电磁场理论复习题含问题详解

1、9。第12章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律1.设：直角坐标系中，标量场 u xy yz zx的梯度为A，贝y m （1, 1, 1）处A = 2ex2ey2ez2.，则在 M( 1,1,1 )处 A2已知矢量场 A £ ( y z) e?y 4xy(?zXZ3.亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A），则必须同时给定该场矢量的旋度 A 及散度 A4.写出线性和各项同性介质中场量所满足的方程（结构方D E, B H , J E程)：。cj dSS5.电流连续性方程的微分和积分形式分别为6.设理想导体的表面 A的电场强度为E、磁场强度为 B，则(a)E、B皆与A垂直。E与

2、A垂直，B与A平行。（C）E与A平行，B与A垂直。(d)E、B皆与A平行。答案：B两种不同的理想介质的交界面上，(A)E1E, H1H2(B)E1nE2n , H 1nH2n(C)E1tE2t，H 1tH2t(D)E1tE2t , H1nH2n答案：C7.8.设自由真空区域电场强度Eey E0 sin(3t p Z (V/m)，其中 E0、p为常数。则(a) Oy Eo cos( wt p Z(b)gy wEo cos( wtp)(c) e w oEocos( wt p )(d)ey pEcos(wtp)9.已知无限大空间的相对介电常数为r4 ,电场强度E exo cos-空间位移电流密度 J

3、d （A/m2）为:答案：Cd处电荷体密度为：o、d为常数。则xx刃（V/m），其中(a)4( b)d( c)d(d)答案：d10.已知半径为R0球面外为真空，电场强度分布为2一 (? cos ? sin )ERoB(c? 2 cos e sin ) r(r(rRo)求（1）常数B ；（2）球面上的面电荷密度;（3 ）球面外的体电荷密度。Sol. (1)球面上由边界条件E1tE2t 得:2 . sin RoBRosinB2Ro(2)由边界条件D1nD2ns得：so( E1nE2n)o (E1rE2r)6 ocos Ro(3)由D得:E1 (r2Er)1(E sin )ooo 2o .orrrs

4、in即空间电荷只分布在球面上。(r Ro)(r Ro)11.已知半径为 Ro、磁导率为 的球体,其外磁场强度分布为? sin ) (r2(? cosH A(er2cose sin ) (rrRo)Ro)且球外为真空。求（1）常数A ；（2）球面上的面电流密度Js大小Sol.球面上(r=Ro)： Hr为法向分量；H为法向分量(1)球面上由边界条件BinB2n 得：Hir oH 2rA R；0(2)球面上由边界条件HitH2t Js 得Js (Hi H2 )|r Ro(2 一)sin0第3章 静电场及其边值问题的解法静电场中电位与电场强度e的关系为 E1.分别为6,和）的分界面上，电位满足的边界条

5、件为;在两种不同的电介质（介电常数. 1 21 2 ， 1 2nn 。2.设无限大真空区域自由电荷体密度为P ,则静电场:3.4.5.6.7.8.Sol.电位和电场强度E满足的泊松方程分别为介电常数为的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为Wm 1 E2对于两种不同电介质的分界面，电场强度的 切向 分量及电位移的 法向 分量总是连续的。如图，Ei、E2分别为两种电介质静电场在界面上的电场强度,30°，则60,|Ei|/|E2|Ei理想导体与电介质的界面上,关系为匕2 I"表面自由电荷面密度s与电位沿其法向的方向导数的n如图，两块位于X = 0和X = d处无限大导体平板的

6、电位分别为0、U0,其部充满体密exd ）的电荷（设部介电常数为 ）。（1）利用直接积分法计算的电位 及电场强度E ； （2）x = 0处导体平板的表面电荷密度。为一维边值问题:（X）0 <x <d区域U0x2d2 dx(10d)边界条件:(X0)(Xd) U。(1)直接积分得:(x) (e0x2d)00d(1)x9.Sol.10.Sol.E(x)exdxex00 z x(eX)U0d(2)由ns 得:0E(x)x1 d2d如图所示横截面为矩形的无限长直导体槽,填空气。已知侧壁和底面的电位为零，而顶盖的电位为Vo。写出导体槽电位所满足的微分方程及其边界条件，并利用直角坐标系分离变量

