磁流体力学方程

1、实用标准文案第三章磁流体力学方程(MHD§ 3.1引言由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。由于动力学方程是一个非线性的积 分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。实际上，我们可以把 等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状 态变量及电磁场来描述。这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演 化的。建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学(Magnetohydrodynamics-MHC)。与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理 上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等

2、离子体的宏观平衡与稳定，波 动过程均可以用MHDS论来描述。但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则 MHD理论却无能力描述。下面我们从动力学 方程出发，建立MH巧程。§ 3.2二份量MHM程设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。这样，第类成份流体的密度n (r,t)、流(3-1)(3-2)速火U (r,t)及温度T (r,t)的定义为:n (r,t) dvf (r,v,t)vn (r,t)u (r,t) dvvf (

3、r,v,t)31r O-kBn (r,t)T (r,t) dv-m(v u )2 f (r,v,t)22F面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD方程。动力学方程可精彩文档以写成: (EE v B) vf m(r ,v,t) I (r,v,t)(3-3)首先定义等离子体矩方程:将(3-3 )两边乘以g(v)并对V积分，g(v十下g(v)fdv g(v)v fdvq g(v)E dv mg(v)vfdvr坐 g(v)丄dvvf 皿 dvvg(v)vm£mrqEmgv其中用到了分部积分和f(v)在 v时为零的条件。g(v)(vfB) dvvqmqm(v(vB)B)f g(v)H

4、fdvvg(v)v其中利用了关系:(vvB) 0这样得矩方程:gvqEmg(v)v(vg(v)(V)cdv其中：aafdv为统计平均。1.连续性方程n (r,t) t 其中利用到I dv 0，粒子数守恒。设g(v) 1，并对v积分,则n (r,t)u (r,t)(3-4)引入电荷密度:q n (r,t)(3-5)和电流密度:n (r,t)u (r,t)(3-6)将（3-4 ）两边乘以q可以得到电荷守恒方程j (r,t)0(3-7)将（3-4 ）两边乘以m可以得到质量连续性方程m （r,t） t其中m （r，t） mn （r,t）是质量密度。m (r,t)u (r,t)0(3-8)2.动量平衡方

5、程设g（v） m v，并对v积分,则可得其中m 一(n u ) m (n u u )tP(r,t)dvm (v(3-9)(v u)f(r,v,t)(3-10)为压强张量。而dvm I(3-11)(3-12)利用连续方程（3-4 ），方程（3-9 ）可以化成为m n u u该方程中各项的物理意义是：u ）u -流体元的动量变化率；其中u-为对流项;压强梯度产生的力;电场力;洛仑兹力，是由电流穿越磁场而产生的力;为第类粒子与第类粒子碰撞时，其动量的变化率。方程（3. 12）是一个不封闭的方程，因为涉及到高阶矩函数P及R ,只有通过求解动力学方程，才能严格地计算出P及R 。在研究等离子体的磁流体状态

6、 时，通常假定等离子体中带电粒子的速度分布基本上为各向同性分布，因此有:(3-13)其中P kBn T为静压强。P的非对角部分仅与等离子体中的粘滞现象有关。另形式:(3-14)外，对于不同种类的带电粒子之间的碰撞，动量的变化率可以写成摩擦阻力的 rR m n (u u )其中为动量输运的平均碰撞频率.3.能量平衡方程设g(v) 4m v2，并对v积分,并利用连续方程(3-4 )，动量平衡方积(3.12)，最后可以得到能量平衡方程为:其中:3kBn u T2 t1q m n2P：dv(vu q u R Qu )2(v u )f (r,v,t)1m n 2为不同种类带电粒子之间的碰撞产生的能量变化

