【KS5U解析】山东省2020届普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷（二） Word版含解析

1、2020年普通高等学校招生全国统一考试(模拟卷)数学试题一单项选择题1.若集合，则（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由对数函数性质确定集合，然后再求交集【详解】，又，所以，故选：c【点睛】本题考查集合的交集运算，考查解对数不等式属于基础题2.是虚数单位，复数满足，则a. 或b. 或c. d. 【答案】c【解析】试题分析：因为，所以，解得，所以，故选c.考点：1、复数的运算；2、复数的模.3.已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据三角函数的定义求出的值，结合余弦的二倍角公式即可求解.【详解】角的始边与轴

2、的非负半轴重合，终边过点(为坐标原点)，.故选:a【点睛】本题主要考查三角函数的定义及二倍角公式，属于基础题.4.已知甲乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中的值为（ ）a. 2b. 3c. 4d. 6【答案】c【解析】【分析】根据茎叶图求出甲的众数和乙的中位数，列出方程，求得的值，得到答案.【详解】根据茎叶图可知，甲的众数为23，乙的中位数为，因为甲的众数与乙的中位数相等，即，解得.故选：c.【点睛】本题主要考查了根据茎叶图求众数和中位数及其应用，其中解答中熟记众数和中位数的概念与求法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.5.已知函数则的解集为（ ）a. b.

3、 c. d. 【答案】b【解析】【分析】先分析分段函数两段取值范围，再化简不等式为，最后解指数不等式得结果.【详解】当时，；当时，等价于，即，解得，的解集为.故选：b【点睛】本题考查解分段函数不等式、指数不等式，考查综合分析求解能力，属基础题.6.设曲线上的点到直线的距离的最大值为，最小值为，则的值为 （ ）a. b. c. d. 2【答案】c【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，由dr求出最小值，最大值为（0，2）到直线的距离，确定出a与b的值，即可求出ab的值详解】解：将x化为：x2+（y1）21，圆心（0，1），半径r1，圆心到直线xy20的距离d，圆上的点到直线

4、的最小距离b1，最大值为（0，2）到直线的距离，即a2则ab1故选：c7.已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有（ ）a. 240种b. 360种c. 480种d. 600种【答案】c【解析】分析：本题属于有限制条件的排列问题，解题时可按照领导丙的位置分为6类，求出每一类的排法后再根据分类加法计数原理求解总的排法详解：用分类讨论的方法解决如图中的6个位置，123456当领导丙在位置1时，不同的排法有种；当领导丙在位置2时，不同的排法有种；当领导丙在位置3时，不同的排法有种；当领导丙在位置4时，不同的排法有种；当领导丙在位置5时，不同排法有种；

5、当领导丙在位置1时，不同的排法有种由分类加法计数原理可得不同的排法共有480种故选c点睛：解决排列组合问题的步骤：弄清完成一件事是做什么；确定是先分类后分步，还是先分步后分类；弄清分步、分类的标准是什么；利用两个计数原理及排列数或组合数求解8.已知双曲线的左右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为12，则取得最大值时该双曲线的离心率为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】由题意，得 ，且分别为的中点由双曲线定义，知 ， ，联立，得因为的周长为12，所以的周长为24，即，亦即，所以令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值

6、，此时，所以，所以，故选c点睛：本题主要考查双曲线的定义及几何性质，以双曲线为载体，通过利用导数研究的单调性，考查逻辑思维能力、运算能力以及数形结合思想双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式二多项选择题9.下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（ ）a. 若两直线的斜率相等，则两直线平行b. 若，则c. 若，则d. 若，则【答案】bcd【解析】【分析】根据必要条件的定义即可判断.【详解】a中是的充分条件，b，c，d中是的必要条件.故选bcd

7、.故选: bcd【点睛】本题主要考查必要条件，属于基础题.10.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）a. 是偶函数b. 的最小正周期是c. 的图象关于直线对称d. 的图象关于点对称【答案】ad【解析】【分析】利用三角函数图象变换可得函数的解析式，然后利用余弦型函数的基本性质逐项判断可得出正确选项.【详解】由题意可得，函数是偶函数，a正确：函数最小周期是，b错误；，则直线不是函数图象的对称轴，c错误；，则是函数图象的一个对称中心，d正确.故选：ad.【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同时也考查了余弦型函数基本性质的判断，考查推理能力与

