【KS5U解析】安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（九）数学（文）试题 Word版含解析

1、2020届模拟09文科数学测试范围：学科内综合共150分，考试时间120分钟第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设复数满足（为虚数单位），则（ ）a. 0b. c. 2d. 【答案】b【解析】【分析】通过复数的除法求出,由复数和共轭复数的关系进而可求出.【详解】解:注意到,则故选:b.【点睛】本题考查了共轭复数,考查了复数的运算.2.在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样

2、目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则的真子集个数为（ ）a. 3b. 4c. 7d. 8【答案】c【解析】【分析】根据自恋数的定义,求出;用列举法表示出,求出交集后,由交集中元素个数,即可求出真子集个数.【详解】解:依题意,故,故的真子集个数为7故选:c.【点睛】本题考查了集合的运算,考查了真子集的涵义.若集合中元素个数有 个,则其子集有 个,真子集有 个,非空子集有个,非空真子集有个.3.已知，则“”是“”的（ ）a. 充分不必

3、要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】c【解析】【分析】以为条件,判断能否推出;反之以为条件,判断能否推出,即可选择正确答案.【详解】解:由,得即,从而.以上推导过程均是可逆的故选:c.【点睛】本题考查了充分和必要条件.判断两个命题的关系时,通常分两步,若,则 是 的充分条件, 是的必要条件;反之,若则 是 的必要条件, 是的充分条件.4.用表示中的最大值，若，则的最小值为（ ）a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】b【解析】【分析】令,求出分界点,结合函数的图像进行讨论,求出,进而可求最小值.【详解】解:可知当时,此时.当时,可得,此时当时,此时.综上,

4、可得当或时取得最小值1故选:b.【点睛】本题考查了函数的最值,考查了分段函数.求函数最值时,常用的方法有图像法,单调性法,导数法.对于分段函数求最值时,往往画出函数图像进行分析求值.5.如图，圆过正六边形的两个顶点，记圆与正六边形的公共部分为，则往正六边形内投掷一点，该点不落在内的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】不妨设,求出正六边形的面积以及的面积,结合几何概型,可求所求的概率.【详解】解:依题意,不妨设,故正六边形的面积公共部分为的面积.故所求概率故选:d【点睛】本题考查了几何概型.当题目已知为平面区域,在求概率时,往往用面积之比;当已知为射线问题时,往往用角度

5、之比;当已知为区间时,往往用长度之比;当已知为几何体时,往往用体积之比.6.已知正项等比数列的前项和为，且，若，则的大小关系为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由，求出公比，进而可求，明确，即可比较大小.【详解】解依题意,，故，则，因为，故.故选:b.【点睛】本题考查了等比数列，考查了等比数列前 项和，考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质.对于两个 型的数值在比较大小时，若底数相同，则结合指数函数的单调性判断；若指数相同则可结合幂函数的图像、性质进行判断；若底数、指数均不相同，则可找到中间量进行比较.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，根据图中三视图，求得该几何体

6、的表面积为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由三视图可知,原几何体为半球体与圆柱体拼接而成,且半径为2, 高为2.进而可求表面积.【详解】解:将三视图还原,可知原几何体由半球体与圆柱体拼接而成其中半球体半径为2,圆柱体的底面半径为2,高为2.故所求几何体的表面积故选:c.【点睛】本题考查了三视图,考查了圆柱的表面积,考查了球的表面积.由三视图求几何体的表面积时,需要由三视图还原几何体.本题的难点也正是几何体的还原.本题的易错点是求表面积时,多加、少加了底面的面积.8.已知单位向量夹角为，若向量，且，则（ ）a. 2b. 4c. 8d. 16【答案】b【解析】【分析】由可知

7、,进而可求出,从而明确了,即可求其模.【详解】解:依题意，故，故，故.解得，故，故，故.故选：b.【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了向量模的求法.对于向量问题，若已知两个向量垂直，则可知.求解向量的模时，可代入进行求解.9.执行如图所示的程序框图，若输出的的值是35，则判断框内应补充的条件为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据流程图，由开始，分别进行若干循环，探究跳出循环时的值，从而可得正确答案.【详解】当，可得；当，可得；当,，可得；当，可得；当，可得；当，可得；当，可得；当，可得；当，可得；当，可得.故判断框内应补充的条件为.故选：c.【点睛】本题考查了流程图.