7、。为热流矢量，而，2dvv f (r,v,t)(3-15)(3-16)(3-17)在高温等离子体系统中，人们对等离子体中带电粒子的能量输运并不是太感兴趣。在研究等离子体的平衡、稳定及波动过程时，可以认为带电粒子在速度空间的分布基本上趋于各向同性的Maxwell分布。因此，通常用状态方程来确定等离子体的压强，从而取代了能量平衡方程。对于等温过程，有:qn(3-18)其中C1是常数。对于绝热过程，压强为Qn5/3(3-19)其中C2是常数。这样，对于双流体等离子体，其 MHD方程为:(n u(3-20)(3-21)(u u )B/ t（3-22）0 0 E / t（3-23）q /0（3-24）0

8、（3-25）q n（3-26）q n u（3-27）EojEBq它们与状态方程耦合，即构成一套封闭的方程组。后面几章，我们将用这套方 程组研究等离于体中的波动过程及稳定性。§ 3.3 单 MHD方程在上节中，我们是把等离子体看作是由电子流体和离子流体组成的双流体。实际上，在研究等离子体中某些现象时，也可以把等离子体看成为单一的磁流体。本节我们的任务就是给出这种单一磁流体的MHD方程。首先引入单一磁流体的宏观状态参量:质量密度:m(r,t) m n (r,t)(3-28)电荷密度:q(r,t)q n (r,t)(3-29)流速:u(r,t) m(r，t)m n (r,t)u(3-30)

9、温度:T(r,t) m(r，t)m n (r,t)T (r,t)电流密度;j(r,t)n (r,t)u (r,t)(3-31)(3-32)总压强:F面建立单流体的流体力学方程（1）连续性方程将电子成分的质量连续性方程metmeU e)0(3-33)与离子成分的质量连续性方程-(miUi)0t相加，并利用(3-28 )及(3-30)，贝y单流体的质量连续性方程为(3-34)(mU) 0(3-35)(2) 动量平衡方程为了得到单一流体的动量平衡方程，我们假定：等离子体是准中性的，即ne ni n。这样根据电子和离子的动量平衡方程,mA Ue UePe eneE eneUe B(3-36)mn Ui

10、 UiPi enE enUi B Rie(3-37)得到单一流体的动量平衡方程为其中利用了如下简化假设:dUccmP j B由于电子的质量比离子质量小的多，略去了电子的(3-38)惯性项，和电中性条件：nine n，及 PPep，jen(UiUe)，u Ui，Rei Rie。(3) 广义欧姆定律由关系:riine n，jen (Ui Ue)，得：Ue BUiB丿en由关系：Reimene ei(Ui Ue)，ne2/(me ei)得：Reimen'eei(UiUe)也略去(3-36)中的对流项,得:Peen E u B j B enj /(3-40)E U B -(j B)Peen这就

11、是广义欧姆定律。对于简单的欧姆定律有(3-41)是等离子体的电导率。因此，广义欧姆定律中，多了如下几项:(1) (u B)，磁流体运动引起电流;(2) (j B):等离子体受到洛兹力作用而运动产生的电流。 en(3) 一 Pe :由于压力梯度而产生的电流变化。en这样采用单流体模型，等离子体的MHD方程为:再加上Maxwell方程组构成了一套封闭的方程组(设mtu m 7(mU)B/0j(3-43)訥 B)Pe(3-44)P已知，由状态方程给出)。单流体MHD方程常用于描述等离子体装置的平衡与稳定，也可以用于描述等离子体中的波动现象。用单流体的MHD方程描述等离子体中的波动现象比用双流体的 M

12、HE方程描述精 确性差，这是因为在推导单流 MHD方程时，做了一些简化假定。对于一些低频过程，可以略去 Maxwell方程组中的E/ t ;另外对于低温过程，还可以略去广义欧姆定律中的压力梯度项Pe。 j B项与 enu B 项相比,也可以略去。这样简化的单流体 MH程为:mtum7E u B(mU)(3-45)j/B/0j(3-46)对于理想等离子体,还可以略去j/项，这样理想等离子体的MHD方程为:mtumtE uEB(mU)0B 0B/ t0j(3-47)F节我们将利用上述方程研究等离子体的MHDR衡与稳定。§ 3.4 MHD平衡与稳定 1平衡与稳定的概念对于一个磁约束的等离子

