5-2向量的空间坐标18029

1、Z z轴（竖轴）mIVOxovnX x轴（；y轴（纵轴）5-2向量的空间坐标空间直角坐标系过空间一定点0 ,由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标轴坐标面卦限（八个）在直角坐标系下点p1一有序数组（x,y乎）向量op ''（称为点p的坐标）特殊点的坐标：原点0（0,0,0）；坐标轴上的点A,B,C;坐标面上的点心C'.。Cx,o,二 "（兀,0,0）0'（o, y,z）一 Q Po_y B（a y.O） A'（x jO）全体有序的三个实数构成的数组记为R3 =（x,y,z）x,y,zR那么 空间中的点集 I-R3

2、在平面直角坐标系0Q中，平面上的点集 1疋=（兀,y） I兀,y w用 如前面所述空间中的点集与空间中的全体向量建立了对应:点P 1二向量乔点P的坐标：（x,y,z）,Wp的坐标:（兀,）.一致坐标面：X0尹面2 = 0j/oz 面x = 0zo兀面尹=0坐标轴:X轴YZ轴Y以i ,j ,k分别表示的坐标为p(x.y.z贝!|xi ,yzk称为向量f沿二个坐标轴方向的分向量2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下，任意向量产可用向径丽表示.忑儿z轴上的单位向量，设点P任意向量的坐标表达式设a=MM2,则向径1 T +几丿+Z1&右=OMX = x>Tr2 = OM2 = xTTT2

3、T + M+Z? &AL 2Qk>.XMxM2 = (x2 -Xx)i + (丁2 -" +(® - zjk在三个坐标轴上的分向量：aj, aj，a氏, 向量的坐标表达式：a =ax, ap azmvm2 =x2-x y2-y特殊地：OM=x, y, z3.向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式 S = ax, ay,冬， b=bx, by, bz, a+b =ax+bx, ay+by, az+bz=(ax +bx)t+ (ay +by)j + (az +bz)k; a-b=ax-bx, ay-by, az-bz= (ax -bx)i +(ay 一)/

4、+(冬 bz)k； Aa=Aaxy 如，Aaz=(Xax)F + (Xay )j + (Kaz )斤内积的坐标表示式设 4 =（西，X，zj, °2 =（花，歹2, Z2）即 ax =xxi+ + a2 =x2i+ y2j-z2k.t i i = j j = k-k = 1 i j = j-k = k- i = O,（西汁y J+可可（兀2汁为/+勺云）兀1%2 +2122-设。=（兀,y, z）,所以由于 Qd=lQ|2=>ldl=Jd.d,I a J兀2 +y2 +八向量d的单位向量的坐标表示则人至巴的距离为7u2-1）2 + （y2- Ji）2 + U2-1）2-。/ 匕

5、 证 因 n n _»PB =印2 一 OP =（兀2,九，勺）-3，）W J =（兀2-西2一H，Z2©）. 则距离I赢1=/兀2-旺）2+02_叩2+（込2_知）2.例2 已知空间中有三点A(1,O,1), 3(0,1,1), C(l,-1,1).求AB 与疋之间的夹角解 = (-1,1,0), AC = (0=< ABAC >,则cos <9 二ABAC-1匹1叉乘的坐标表加介绍行列式的概念二阶行列式:x y=兀刃一三阶行列式:x=X丁2Z1+ Z兀1d（兀11皿），a?=（兀22圧2） 则百xN =（兀1' + X 丿 + Zi £

6、;）x （兀2 z + 儿 j + S k） ixi = jx j = kxk = 0; zxj = k, jxk =i, kxi = j,Q X =Oi i + X J+ 1)x(?+ j + z2k)= xx2(ixi )+x172(7xj )+兀02()+ 1X2(7x7) + y1y2( Jxj> 堺2 (Jxl)> f> ff f+ z1x2(xz) + z1y2(x丿)+z忆2(£x£ )=0忆2 - ©儿)，+(Z12 一兀忆2)J+ (尤2兀2开)比百XN =0忆222”+（召兀2一兀忆2）7+ （兀2兀2开）2 ij jj k%

7、 =（31G兀% Za2 =（兀22必2）兀2221 尹2 Z2 |X2 Z29兀2尹2丿例3设° = (1,0,2), b = (2-1,1).求一单位向量c使之 同时垂直于°与且c构成右手系 解显然，所求的向量为 ：二空axbj kaxb= 120 2 2z + 3j k - (2,3, 1),-1 1axb= Q+32+ (-二価. 故-_(2,3,-1)23-1c_ V14 _(V14，Vi4，V14J用叉乘判断两个向量是否共线？例4设。二(5,6,0), b = (1,2,3).问:与庆是否共线?解因为 i j k ,_ 一axb= 56 0 =18z-15j +

8、 40,12 3故方与庁不共线习题52 2. 4.6.9.11.13.向量的混合积的坐毋表示一设 7 =b =Cx2,y2,z2c 二 &3，儿忌），刈G 讥=7 G X b）=（护2 - Z“2）花 +（Z血一兀忆2）卩3兀3歹3+ （兀1卩2 _*2开）歼儿'1 ° |兀22乙2例5判断下列三个向量是否共面：匸二（3,0,5）, b =（1,2,3）, c =（5,4,11）.驱3 0 5解：.（我）=1 2 3 =0,所以它们是共面的5 4 11方向余弦设°是一个非零向量,它与兀轴y轴冬z轴之夹角 分别为CC,卩,丫,则称0,"0,朴为7的方向角, 称COSQ,cos0,cos丫为向量-的方向余弦.a/. cos a -COS0 =ajcosy =a-k设 d = &