多元函数的基本概念 ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 推广推广第九章第九章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第一节第一节一、平面点集一、平面点集二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 目录 上页 下页 返回 结束 本节重点 了解多元函数的基本概念 会求函数的定义域 会求简单的多元函数的极限 知道极限不存在的说明方法目录 上页 下页 返回 结束 平面点

2、集，n维空间目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 平面点集平面点集 n n维空间维空间直线直线R中的点集中的点集 |Rxx 实数集，一维空间实数集，一维空间 | , Ax axba b区间区间ab1,2,3, ,Nn自然数集自然数集目录 上页 下页 返回 结束 1、平面点集、平面点集2( , )|,Rx yx y 实平面，二维空间，实平面，二维空间，坐标平面坐标平面2R( , )| ,Ex yx yP具有性质222C( , )|, x yxya圆盘Ca平面点集平面点集目录 上页 下页 返回 结束 常见平面点集常见平面点集| ),(222ayxyxB1| ),(2xyxyxC圆域目录 上页 下

3、页 返回 结束 圆环域1|),(yxyxD41 | ),(22yxyxE目录 上页 下页 返回 结束 空间点集,| ),(3zyxzyxR实空间，三维空间| ),(2222azyxzyxA球面| ),(2222azyxzyxB球体目录 上页 下页 返回 结束 | ),(22222yxazyxzyxC22yxz222yxaz目录 上页 下页 返回 结束 | ),(22222yxazyxzyxC球顶锥体目录 上页 下页 返回 结束 2. 邻域回忆： R中的邻域；00(, ) |U xx xx00 |x xxx00(,)xx0 x0 x0 xx目录 上页 下页 返回 结束 0P ),(0 PU |0

4、PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 平面中的邻域点P0 x0，y0的邻域；空间中的邻域点P0 x0，y0，z0的邻域；),(0 PU |0PPP222000( , )|()()().x yxxyyzz目录 上页 下页 返回 结束 )(0oPPUPP 00说明：若不需要强调邻域半径说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成也可写成点 P0 的去心邻域记为0()U P目录 上页 下页 返回 结束 3. 区域(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P)

5、既含 E中的内点也含 EE则称 P 为 E 的内点；则称 P 为 E 的外点 ;则称 P 为 E 的边界点 .的外点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 聚点与孤立点若对任意给定的 ,点P 的去心),PU(E邻域内总有E 中的点 , 那么称 P 是 E 的聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 )所有聚点所成的点集称为 E 的导集 ，记作 .E目录 上页 下页 返回 结束 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；EP 41),(221 y

6、xyxE例如，例如，即为开集即为开集开集不包含它的任何边界点 若点集 E E , 则称 E 为闭集； E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;点集E是闭集，是指它包含了它的每一个非孤立的边界点。EP 22( , )|01x yxy例如例如,即为闭集即为闭集(3) 开集与闭集目录 上页 下页 返回 结束 D(4) 开区域及闭区域 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;。 。目录 上页 下页 返回 结束 例如，在平面上例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),

7、( yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyOxy21OxyOxy21O目录 上页 下页 返回 结束 整个平面 点集 1),(xyx是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ;但非区域 .11 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 界域界域 .否则称为无xyO目录 上页 下页 返回 结束 二元函数的概念目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式,2hrV ,(为常数）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrh

8、r0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappShr目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1. 设非空点集设非空点集,nDRDPPfu, )(或点集 D 称为函数的定义域 ; 数集DP,Pfuu)(称为函数的值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数2),(),(RDyxyxfz当 n = 3 时, 有三元函数3),(),(RDzyxzyxfu映射RDf :称为定义在 D 上的 n 元函数 , 记作),(21nxxxfu目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的定义域多元函数的定义域多元函数的定义域：明确指定或约定定义域的约定：使函数表达式