8、对于已知结果补充流程图问题，常考的为循环框图，往往采用代入选项进行验证的方法.此类题型的易错点为：临界点能正确求出,但不能正确写出判断条件.10.过椭圆一个焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，是原点，若是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】焦点坐标代入椭圆方程中可求出交点坐标,结合是等边三角形,可知,结合椭圆中 的取值范围,可求椭圆的离心率.【详解】解:不妨设题中的焦点为椭圆的右焦点,将焦点坐标代入椭圆方程中得两交点坐标分别为.由于是等边三角形,则可得从而,即,解之得或(舍去)故选:d.【点睛】本题考查了椭圆离心率的求解.本题的关键是由等边三角形

9、求出 的关系式.本题的易错点是忽略椭圆中离心率的取值范围,没能进行正确取舍.11.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是 （ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由图象可得当 ， ，故可排除c，因为当 时， .当 ，可得 ，而当 时， ，故可排除d选项，当 时， ，故可排除a选项，本题选择b选项.12.设定义在上的函数满足任意都有，且时，则、的大小关系是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据先确定是周期为4的函数，进而可得，再构造函数，结合条件判断其单调性，即可得出结果.【详解】因为函数满足任意都有，所以，则是周期为4的函数.则有，.设，则导数为，又由时，则，所

10、以函数在上单调递增；则有，即，即，变形可得.故选a【点睛】本题主要考查函数的周期性和利用导数研究函数的单调性，结合题意构造函数，对新函数求导，判断出其单调性，即可求解，属于常考题型.第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上）13.已知函数，则函数图象的对称轴为_.【答案】【解析】【分析】由,进而由诱导公式及二倍角公式可知, .令，从而可求函数的对称轴.【详解】解:依题意,由得,故的图象关于直线对称.故答案为: 【点睛】本题考查了诱导公式,考查了二倍角公式,考查了三角函数对称轴的求法.对于,采用整体的思想,令 可求对称轴,令,可求对称中心的

11、横坐标.本题的易错点有两个,一是最后答案未写成 的形式;二是解时,未除以.14.已知直线与直线相互垂直，点到圆的最短距离为3，则_.【答案】2【解析】【分析】根据题设条件可得关于的方程组，求出其解后可得的值.【详解】依题意，解得，或，（舍），故.故答案为：2.【点睛】本题考查两直线的垂直以及定点到圆上动点的距离的最值问题，本题属于基础题.15.已知点满足，求的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】画出满足约束条件的可行域, 将看作阴影部分区域内的点与点连线的斜率,通过分析可求 的最值,从而可求的最值.【详解】解:不等式组所表示的平面区域如图所示阴影部分(包括边界),其中为直线的交点, 计算可得

12、三点坐标分别为表示阴影部分区域内的点与点连线的斜率由图象可得的最大值为的最小值为,故,从而.故答案为: .【点睛】本题考查了线性规划问题.在求目标函数最值时,常见的目标函数有三种形式,一是 型,此时将 当做直线与 轴的截距相关的量;二是,此时将看作是可行域内一点与 连线的斜率;三是,此时将看作是可行域内一点与的距离的平方.16.已知数列的前项和，数列对，有，求_.【答案】 【解析】由条件 可得 ，当 ， ，从而数列 的通项公式 .当 时，由得 ，将此二式相减，可得 ， .当 时，得 ，符合表达式 ，故数列 的通项公式为 ，从而 .点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递

13、推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在中，角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求.【答案】(1)2;(2).【解析】【分析】(1)由整理可知,进而求出的值,结合正弦定理即可求出.(2)由整理可知,进而由余弦定理可求、,从而可求 .【详解】解:(1)由得即,解得或(舍去)由正弦定理得.（2）由余弦定理得,将代入得,解得.由余弦定理得，又为三角

14、形内角，故，又，从而.【点睛】本题考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角恒等变换.若题目已知角的等式求边的关系时,常结合正弦定理、余弦定理进行边角互化.已知两角及一角的对边,常选择正弦定理解三角形;已知两边及其夹角或者已知三边时,常用余弦定理解三角形.18.如图，正三棱柱中，为中点，为上的一点，.（1）若平面，求证：.（2）平面将棱柱分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积为，求.【答案】（1）证明过程见解析；（2）【解析】试题分析：(1)由题意可得四点在同一个平面上，则易知.(2)由题意转化顶点可求得棱锥的体积，.试题解析：（1）如图，取中点，连接.棱柱为正三棱柱