7、法求出该导体槽的电位分布。(略)见教材第82页例3.6.1如图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为 电荷q0。利用镜像法求z轴上z > a各点的电位分布。d处有一个点空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于:无限大接地导体平面 +接地导体球边界条件:平面球面0平面引入镜像电荷：zd, qq。使球面Zi引入镜像电荷:2a,q1d2a|z |z轴上z > a各点的电位:Z2adq02 a 孑q2q。|z d|qiq2q。4 01|z d|z Z12a32 .24z d aZ211.已知接地导体球半径为 R0，在X轴上关于原点（球心）对称放置等量异号电荷 +q

8、、-q，位置如图所示。利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小；（2 ）球外空间电位;(3) X 轴上x>2R0各点的电场强度。Sol. (1)引入两个镜像电荷:qixi2r0q2X2R022R0Ro14 0R J(x 2R0)2 y2 z2，(x,y,z)(略)RiJ(x R0/2)2 y2 z2R2 J(x R0/2)2 y2 z2，RX轴上x>2R0各点的电场强度：J(x 2R0)2E &血品q/2(X R0/2)2q(X 2R0)212.如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面,在其平分线上放置一点电荷q,求（1）各镜像电荷的位置及电量;两块导体间的电位分布。

9、Sol. ( 1)qiq2q3qo，(a, 0, 0) qo，(0, a, 0) qo，(a, 0,(2)(x,y,z)14 0(略)q。R0R1q2R2其中：R。Jx2(ya)22 zR1J(xa)22y2 zR2Jx2(ya)22 zR3J(xa)22y2 z0)q3R3第4章 恒定电场与恒定磁场1.线性和各项同性的均匀导电媒质部电荷体密度等于，净余电荷只能分布在该导电媒质的表面上。2.线性和各项同性的均匀导电媒质中,3.在电导率不同的导电媒质分界面上，E1tE2t电场强度E和电流密度J的边界条件为:J1n J2n4.在电导率为的导电媒质中,l2 Pc E 功率损耗密度pc与电场强度大小

10、E的关系为O5.恒定磁场的矢量磁位 A与磁感应强度B的关系为_B2ajA ; A所满足的泊松方程6.对线性和各项同性磁介质（磁导率设为2 H度Wm,V空间磁能）,恒定磁场_ （磁场强度大小为 H ）的磁能密 v2Wm =7.已知恒定电流分布空间的矢量磁位为:2 2exx y ?yy x ?Cxyz, C 为常数，且 A满足库仑规。求（1）常数C ; （2）电流密度J ; （3）磁感应强度B O（直角坐标系中:Sol. (1)库仑规:AxyAya ya*)Ezzaza y-)ezxax-)y2a2aA 2xy z2x ez 4xyz 得:22xyCxy 0y2a2a2 2y zex4xz ?y4

11、yz ez(y2 x2)exx2a2x-ex2y?y2X在平板电容器的两个极板间填充两种不同的导电媒质（1,1和8. （P .136.习题 4.2）2）,其厚度分别为a和d2。若在两极板上加上恒定的电压u。试求板间的电位、电场强度E、电流密度J以及各分界面上的自由电荷密度。Sol.用静电比拟法计算。用电介质（）替代导电媒质，静电场场强分别设为Ei、E2E1 d1 E2d2D1 D2U01E12 E2EiexE2ex2U 02d1 1d 21U0(0xdi)2d11d2(d1x d2)电位移：D1D21E1ex12d 12U01 d2(x)静电比拟:E(x)E1X2U01d2（0xdi)Eidi

12、E2(xdi)1x ( 2U02d1 1d2(d1(T则导电媒质中的恒定电场:2U 0x2d11d 21X ( 21)d12d11d2U0did2d1(0di)(d1d2)exex2U22d11U02d11d 2（0di)1d 2(d1d2)1 2U 02d11d 212d12 ( x)2U 01d 21U01d222d 12n x d1d1(1 22 1 )U 01d22 d1可知：非理想电容器两极上的电荷密度为非等量异号x d1 d2。只有理想电容器才有电容定义。9. 一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质， 建立圆柱坐标，若电位I _ U0 （常量）及42恒定电场的电场强度 e ；（2）该情

13、况下导电媒质的直流电阻其、外半径分别为00。求a、2a ,电导率为（1）导电媒质上电位分布以及。如图Sol.由边界条件可知，导电媒质上电位仅与坐标有关，即(1) 21 d2"2Uo及2Uo0 a 2a(2)JJdSSSzz2Uo 1（第 9题图）2aJ (a da2a2丄(ad )2 aU0ln2直流电阻：R -p02 aln210. 一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其、外半径分别为 图建立圆柱坐标，若电位及导电媒质上恒定电场的电场强度Uo （常量）及ESol.由边界条件可知，导电媒质上电位d-d2aa、2a ,电导率为。如0。求（1）导电媒质上电位分布以（2）该情况下导电媒质的