9、有意义的所有点的集合。目录 上页 下页 返回 结束 xzy例如, 二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面., )sin(,yxz 又如的图形一般为空间曲面 .12),(Ryx三元函数 )arcsin(222zyxu定义域为1),(222zyxzyx图形为4R空间中的超曲面.单位闭球xyzOOO目录 上页 下页 返回 结束 二元函数的图形目录 上页 下页 返回 结束 ),(),(| ),(Dyxyxfzzyx目录 上页 下页 返回 结束 一张曲面二元函数的图形通常是目录 上页 下页 返回

10、结束 二元函数的例子22yxz旋转抛物面目录 上页 下页 返回 结束 222yxaz上半球面22yxz正圆锥面目录 上页 下页 返回 结束 22xRz上半圆柱面231yxz平面目录 上页 下页 返回 结束 复杂的二元函数的例子yxzsinsin22sinyxz22yxxyez目录 上页 下页 返回 结束 一个二元函数并非每一个曲面都表示222zyx22yxz22yxz目录 上页 下页 返回 结束 2222Rzyx222yxRz222yxRz目录 上页 下页 返回 结束 求多元函数的表达式例 设 ， 22(,)f xy xyxy求 ( , )f x y解 因为 2(,)()2xyxfxyyxy得

11、2( , )( )2fuvuv所以2( , )2f x yxy目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极限多元函数的极限目录 上页 下页 返回 结束 三、多元函数的极限三、多元函数的极限回忆：一元函数的极限:)(lim0Axfxx.|)(|0:0, 00Axfxxx对.|)(|),(0AxfxUxo或对目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明：（1定义中定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2二元函数的极限也叫二重极限二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3二元函数的极限运算法则与一元函数类似二元函数的极限运算法则与一元函数类似目录 上页 下页 返回 结束 例

12、例1 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立目录 上页 下页 返回 结束 若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设设 P(x , y) 沿直线沿直线 y = k x 趋于点趋于点 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点 (0, 0) 的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则有21kkk 值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限

13、不存在 .以不同方式趋于,),(000时yxP不存在 .例例2. 讨论函数讨论函数函数目录 上页 下页 返回 结束 仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.注注. 二重极限二重极限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例2 知它在(0,0)点二重极限不存在 .目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极限运算法则与一元函数类似，比如 四则运算法则 夹逼准则 等价无穷小代换

14、因式代换） 但罗比达法则不再成立！目录 上页 下页 返回 结束 例例3 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的连续性多元函数的连续性目录 上页 下页 返回 结束 四、四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 . 设设 二二 元函数元函数)(Pf定义在 D 上,0000(

15、 , )(,)lim( , )(,)x yxyf x yf xy0)(PPf在点如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上000P(x ,y ) D,聚点假如否则称为不连续,0P此时称为间断点 .则称 二元函数连续.连续, 回忆一元函数的连续性回忆一元函数的连续性000lim( )()xxfxf xf x在 连续目录 上页 下页 返回 结束 例如例如, 函数函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.目录 上页 下页 返回 结束 结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续.

16、多元初等函数；多元初等函数； 由多元多项式及基本初等函数经过由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数式子所表示的多元函数叫多元初等函数定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。初等函数初等函数sin()xy()xyxy e2()(2)xyxy处处连续处处连续又如又如, 函数函数11),(22yxyxf上间断.122 yx在圆周目录 上页 下页 返回 结束 例例4.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式

17、式111lim00 xyyx.21 00000lim( )( )( )( )lim( )().PPPPf Pf PPf Pf PPf Pf P一般地，求时，如果是初等函数，且是的定义域的内点，则在点处连续，于是目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 证明证明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面连续.证证:,)0 , 0(),(处在yx),(yxf为初等函数 , 故连续.又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函数在全平面连续 .由夹逼准则得目录 上页 下页 返回 结束 课内练习课内练习 p63,6(6) 222222001 cos()lim.()x yxyxyxye02222)()cos(1lim22220yxyxeyxyx2222)()(21lim222220yxyxeyxyx222222001 co