？ +？、，/解方程组?=?？+? + ?=0 ? = 0-?= ? = 0所有满足解的点是可能的极值点？? ?(?b）极坐标下的计算九、重积分i. 极点0在区域D之外性质? ?d 5? ?(?=/ d?/?cos ?,?3in ?0? ?(? ?(?d 5?2? ?=/ d?/?3OS ?,?3in?0?0 0ii. 极点O在区域D的边界上iv. 环形域? ?:?d 5?iii.极点0在区域D的内部? ?=/ d?/?3os ?,?5in ? ? ? 0? ?d 5?2? 沁"/ d?/?3OS ?,?sin?!?0 ?(?3、利用对称性和奇偶性a）对称性i.若积分

15、域关于x或y对称ii.若积分关于直线x=y对称，则? ?d?= ? ?d?十、柯西积分不等式2(/ ? ?d? < / ?(?d ?+ / ?(?d?实用标准文档i.文案大全第五章常微分方程、一阶微分方程ii.有一对相等的实根：?= (? + ? ?可分离变量方程iii.齐次方程?=有一对共轭复根a ± ?:? cos (?)?+ ? sin(?)?99999999莎?= ? ?9，令？?= ?则?= ?非齐次方程：? + ?各? ?竺? + ?茫d? 'd?线性方程a)通解形式为？= ?齐次解i.若? = ?=?，+ ?特解则设?= ? ?= ?为特征值入的重数?=

16、? /?"?( /?"d?召？?+ ?、可降阶的高阶微分方程反复积分，？?？ = ?不是含有y的二阶微分方程? = ?,?, 令?= ? d?d?则：?=莎，= ?不是含有x的二阶微分方程? = ? ? 令?= ? 、,/， 、 d? ?则：? = = ?= d? ? d?d?= ? d?d?ii.若?=? ?鴛?o:n爲?，则? = ?( ?(? cos(?)?) = ( +?：? Sin (?k为特征值a ± ?的重数三、高阶常系数微分方程齐次方程：+?=a)解特征值：T 1、T(? + ? ?= 0)有不相同的两个实根：?= ? ?+ ? ?实用标准文档文案

17、大全第一章行列式、余子式&代数余子式、几个重要公式上(下)三角形行列式A ? = a 11 ?a22 ? ?a?副对角线行列式A? 1)?= (- 1)2?a1 ?a2(? 1)? ?a?第二章矩阵A、B分别是m阶，n阶矩阵?= ?,? ? ,? ? = ?、运算规则? ? ?=999? ?= (- 1严?1、加法范德蒙行列式2、数乘1 ?1 ?1? = n(?- ?)3、乘法?需1?r?雪1? 11 三?=?容？4、转置4、1三、抽象n阶方阵行列式公式? = ?(?+ ?= ?+ ?(?处=?(?/= ?(?» = ?= ?伴随矩阵1?= |?|?，|?| = ? = ?

18、1I?* I?-1?= n?= 1 ? = ? ?= ?(?)-1= (?1/= ?(?)?= (?)(? = ? 1 ? =丨?1(?)? = ?2 ?若？B, ? = ?方阵的幕?(?)=?实用标准文档1、?= ?+?若 A 可逆，r (?= r(? = r(?若A是m X n阵，B是n X s阵，？ ?贝U、特殊矩阵r(?+ r(? w ?单位阵数量阵对角阵对称阵发对称阵正交阵伴随矩阵上下三角阵初等矩阵分块矩阵:7.三、可逆矩阵运算性质。？11 - ? (?)求逆矩阵a)公式法:b)c)四、(? =? 1 ?1，(?)-1 = (?1)-1 - 1(?)'=1/?|?1| =?1

19、?1 = r1?初等变换:分块矩阵:?r (?)?= r(?-1(? = (?)?- 1 ?- 1 ?'?r ?1?,:? 1? 1?r(?+ ? w r(? + r(?第三章向量r(?w min r(?,r(? 文案大全实用标准文档文案大全、线性表出、线性相关、极大线性无关组、施密特正交化=?% = ?-（?, %）-%（%，%） 11 1（?,叮（？，）-%2 -% （%2, %2）（ %，%1）T = ?1?1、T2= ?|?|、T3 = ?|?|T，T2，T则是正交规范向量组三、正交矩阵?= ?= ? A是正交矩阵？ ？?= ? 1?A行（列）向量是正交规范向量如A是正交矩阵，

20、则行列式|?= ±1第四章线性方程组、克拉默法则、齐次线性方程组、基础解系三、非齐次线性方程组、通解结构C) 若？2? ? ?s ? ) / I ， ，传递性第五章 特征值、特征向量、相似矩阵6、两矩阵相似的必要条件? |? ?= |? r(? = r(? |?= |?= n?= 1?、特征值、特征向量三、实对称矩阵若? ?，则:则称？是A的特征值，？是A对应于？勺特征向量。（特征方程、特征多项式、特征矩阵）性质a)刀?字 1 ?=马字 1 ?b) n?；1?3?= I?求法a) I? ?= 0解出特征值b) (? ?= 0j解出特征向量、相似矩阵若?1?： ?则？?N阶矩阵A可对角

21、化?特征向量aa2线性无关1、元素？?都是实数的对称矩阵A.实对称矩阵的特征值全部是实数B.实对称矩阵属于不同特征值对应的特征向量相互正交C.实对称矩阵必相似于对角阵，即存在？1?A,且存在正交阵 Q使得7?1?字？字A实对称矩阵相似于对角阵步骤a)b)C)d)e)I? ?= 0解出全部？?（?- ?= 0解出所有特征值的特征向量正交化？?的特征向量将全部特征向量单位化即有？1?： ?= A四、矩阵、特征值、特征向量X工？是A的特征值?特征向量aa2线性无关?是 A的r重特征值，则该特征值得特征向量应小于等于r ?性质:a) ? ?反身性b) ? ? ?7?对称性矩阵特征值特征向量?Xa?k

22、Xa?Xa?（入）a实用标准文档?1-1入a?1?a?1 + ?1?+ ?力a若A、B是两个 n阶对称阵，？?= ?，=? ?:?a)若?= ? ?= ?/1I b)若？?？ ? ?合同于?c)若r? = ? r(? = ?五、判断A是否相似于对角d)若？正定？ f正定1、A是否是实对称矩阵若A不是，看A是否有n个互不相同的特征值、标准型若A有r重根，看对应是否有 r个线性无关的特若二次型？,？,？，？?只有平方项，没有混合征向量项则为标准二次型。?,?,? ,?) = ? = ?+ ? + ? ?"?i+1 -? Q?*2? ?+ ?= ?< ?三、规范型第六章二次型在二次型的标准型中，若平方项的系数di只取1、-1、0，则该二次型为规范型、二次型1、矩阵表示四、化二次型为标准型，规范型? ?,?,? ,?)=刀刀？?= 1 ?= 11、对于任意一个n元二次型？?= ?必存在正交?1=? ? ? ?1?1?2 ?= ?9?变换？?= ?,?是正交阵：? ? ?7?( = ?=? ?=?+ ?+ ? + ?任意一个二次型f，都可以通过（配方法）可逆线其中？?= ?是对称矩阵，为二次型f的对于矩阵性变换?= ?其C可逆化为标准型:?,?,?