14、直流电阻仅与坐标有关，即4EJre00 2JrEL3C00 2o- 2cI0 a 2a（第 10题图）直流电阻：R ¥2ln 2220第5章电磁波的辐射1.复数形式的麦克斯韦方程中两个旋度方程为2.坡印亭矢量S的瞬时表示式是，平均值是3.自由空间中时变电磁场的电场满足的波动方程为2# k2E 0。2E0,这个方程在正弦电磁场的情况下变为4.在无损耗的均匀媒质2H中，正弦电磁场的磁场满足的亥姆霍兹方程为5.6.7.8.9.(A)(C)k2Hk2k2(B) k2(D) k212在时变电磁场中，磁感应强度电场强度E与位的关系为已知某一理想介质流复矢量为Jd IjB与位的关系为0>中)

15、时谐电磁场的角频率为，位移电0cos 型ej(A) 1 虫COS-ne jj a(C) dx 屯sin-nye jj aa、Jo皆为常数。则电场强度复矢量电偶极子天线的功率分布与(a) sin2(c) cos2自由空间的原点处的场源在函数和A。r(a) t -；c在球坐标系中,.2/ 、 sin(a)(B)(D)4 J0 njexcos 亠 ej40 aI扌 J0. n jexsin *j4 0答案：B的关系为(b) sin(d) cost时刻发生变化，此变化将在时刻影响到r处的位(c)c电偶极子的辐射场(远区场)sin(b)r(d)任意(c)的空间分布与坐标的关系是sinsin2(d)r10

16、. 一均匀平面波垂直入射至导电媒质中并在其中传播，则(A)不再是均匀平面波。(B)空间各点电磁场振幅不变(C)电场和磁场不同相。(D)传播特性与波的频率无关。答案：C11.下列电场强度所对应的电磁波为线极化方式的是10 e j z ey10j eIey10 e jA cz/( z/(10 e j z(B)E £10 e j z(D)E e<10 e j z由e j z ey10 e j z 答案：C12、已知真空中某时谐电场瞬时值为E(x, z,t) yS in (10x)cos( t kzz)。试求电场和磁场复矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。解：所给瞬时值表示式写成下列形

17、式E(x,z,t) Re(?ysin(10 x)e jkzzej t因此电场强度的复矢量表示为(x,z) eysin(10 x)e 陀由麦克斯韦方程组的第二个方程的复数形式可以计算磁场强度的复矢量为H(x,z)亠j 0EyxEx e EyEyzEz10一 sin(10 x) ez 0j-cos(10 x) e 心0功率流密度矢量的平均值Sav等于复坡印廷矢量的实部，即Sav Re(S) 1Re(E H*) 1Reex?yezExEyEzHyHz1Re(EyHz ezEyHx)Jin2(10 x)01 5 kez-Re ex sin(20 x)2 j 0ez kz sin2(10 x)2 013

18、、已知真空中时变场的矢量磁位为求：（1）电场强度E和磁场强度解：（1）把矢量磁位的瞬时值表示为则矢量磁位的复数形式为根据磁场强度复数形式H与矢量磁位复数形式A(z,t)xA0 cos( t kz)H ； (2)坡印廷矢量及其平均值。A( z,t)Re(?xA0e jkzej tA（Z）之间关系可以求出exeyez花）亠0A)丄0xAx Ayey人ey( jkAo)e jkz磁场强度的瞬时值为根据麦克斯韦方程组的第一个方程H(z,t) ?y(kAo )cos( tT H J j Dkz2)，此时J0，电场强度与磁场强度之间关系为E(z)丄(“ H)ex ey ez电场强度的瞬时值为（2）坡印廷矢

19、量为x y zHxHy HzDxE(z,t) Re E ej texcos(t kz )2S E Hext kz -)ez山Lcos2( t kz -)2坡印廷矢量的平均值为ISav1Re(E H*) ez虫2 2第6章、均匀平面波的传播1.2.两个同频率、同方向传播，极化方向相互垂直的线极化波的合成波为圆极化波，的振幅 相同，相位相差/ 2 O均匀平面波垂直入射到理想导体表面上，反射波电场与入射波电场的振幅相等相位相差则它们3.4.均匀平面波从空气垂直入射到无损耗媒质射系数为1/ 5在自由空间传播的均匀平面波的电场强度为5.6.7.8.9.r 2.25, r 1,0表面上，则电场反eX100