13、体系统，人们所关心的首要问题是系统的受力是否平衡？如果受力能达到平衡，接下来的问题的就是这种平衡状态是否稳定, 即系统受到小的扰动后，对平衡状态的偏离幅度是否大？下面我们用数学的语言来描述平衡与稳定问题。设 X0是系统处在平衡状态下的某一物理量，满足如下方程:f(Xo)0(3-48)如果对系统施加一个扰动，使得物理量X0变为x(t)X0X1，且x(t)满足如下运动dXfx(t)dt设扰动是微扰动，则可以将方程(3.49 )线性化：dx(t)-f'(X0)X1dt方程:(3-49)(3-50)设扰动量X1可以表示成山X1(t)exp( i t)的形式，由此可以求出扰动频率为:if 

14、9;(xo)(3-51 )如果Im( ) f'(X0)0 ,则表明扰动会很快地被衰减掉，则系统对应的平衡状态是稳定的。反之，lm()f'(X0)0，则表明平衡状态f(X0)0是不稳定的。我们也可以用下图4形说明平衡与稳定问题。图4a对应的是稳定平衡，因为小球偏离平衡位置后,仍能恢复到原来的状态；而图4b则对应的是不稳定的平衡，小球一旦受到扰动，将会逐渐地偏离其平衡位置，不会自动复原。图闻如不稳定的平術F面利用上节得到的简单的 MH方程，来分析以下等离子体体系的平衡问题。2. MHD平衡对于一般的磁约束系统，研究其平衡问题是极其复杂的。下面我们从稳态 的MH方程出发，给出等离子体

15、平衡状态的一些性质。对稳定的状态，等离子体系统的 MH方程为（见3-7）Maxwell方程为:Boj(3-53)由方程（2-52）可以看出:（a）抗磁性电流压力梯度 P和洛仑兹力j B是维持系统处在平 衡状态的必要条件。为了说明这个问题，我们以一个 柱状的等离子体系统为例，压强梯度P指向轴心，见图5,为了消除等离子体向外膨胀，就必须在极向上施加一电流j，它与磁场作用产生的洛仑兹力正好与膨胀力相抵消。 方程（3-52）用B叉乘B (j两边，B) jB2 B(j B) B2j (j b)b j B2B P , r T、B n2kB（Te Ti ） 2BB这个电流称为抗磁性电流。从单粒子的观点看，抗

16、磁性电流是由于粒子在磁场中做拉莫回旋运动时，受到密度梯度的作用使导向中心发生漂移而形成电流的结果。从流体力学的观点看，抗磁性电流是由于穿越磁可以得到：j(3-54)尊雄面Pr数(3-52)实用标准文案场的压强梯度形成的，产生的电流与磁场作用形成的洛仑兹力恰好与压强力相 抵消。（b）等压面 由方程（3-52）, j P 0, B P 0,说明沿j和B方向压强是不变的，电流和磁场的方向都在等压面上，j和B都与P垂直。当人们在设计复杂的磁场位形6,存在一个径磁力线和电时，必顺考虑到这一点。设想有一个环形的等离子体系统，见图 向的压强梯度 P,即等离子体由一层层等压面所包围。一般地讲,流线可以这样和那

17、样的弯曲，但不能穿越等压面。（C）磁压力和磁张力由关系:B0j ,B)1B (B0B2上面用到了关系:(ab)(b)a)(a)b (b)a又由于： （BB）(B)BB)B (B）B，由此相应的磁力为1(BB012tb2i2 01b2)-BB0(3-55)T BB般取const (常数),因此上式有面第二项r B2被称为磁压力，是热压力的对应量.磁压力的方向从磁场强处指向磁场弱处 （见 图1.6 ）,它和热压力一样可以使磁场的疏密（即磁场的强弱）扰动向外传播, 这时所产生的波和声波一样是纵波，称为（慢）磁声波.如果热压力和磁压力 精彩文档同时驱动磁流体的扰动向外传播，就会产生波速更快的快磁声波.

