7-1向量代数及空间解析几何

1、第七章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算向量：既有大小又有方向的量.、向量的概念向量表示：a以为起点，A/?为终点的有向线段.向量的模：向量的大小1匝1或lMM；l单位向量：模长为1的向量.ea 零向量：模长为o的向量.©自由向量：不考虑起点位置的向量.本书讨论的是自由向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量往 b负向量：大小相等但方向相反的向量-匝向径:空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.OM向量的夹角：移成公共起点后，所夹不超过兀的角P,AA向量匝与向量方的夹角记作（Z万）或（万，历）向量垂直：夹角为兰2向量平行：方向相同或相反.记作万方己（夹角为o或龙）c.b向

2、量共线：向量平行 向量共面：可置于同一平面上二、向量的加减法一1加法：a+b=c（平行四边形法则）（三角形法则）特殊地：若刊方分为同向和反向Bc c=a + bak向量的加法符合下列运算规律:(1)交换律：a+b =b+a.(2)结合律：a+b =(a+b)c = a + (b +c).(3) a+(a) = 0.2减法 a _b = a + (b)c=a + (-b)= a-b向量的字母表示法AB = A0+0B = 05-0A三角不等式a+b<a + b 同向a-b<a + b 反向三、向量与数的乘法设2是一个数，向量匝与兄的乘积 加规定为(1) 2>0, 加与匝同向，I

3、加1=21匝1(2) 2 = 0, Aa =0(3) 2v0, 加与厉反向，I加1=以1 衍I数与向量的乘积符合下列运算规律:(1)结合律:Mjua) = (2顾=“(2N)(2)分配律：(2 + ju)d = Aa + juaA(a+b) = Aa+Ab向量的线性运算:加法及数乘例在平行四边形BCD中， 而=万试用万表示向量V硕淀 和顾这里M是平行四边形对角线咬 点.C非零向量单位化：设尬是一个非零向量，记与/同向的 单位向量为乙，贝！Ia - 別乙 = eaa例 2 a-b+5(-1b+S3aI 2解I弘5-1方+ i'1 25)(5 1 |=(1-3)«+ -1 + -

4、5 方2 5丿=id >6 2关于两个向量的平行关系有如下定理：定理 设向量那末向量万平行于匝的充 分必要条件是：存在唯一的实数九 使b=Aa.以上述定理为理论依据可知:给定一个 点、一个方向及单位长度，就确定了 一条数轴。设点。及单位向量确定了数轴，则P的坐标为c o op = xi思考题试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形.证 AM = MCA AD =AM + MD = MC +M=BC罚与万C平行且相等，结论得证.练习题'、填空:1、2、3、4、5、6、向量是的量；向量的叫做向量的模；的向量叫做单位向量； 的向量叫做零向量； 与无关的向量称为自由向量；

5、=J平行于同一直线的一组向量叫做,三个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做7、两向量,我们称这两个向量相等；8、两个模相等、的向量互为逆向量；9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点构;10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点，则终点构序;11、要使P+方l = p习成立，向量再应满足12、要使P +方| =冈+同成立，向量厶方应满足 二、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形三、把ABC的C边五等分，设分点依次为D，°4 '再把各分点与点4连接，试以AB = cBC =a表示向量DtA D2A和巧A .练习题答案一* 1、既有大小，又有方向；2、大小；3、模等于1；4、模等于零；5、起点；6、共线向量，共面向量；7、模相等且方向相同;8、方向相反；9、半径为1的球面；10、距离等于2的两点;11、臣垂直于方;12、五