20分部积分法

1、亠、分部积分公式r问题 xcosxdx-? 当被积函数是两个不同类型函数的乘积时， 换元积分法不一定有效。解决思路利用两个函数乘积的求导法则. 设函数比=比（兀）和v =卩（兀）具有连续导数，(wv) -uv + uv uvr = (wv) -itv,ufvdx两边积分得注:Judv = uv(1)分部积分公式的作用：当左边的积分 不易求得，而右边的积分容易求得， 利用分部积分公式化难为易.(2)利用分部积分法的关键是：被积函数 的哪部分看作 ,哪一部分凑成右 o彳列1求f x cos xdx此积分用直接积分法不易求得结果，现试用 分部积分法求它.但怎样选取%和dv解：方法一设 u = x,d

2、v = cos xdx = rf(sinx)贝 Ix cos xdx = xdsinxsinxdx=x sin x xsinx + cosx + C方法二2、X设 u = cos x, dv = xdx - d)xcsxdx = cos xd J 22 X兀2兀亍 COS x-j -y-J (cos x)X2cos% 2J 222sin xdx而上式右端比原来的积分更不易求出. 所以不可以这样做.=1假若被积函数是两类基本初等函数的乘积，那 么经验告诉我们在很多情况下可采用如下方法来选选择况和du时，可按照反三角函数、对数函数、幕函数、三角函数、指数函数的顺序（即“反、对、幕、三、指”的顺序）

3、把排在前面的那类函数选作u ,而把排在后面的那类函数选 作八例2求扛孑必解设u = x,v, = ex,则dv = exdx = dex,代入公式，得=xex - f exdx= xex -ex +C 二“(%_l)+ c 例3、求 Jlnxck. x In x J xd In x=xlnx-= xlnx-Jldx-xnx-x+.练习：求下列不定积分1、xsin xdx 2、x2exdx.3、xln xdx.解：令u原式=xsin xdx=x, sm xdx =d(- cos x), j xd(- cos x) = xdcosx-xcosx- fcos-%cosx + sin x + Cx2e

4、xdx.原式=j x2dex=x2ex 一 exdx=x2ex 2 xexdx = x2ex - 2J xdex=x2e x - 2(xeA - e xdx)-无F _ 2(xe v ex)-bC=x (%2 2x +1) + C.原式=xh xdx.1 r1-In xdx2 =-x2hx-x2dhx2J=-(x2 In x-2V1(1%2 In x %2 + C1 9 1 ?=x In x x + C2422厶、厶丿"Tins d0 +(X S03 - X uis) =xpx UISX J(XS03-XUJS)x =1(XSOJpxj XSO3 xa) XUIS xa = Pxj-

5、xnisxa = Xpxsoxaj-xuisxa = x Ufspj f-x uisxa =“m忆叮奉评勿例5 求 f xarctanxrfx解：j x arctan xdx = j arctan xd (x ) arctan x- f x2d (arctan x) 2J1 + x212X21二arctanx-x 922二arctan x - ： f (1 - -皿22J1 + x2I-arctan x (x- arctan x) + C2= 1(X2 +1) arctan x-x + C.练习：求下列积分1、J cx co sxdx.2、f arcsin xdxjevc<9sxdx.解 f Ucosxdx 二 Jcosxde" = e'cosx-je'dcosx =excosx +jeA sinxdx = excosx +jsinxdex 二 ex cos x + ev sin x - j e'co s xdx,于是有2 J 于 co s xdx = ev (sin x + cos x) +ex cos xdx = - e' (sin x + cos x) + C. 2也arcsin xdxNrrarcsin xd