4-4泰勒公式的余项

1、4-4关于泰勒公式的余项定理1设函数心)在(°,仍内有(+1)的阶导数，则对(a, b) 中任意取定的一点兀0及任意的b),有/(x)=/(xo)+/,(xo)(x-xo)+/7a：o)(x-Xo)2+寺/(")(兀0)(兀一兀0)"+恥兀),其中R*(x)= 一(兀-兀o)"+i (纟介于兀o与兀之间)(n+1)!而心(兀)的表达式称为拉格朗日型余项.注意= o(x - x0)n 在不需要余项的精确表达式时，泰勒公式可写为带皮 亚诺(Peano)余项的泰勒公式.证 假如兀二心 则上述公式显然成立 因此，不妨设 "兀0我们令尸二/-/(兀。)-

2、常(一和-(1兀。)", 1'n!G(t)=(t-xor其中兀0 <t<兀或X <t<兀0.容易验证F(x0) =G(x0) = 0, F(兀°) =g(兀°)二 0, k = 1,2,- -,n. 由柯西中值定理F(x) _F(x)-F(x0) _ F(“)丽 _G(x)_G(x°)=莎J， 其中鬲是介于%o与兀之间的一点.FS)_m)_F©2)GS) 一 G©)-Gg) 一 G©2)'其中兀2是介于兀o与兀1之间的一点也即是介于兀o与兀之间的一点如此下去，共使用+1次柯西中值定理，

3、最后得到F(x) _ 严g)G(x)_Gf+J，其中兀n+l是介于丸0与兀1之间的一点另一方面，不难看出F(“+1)二尸“+1)(巧，G("+1)(0 二(m + 1)!,F(x) _/(w+1)(x+1)即G(x) ( + 1)!将£+换成上式心“飞諾心严就是要证的公式故得到特例："n+ 苛在兀0与兀之间）（1）当n = 0时,泰勒公云给出拉格朗日中值定理/（兀）=/（兀o）+f （歹）（兀-兀。）（g在o与兀之间）（2）当 =1时,泰勒公式变为“f （兀）=/（兀0）+ 广（兀0）（兀兀0）+ '（兀兀0）2可见/（x） « f（xQ） +

4、f（xQ）（x - x0）時在兀。与兀之间）误差 尺（兀）=/字（兀一兀。）? （£在Jr。与兀之间）2!误差估计珈刀设M是I严+D （兀）I在和x或上的一 I ，泰勒公式的误差Rn （x）二 f （x） -g） + f（Xo）（x 7。）+ rf2" （x X。）+ n!有下列估计公式：恥）日備在泰勒公式中若取xo=O = 0x （0<<1）, 则马克劳林为：/（X）= / （0） +广（0）兀+ 晋 /+厂申 *2!n!（17 + 1）1由此得近似公式“、（0）+ 广（o）x + 即 /+.+02）対2!n!若在公式成立的区间上/（"+1）（劝5M

5、,则有误差估计式R=x) <MS + 1)!n+1X初等函数带拉格朗日余项的几个泰勒公式:1.ex = l + x +疋2!3rn-H:3!“!+（卡。+00）/7-1X2n”皿严+（7 0 + 1）!oo < X < +8）；2.sinx = x+ + （1）.、3!'7（2n-l）!12n3.COSX = 1x + + （ 1）2! ' ）（2«）!7 2+1 cosg+（1）（2+ 2）!OO < X < +OO）4. (l+x) = l + ax +2!(-l<x<+oo)235. ln(l+x) =+ (1厂1 n

6、.( nx +ox n '(-iyn+s+l)(l+y习题 43 1. (2)，;2.;3.(1)；4(1),;6.补例计算无理数e的近似值，使误差不超过106. 解：已知的麦克劳林公式为2!3! n !( +1)!令“1,得&(0<&<1)11 ee = l + l + + + + (0<0< 1)2!nl (n + 1)!由于0<幺<3,欲使-63心由计算可知当n = 9时上式成立，因此幺 ul + l +丄1- = 2.7182812!9!<( + 1)!<1°例1设-在使用带拉格朗日余项的泰勒公式 44计

7、算sin兀时，为使公式误差小于5><10-7。应在泰勒公式中取多少项？兀5+ + (_1)3! 5!'丿解 / /(/)(x) = sin( x + ,_1 严cosf 2 曲+(-1) X(21)!(2斤 + 1)!2/7 + 1X3n 25丿 j 兀2兄+11x1冗 2 ,(2 + 1)!_乔1)!cosg.sinx =x其误差 I7?2n(x) H(-l)(7)'初冷时!.为使公式误差小于5x107, 取h = 5即可,因为丄<3x1011!需解问题的类型：1）已知x和误差限,要求确定项数n ;2）已知项数和兀，计算近似值并估计误差；3）已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.近似公式的误差补例用近似公式cosX »1 -计算cos兀的近