20、cos20 z V / m，则波的传播方向为+Z，频率为3 X109 Hz ，波长为H0.1m弓100 c “ e cos t 20 z A/my377，平均坡印，波的极化方式为X方向的线极化波L ,对应的磁场为 一4 J 5000Sav ez 市yW/m2亭矢量Sav为377均匀平面波电场方向的单位矢量eE、磁场方向的单位矢量 eH以及传播方向的单位矢量i i eaven三者满足的关系是损耗媒质的本征阻抗为n De Dh，表明损耗媒质中电场与磁场在空间同一位置存在着 相位差，损耗媒质中不同频率的波其相速度不同，因此损耗媒质又称为 色散 媒质。设海水的衰减常数为，则电磁波在海水中的穿透深度为1

21、幅将变为进入海水前的 _eO在良导体中，均匀平面波的穿透深度为在无源的真空中，已知均匀平面波的,在此深度上电场的振(d) JE Eoe j z和 HHoej z，其中的Eo和Ho为2常矢量，则必有 ezE。0;(b) ezH。0;(c) E。H00; (d) E0 H0010.以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是不再是平面波(b)电场和磁场不同相(c)振幅不变(d)以TE波的形式传播108t 2 z) V/m11、已知空气中存在电磁波的电场强度为EeyE0COS(6试问：此波是否为均匀平面波？传播方向是什么？求此波的频率、波长、相速以及对应的磁场强度H O相位和方向均相解：均匀平面

22、波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、 同的电磁波。电场强度瞬时式可以写成复矢量E=eyE0ejkz该式的电场幅度为E0，相位和方向均不变，且 E tz 0 E gz，此波为均匀平面波。传播方向为沿着z方向。由时间相位 t 6波的频率f108t61083 108 Hz波数k波长相速Vp由于是均匀平面波,22_V 空3 dt k因此磁场为10 m/sZWZW12、在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为exEoSi n(2810t2 z)，已知介质的r 1，求r，并写出H的表达式。2108, k解：根据电场的瞬时表达式可以得到，而电场强度的瞬时式可以写成复矢量为exE0e j2

23、z j2波阻抗为Zw匚40，则磁场强度复矢量为H邛E)僖ej2因此磁场为H ey 知n(2 108t 2Z)13、铜的电导率 5.8长、透入深度及其波阻抗。107 S/m， r r 1。求下列各频率电磁波在铜传播的相速、波(1)解：已知f 1MHz ； (2) f 100 MHz ； (3) f 10GHz 亠 10 9 F/m 和 0410 7 H/m，那么36-1 1.044 10180 f(1)当1 MHz 时,1.044 10121 ,则铜看作良导体,衰减常数和相位常数当f 10 GHz时,别为相速：V P 4.152 100.4152 m/s波长：透入深度：24.15210 4 m1

24、0 5 m丄6.6波阻抗：ZW(1j)2.6110 7(1j)Jf2.6110 4(1j)100 MHz时,1.04410101，则铜仍可以看作为良导体，衰减常数分别为卜215.132/?15.132:104相速：V P4.152104打4.152 m/s波长：24.152105m透入深度：丄6.6106m波阻抗：ZW(1j)2.6110 7(1j)jf2.6110 3(1j)15.132jf 15.1321032当相位常数1.044 1081，则铜看作良导体，衰减常数 和相位常数f别为J15.132/T 15.132 105相速：Vp 4.152104尸41.52 m/s2波长：4.1521

25、06m透入深度：1-6.6107m波阻抗：ZwJo(1j)2.6110 7(1 j)jT 2.61 10 2(1 j)4S/m，衰减常数和波阻抗。r 81，14、海水的电导率r 1，求频率为 10 kHz、10 MHz 和 10 GHz 时电磁波的波长、1036解：已知10 9 F/m 和10 7 H/m，那么109。(1)当 f10 kHz 时,18T 9109 81051，则海水可看作良导体， 衰减常数 和相位常数分别为3.97100.397相速：v p1.582 103jT 1.582105波长:15.83 m透入深度:12.52 m波阻抗:ZWj) 0.31610 3(1j)(T 0.099(1 j)当f 10 MHz时,10288.891，则海水也可近似看作良导体， 衰减常数和相位常数分别为3.97 10 T 12.55 2相速：Vp