18、而另一项 （BB/ ）则称为磁张力，它可以进一步改写成物理意义更清楚的形式r rBB-(B1)B B B1 r -B(b)Bt)1 r B(brrB)b B2(b1 1 rr1丄bbB2 B2rrrb)r r r2其中b B/B是B方向上的单位矢量，rdb/dl| ,而方向则指向磁力线上此点的曲率中心（见图b b是磁力线上某点的曲率，其绝对值1.7 ）.当磁力线是一根直线时，其上各处的曲率 均为零。图）.6 压力因此磁张力也处处为零，和磁场的强弱无关,这是和磁压力不同的.当磁场（力线）是弯曲的时候，例如从图 1.8中的Z0/2处来看，这时指向曲率中心的磁张 力可以看成由两个沿着磁力线正、反方向

19、的分力合成的合力，因此称为磁张 力.它和橡皮筋在横向弹拉时产生的弹性张力相似，因此许多人把磁力线描述 成弹性的橡皮筋，但这只是反映了磁张力的性质，而没有包括磁压力的性质在 内.磁张力由于和弹性力相似，所以可以在沿磁力线方向上驱动出横向的磁流体波.对于理想磁流体，由于流体和磁力线冻结在一起，故此波既是电磁的横波也是流体的横波，称为阿尔文（Alfven ）波或者剪切阿尔文波.F面给出磁张力和磁压力在磁力线坐标（i,?2,b）中的表达式丄B2rbb B2B22图1.S磁张力在此坐标系中rrbbdl|dl 1精彩文档所以最后有F Ib此式表明，磁压力只作用在垂直于磁场的方向上,在平行于磁场的方向上并不

20、存在磁压力.和磁张力能驱动出沿磁力线传播的磁流体力学横波不同,磁压力能驱动出横越磁力线传播的磁流体力学纵波.把方程（3-52 ）与（3-53）联立,还可以得到:1P (B)0112B (B )B - B202(P六2 0B2)(B )B0对于大多数磁约束系统，沿着B的方向磁场是不变的，即，因此(B )B B B/ S 0，因此有(P $)02 0(3-56)B2P const2 0其中b2/2 0称为磁压强，（3-56 ）式表明：等离子体的压强和磁压强之和为一常 量，即在密度高的地方磁场小，密度低的地方磁场强。（d）等离子体的值(3-57)等离子体压力和磁压力的之比称为等离子体的值:2P B

21、/(2 0)它是聚变等离子体系统中的一个重要的参量。反应了约束一定热压强的等离子体需要多强的磁场。通常0（r） 1，认为值愈大，约束就愈好。为了达到聚 变反应，必须使等离子体的温度增高（P增大），磁场减小，即提高 值。实际 上，产生高 值的等离子体是相当困难的。§ 3.5磁扩散和磁冻结对于磁场一等离子体系统：磁场是否能在等离子体中进行扩散？现在考虑无磁场的等离子体区域和无等离子体的磁场区域之间存在一条边界。如果等离 子体的电导率 为无穷（理想情况），则磁场象导体一样被排斥在等离子体的外 面，不能进行扩散。实际上，等离子体的电导率是有限的，磁场可以在等离子 体中扩散，反之亦然。磁场在等离子体中扩散需要一定的时间。下面我们采用MHM程估计一下磁场扩散的特征时间。为简单起见，我们假设等离子体处于静止状态，即u 0,而磁场由于扩散在等离子体中运动。这时广义欧姆定律退化成简单的欧姆定律E j/(3-58)根据Maxwell方程组B/ t0j(3-59)及（3-58）,可以得到磁场的运动方程(3-60)这是一个典型的扩散方程。为了粗略地估计磁场扩散的特征时间， 我们取磁场B 变化的空间尺度为L,则有:(3-61)该方程的解B(t)B(0)e t/(3-62)其中0 L2(3-63)反比即为磁场扩散的特征时