线性代数证明题

1、线性代数证明题1设4 是非零的四维列向量,A(4), A*为A的伴随矩阵，已知Ax 0的基础解系为 (1,0, 2,0) T ，证明234 是方程组 A* x 0的基础解系 .2.设A是n阶矩阵，且An 0，则EnA 必是可逆矩阵。3. A, B,C均是n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若 ABC E ,证明：BCA E 4.设3级方阵A,B满足2A1B B 4E ,证明：A 2E可逆，并求其逆.5.设A是一个n级方阵，且R(A) r，证明：存在一个n级可逆矩阵P使PAP 1的后n r行全为零 .6设矩阵 Amn,Bn m ,且m n,AB E,证明：A的行向量组线性无关.7.如果 A2A,称A为幕

2、等矩阵.设A,B为n阶幕等矩阵，证明： A B是幕等矩阵的充要条件是 ABBA 0.8.如果对称矩阵 A为非奇异，试证：A 1也是对称矩阵9.设A, B, C都是n阶方阵，且C可逆，C 1( C1B E)A ,1证明：A可逆且A (B C)。k10. 设 A 0,其中 k 为正整数,证明： (E A)1EA A2Ak1211.设方阵A满足A -A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求11A 1及( A 2E) 112. 试证：对任意方阵 A ，均有 AAT 为对称矩阵，AT 为反对称矩阵。13. 证明 R(A) 1的充分必要条件是存在非零列向量和非零行向量 T ,使 A14.设A为列满秩矩阵

3、， AB C，证明方程BX0与 CX0同解15.设A为m n矩阵，证明方程AX Em有解R(A)16.向量组 A能 用向量组 B表示，则 R(A)<=R(B)17.设A, B分别为m n,n m矩阵，则齐次方程组ABx当 m n 时必有非零解。18、设112,223, 334441,证明向量组1,2,3,4线性相关.19.向量组 1,2,3与向量组1 ,2,3等价的充分必要条件为：r(1,2,3 )r( 1 ,2,3)r( 1, 2,3 ,1,2,3)20.设A为mn矩阵，B为nm矩阵，AB为可逆矩阵，且mn，则B的列向量组线性无关。21.V1x(X1,X2,L Xn)TX1,L , X

4、nR, X1 L Xn 0 ,证明V1是向量空间22.设向量 11 2， 223，323 ,rr1且向量组ai ,a2,L ,r线性无关，证明向量组 b,b2丄,br线性无关。23.设A,B都是n阶矩阵，且AB= 0。证明 R A R24.设A是m n矩阵,B是n m矩阵，且m n，证明AB25.已知向量组2,Lm中任一向量i都不是它前面i-1个向量的线性组合，且10 ,证明m的秩为m .26.设有两个向量组 A：1,2丄，rB：1，证明向量组A的秩等于向量组B的秩.27.设有一个含m个向量的向量组m(m>2),且1 +2 + L + m ,证明向量组1,2,L ,m线性无关的充分必要条

5、件是2,L , m线性无关.28.设向量组1,2,L , m线性无关，向量 1可由向量组A线性表示，而向量2不能由向量组 A线性表示.证明向量组1, 2,L , m, l 12线性无关（其中I为常数）.29.设1, 2, Ls线性无关,2+L + s s，其中i ，证明2i+1,Ls线性无关.30.已知向量组3线性相关，向量组4线性无关，证明(1)1可由2,3线性表示;4不能由3线性表示.31设 V1 是由 a1(1,1,0, 0)T ,a2 (1,0,1,1)T所生成的向量空间，V2是由b1(2, 1,3, 3)t , d (0,1,1, 1)T所生成的向量空间，试证V1= V2.32证明由

6、 1(0,1,1)T,(1,0,1)(1,1,0)T所生成的向量空间就是R3 33.向量组 A： a1,a2, an ;B:；C： a1, a2 ,an , 1 ,2,m，证明:max(r(A),r(B) r(C)r(A) r(B)33.设A, B是同型矩阵,证明R(AB)R(A) R(B) 34.证明n维向量组ai,a2丄，a.线性无关的充分必要条件是，任n维向量都可由ai, a2,L , an线性表示.35.设n阶矩阵A满足A2A , E为n阶单位阵，证明R (A) R ( A E )36.设向量组a1, a2 ,ar是齐次线性方程组 AX=O的一个基础解系,向量B不是方程组AX=O的解，

7、即A 丰0,求证:r线性无关。37.对于矩阵 Amn,Bns ,有 MA r(B) (AB)证明：构造如下矩阵 C AB00,显然有r(C)Enr(AB)n，对C作如下变换:用A乘以第二行再加到第一行得到AB0AEn用第一列减去第二列右乘B得到A,而EnEnr(A) r(B)故 r(C) r(AB) n r(A) r(B)38.设A , B均为n阶矩阵，且A与EAB都可逆，证明EBA可逆.39.设向量组112； 22 213，33 3；。若已知向量组1， 2,3线性无关，问向量组3是否线性相关，请证明之140.如果A - B I ,证明：当且仅当B2 I 时，A2 A41.若A是n阶方阵，且A

8、AI ,|A1,证明42.设n为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，EA 1|0。其中I为单位矩阵。E 2,，E r是其导出组Ax=0的一个基2,础解系.证明n,E 1,E 2,，E r线性无关.43.设向量组1, 2, 3线性无关，且k1 1k2k33 .证明：若ki丰0，则向量组2,3也线性无关.44.已知3,4线性无关，证明:3,34,41线性无关.45.设向量k线性无关,1<j < k.证明:46.设1,2,3线性无关，证明1, 1 22,3也线性无关.47.设方阵A满足A2 A 2E O 证明A及A2E都可逆并求A 1及(A 2E)48.设矩阵A、B及A B都可逆 证明A

9、1 B1也可逆并求其逆阵49.证明R(A) 1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT，使 Aab 。k线性无关.50.设A为m n矩阵，若 AX AY，且R(A) n，则X Y。证：将m s矩阵X, Y按列分块为X X1X2Xs , Yy1 y2ys如果AX即A(XX1y1X2y2AY，且 R(A) n ；Y) 0，且 R(A) n亦即 A(Xj yj)0,且 R(A)次线性方程组AX 0只有零解,亦即Xjyj ,1,2,Xsysn ,那么根据齐次线性方程组的理论,A(Xj yj)0只有零解，即Xj,s，故 X Y。当 R(A)yj 0 ,n时，齐51.已知 R(a1 a 2 a 3)2 R(a 2 a 3a 4)3 证明(1) a 1能由32a 3线性