15、， 为正三角形，侧棱两两平行且都垂直于平面. ， 平面， 平面， 平面， ，四点在同一个平面上. 平面，平面，平面平面， ， ， ，为中点，即.（2）正三棱柱的底面积，则体积.下面一个几何体为四棱锥，底面积，因为平面平面，过点作边上的高线，由平面与平面垂直的性质可得此高线垂直于平面，故四棱锥的高，则，从而.19.为了调查某厂工人生产某件产品的效率，随机抽查了100名工人某天生产该产品的数量，所取样本数据分组区间为，由此得到如图所示频率分布直方图.（1）求的值并估计该厂工人一天生产此产品数量的平均值；（2）从生产产品数量在的四组工人中，用分层抽样方法抽取13人，则每层各应抽取多少人？【答案】(1

16、);57.35;(2)6人,4人,2人,1人.【解析】【分析】(1)由长方形的面积和为1,可求的值.求出各长方形的面积与中点积的和即为平均值.(2)100与四组频率之积,即可分别求出四组分别有多少人,结合总的抽取人数,即可求出每组抽取的人数.【详解】解:(1)由于小矩形的面积之和为1,则，由此可得.该厂工人一天生产此产品数量的平均值为.(2)生产产品数量在的工人有人，生产产品数量在的工人有人，生产产品数量在的工人有人，生产产品数量在的工人有人.则四组工人抽取人数分别为人，人，人，人.【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了由频率分布直方图估计平均数，考查分层抽样.对于频率分布直方图，常用的的公

17、式即为长方形的面积为该组频率，所有长方形的面积之和为1.对于分层抽样的题型，关键是求出抽样比.20.已知是曲线上的动点，且点到的距离比它到x轴的距离大1.直线与直线的交点为.（1）求曲线的轨迹方程；（2）已知是曲线上不同的两点，线段的垂直垂直平分线交曲线于两点，若的中点为，则是否存在点，使得四点内接于以点为圆心的圆上；若存在，求出点坐标以及圆的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)存在,.【解析】【分析】(1)由点到的距离比它到轴的距离大1可知, 点的轨迹为抛物线,即可求出轨迹方程.(2) 设,点差法结合中点,可求出,从而可求直线的方程是,直线的方程是,分别与联立,求出交点的坐标,求

18、出到四点距离均相等的点即为圆心,该距离即为半径,即可求出圆的方程.【详解】解:(1)因为点到的距离比它到轴的距离大1,则点到的距离与点到直线的距离相等.故点的轨迹为抛物线焦点为,则.即曲线的轨迹方程为.（2）联立,解得,故.设,则,根据点差法,两式相减整理得.所以直线的方程是直线的斜率为 ,则直线的方程是联立,解得从而有.联立,得,则设的中点为,则,从而有故四点共圆且为圆心,故圆的方程是.【点睛】本题考查了点轨迹方程的求解,考查了抛物线的定义,考查了直线与抛物线的相交问题,考查圆的方程,考查了弦长问题.求解点的轨迹方程时,常用的方法是设出点的坐标,由题意找到横纵坐标的等量关系,即可得到轨迹方程

19、;但对于某些题,当点的轨迹是特殊图形时,如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线,我们可先判断出点的轨迹形状,再根据具体形状的定义等求方程.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在区间上有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）详解见解析；（2）【解析】【分析】(1)首先求得函数的导函数，然后分类讨论求得函数的单调区间即可；(2)结合(1)的结论，利用导函数与原函数的关系整理可得的取值范围是.【详解】（1）的定义域为，令可得或.下面分三种情况.当时，可得，由得，由得，此时的单调递增区间为，单调递减区间为.当时，由得或，由得，此时的单调递增区间为，单调递减区间为.当时，在区间上单调递增.(2)由（1

20、）得，当时，在处取得最小值，且在区间内先减后增，又，要使得在区间上有两个零点，必须有且，由此可得.当时，显然在区间上不存在两个零点.当时，由（1）得在区间内先减后增，又，故此时在区间上不存在两个零点. 当时，由（1）得在区间内先增，先减，后增.又,，故此时在区间上不存在两个零点.当时，由（1）得在区间上单调递增，在区间上不存在两个零点.综上，的取值范围是.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性以及函数的零点，前者需结合导数的符号来讨论，后者应利用函数的单调性以及零点存在定理来讨论，本题属于难题.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数).（1）求曲线的直角坐标系方程和直线的普通方程；（2）点在曲线上，且到直线的距离为，求符合条件的点的直角坐标.【答案】(1),;(2), ,.【解析】【分析】(1) 两边同时乘以,结合 即可求解;对于直线,消除参数即可得普通方程.(2)由题意求出曲线的参数方程为,由到直线的距离为,可知,整理后可求出 的值,从而可得答案.【详解】解:(1)由曲线的极坐标方程为,则即,得其标准方程为.直线参数方程为(