25正态分布题型

1、27 正态分布（ 正态分布是高中阶段唯一连续型随机频变率/组距量的分总体布密度曲线）【知识要点】1( x)21.正态曲线, (x)2e2, x ( , ),2O单位ab其中实数和 (0) 为参数，我们称, (x) 的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。2.正态曲线性质：（ 1）曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；（ 2）曲线是单峰的，它关于直线x对称；（ 3）曲线在 x处达到峰值1；2（ 4）曲线与 x 轴之间的面积为1；（ 5）当一定时，曲线随着德变化而沿 x 轴平移；（ 6）当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高 ”,表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖” ，表示总体的分

2、布越分散。=E ， =D 。3. 正态分布： 一般地，如果对于任何实数 a b ，随机变量 X 满足则称 X 的分布为正态分布， 记作 N（ ，2），如果随机变量 X 服从正态分布， 则记为 XN（ ，2）。4.标准正态分布 : 当 =0、 =l 时，正态总体称为标准正态总体，1x2e 2 ，（ - x+）其相应的函数表示式是 f ( x)2(x0 )P(xx0 ) ，当 x00 时，(x0 )1( x0 ) ；而当 x00 时， （ 0） =0.5 （ 0） =0.5 ； （ 1） =0.8413 ； （ 2） =0.9772； （ 3） =0.99875.转化为标准正态分布的方法：如果随机

3、变量 N (0,1) ， N ( ,2 ) ，那么6.两个重要公式： x01(x0 ) P(xx )P(x标准)正P态(分布曲x线)12217. 正态分布的 3 原则： 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（，2）的随机变量 X只 取y(3 ,3)1(x0 )3 原则( x 0 )之间的值，简称之为题型一：正态分布概念与性质O1.设两个正态分布 N(1， 12)( 10) 和N (2，22 )(2 0)的密度函数图像如图所示。则有（）A 12 , 12B 12 , 12C 12 , 12D 12 , 122. 给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值 和标准差 1( x1) 2（） f

4、 ( x)e8, x(,)22（） f ( x)2e 2( x1)2, x(,)21( x1)23. 设的概率密度函数为f ( x)e2，则下列结论错误的是（C ）2p(1)p(1)p( 11) p( 11)(A)(B)(C) f (x) 的渐近线是 x 0(D)1 N (0,1)4. 随机变量 X N（ 3， 4），那么相应的正态曲线f （ x）在 x=时达到最高点。y1-x 2xxf(x 2=)(21 ) e2xxx其最大值是；落在区间5. 工人制造机器零件， 零件的尺寸服从分布(3,) 里的概率是。X N（ 0，4），则不属于 ( 4,4) 这个尺寸范围的零件约占总数的6. 某市期末教学

5、质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（）甲学科总体的方差最小丙学科总体的均值最小乙学科总体的方差及均值都居中甲、乙、丙的总体的均值不相同7. 设 X N ( ， 2 ) ，当 x 在 13， 内取值的概率与在5，7内取值的概率相等时，8. 若随机变量N ( 2,4) , 则 在区间 ( 4, 2 上的取值的概率等于在下列哪个区间上取值的概率A.(2, 4B.(0, 2C.(2,0D.(4, 4（）9.设随机变量 服从正态分布N( ， 2)( 0) ，若 P( 0) P( 1) 1，则 的值为 ( D )A1B 1C 1D 122题型二：正态分布的

6、计算问题y1.下图是正态分布N (0,1)的正态分布曲线图，下面4个式子中，能表示图中阴影部分面积的有个 1( a) ( a) (a)1 1 (a)( a)-ax222O(A)1(B)2(C)3(D)42.设随机变量服从正态分布N0,1，记xP x ，则下列结论不正确的是（ D）A01x 1x C 。 P a 2a 1 a 0 D P a 1a a 0B 3.2N (1 , 4) ， (1) 求取值小于3 的概率 ;(2)求 P(|x| 3). （ 3）求 P(-4 x 7)已知正态总体解（1） F 33110.8413.2(2) P(-3 x 3)=F(3)-F(-3) =2F(3)-1=0

7、.6826（ 3）P(-4 x7)4. 设随机变量 服从正态分布 N(0，1) ，记 (x) p( <x) ，给出下列结论： (0) 0 5； (x) 1 ( x) ； p ( <2) 2 (2) 1。则正确结论的序号是 _ _N (100, 4) （单位：分），现任选一5.某学校在一次数学基础测试统计中, 所有学生成绩服从正态分布名学生 , 该生成绩在96 分 到 104 分内的概率是 ( D )A F (2)F( 2)B 1(2)C 2(1) 1D 2(2)16.若 (3)=0.9987，则标准正态总体在区间( 3， 3) 内取值的概率为(B)A 0.9987B0.9974C

8、0.944 D 0.84137.已知随机变量服从正态分布 N (2， 2 ) ， P( 4)0.84 ，则 P( 0)（ A）A 0.16B 0.32C 0.68D ， 0.848.设X N1，则X落在， 3.50.5， 内的概率是（），24 95.4% 99.7% 4.6% 0.3%9.（ 07安徽卷 ,10 ）以x 表示标准正态总体在区间, x 内取值的概率，若随机变量服从正态分布 N, 2，则概率 P等于（）A.B.11 C.1D.210. 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为1( x 80) 2f ( x)e200( x R) ，则下列命题不正确的是

9、（ B）210A该市这次考试的数学平均成绩为80 分；B分数在 120 分以上的人数与分数在60 分以下的人数相同；C分数在 110 分以上的人数与分数在50 分以下的人数相同；D该市这次考试的数学成绩标准差为10.11. 设随机变量 N (,2)，且E3 , D1，则P(11)=(B )12. （ 07全国卷 ,14 ）: 在某项测量中 , 测量结果服从正态分布 N1, 20 . 若在0,1内取值的概率为 0.4, 则 在0,2 内取值的概率为 -。13. 设随机变量服从标准正态分布N 0,1 。已知1.960.025 ，则 P1.96( C)A.0.025B. 0.050C. 0.950D

10、.0.9751 中，数值落在 (， 1) (1， ) 内的概率为 ()14.在正态分布 N 0，9A 0.097 B 0.046 C 0.03 D 0.002 6题型三：正态分布的实际应用1. 在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即N (90,100) 。（ 1）试求考试成绩位于区间（ 70,110 ）上的概率是多少？（ 2）若这次考试共有2000 名考生，试估计考试成绩在（ 80,100）间的考生大约有多少人？2. 已知一次考试共有60 名同学参加，考生的成绩XN (110,25), 据此估计，大约应有57 人的分数在下列哪个区间内？（）3. （06湖北）在某校举行的数学竞赛中，全

11、体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N (70,100) 。已知成绩在 90 分以上（含90 分）的学生有12 名。（）、试问此次参赛学生总数约为多少人？（）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50 名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表(x0 )P( x x0 )01234567891.20.88490.88690.8880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92

12、220.92360.92510.92650.92780.92920.93060.93191.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.97672.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857解：（）设参赛学生的分数为，因为 N(70， 100) ，由条件知，P( 90) 1P（<90） 1 F(90)1(90 70) 1(2) 1 0.9772 0.228.10这说明成绩在90分以上（含90 分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28 ，因此，参赛总人数约为12 526（人）。0.0228（）假定设奖的分数线为x分，则 P( ) 1P（< ） 1 F(90) 1x 70) 50 xx(526100.0951 ，即( x70) 0.9049 ，查表得 x70 1.31 ，解得 x 83.1. 故设奖的分数线约为83.1 分。10104.2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种