8、计算能力，属于中等题.11.已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ）a. b. c. d. 【答案】cd【解析】分析】根据函数与互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数，的图象，利用反函数的性质以及基本不等式可判断a、b、d；利用导数判断在上单调递增， 从而可得，再由点在直线上，可得，即可得出选项.【详解】由，得， 函数与互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数，的图象，如图所示，则， 由反函数性质知关于(1，1)对称，则，ab错误，d正确.，在上单调递增，且，.又点在直线上，即，故c正确.故选：cd【点睛】本题考查了反函数的性质、基本不等式，考查了数形结合的思想，属于中档题.

9、12.如图，在矩形中，为边的中点，将沿直线翻转成(平面).若分别为线段的中点，则在翻转过程中，下列说法正确的是（ ）a. 与平面垂直的直线必与直线垂直b. 异面直线与所成的角是定值c. 一定存在某个位置，使d. 三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值【答案】abd【解析】【分析】对a，由面面平行可知正确；对b，取的中点为，作出异面直线所成的角，并证明为定值；对c，利用反证法证明，与已知矛盾；对d，确定为三棱锥的外接球球心，即可得证；【详解】取中点，连接.为的中点，.又为的中点，且，四边形为平行四边形，.，平面平面平面，与平面垂直的直线必与直线垂直，故a正确.取的中点为，连接，则且，四边形是平行四边

10、形，为异面直线与所成的角.设，则，故异面直线与所成的角为定值，故b正确.连接.为等腰直角三角形且为斜边中点，.若，则平面.又，.又平面，与已知矛盾，故c错误.为三棱锥的外接球球心.又为定值，故d正确.故选：abd.【点睛】本题考查空间几何体的翻折问题、异面直线所成角、外接球等问题，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意翻折前后的不变量.三填空题13.已知，且，则实数_【答案】【解析】由题意，由，得，解得.【点睛】设向量， 向量平行的两种方法：（1）的充要条件是；（2）不妨设，的充要条件是存在实数，使，即.第一种方法纯粹地是代数方程，第二种方法是几何方法，对不是坐标表示的

11、向量平行非常适用.14.的展开式中的系数为_.【答案】-6480【解析】分析】，利用二项式定理得到，再展开，计算得到答案.【详解】，展开式的通项为：，取，则，的展开式的通项为：，取，得到，故的系数为.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.15.已知正实数满足，则的最小值是_，此时_.【答案】 (1). 9 (2). 【解析】【分析】将用表示，得，代入，再化为积为定值的形式，利用基本不等式可得答案.【详解】由可得，由，得，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：9；.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.16.已知抛物线与直线在第

12、一、四象限分别交于a，b两点，f是抛物线的焦点，若，则_.【答案】4【解析】【分析】首先判断直线过抛物线的焦点，方程联立求点的坐标，并得到，的值，求.【详解】直线当时，直线过抛物线的焦点，三点共线，联立直线与抛物线方程， ，得，解得： ，.故答案为：4【点睛】本题考查直线与抛物线的简单综合问题，焦半径公式，意在考查计算能力，属于基础题型.四解答题.17.在等差数列中，已知.在，这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.（1）求数列通项公式；（2）若_，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】本题第（1）题先设等差数列的公差为，然后根据已知条件列出关于首项与公

13、差的方程组，解出与的值，即可得到等差数列的通项公式；第（2）题对于方案一：选条件，先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法可计算出前项和；对于方案二：选条件，先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，然后分为偶数和奇数两种情况分别求和，并运用分组求和法和等差数列的求和公式进行计算，即可计算出前项和；对于方案三：选条件，先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，然后根据通项公式的特点运用错位相减法可计算出前项和【详解】解：（1）设等差数列的公差为，则，即，故. （2）选，由得. 选，由得当为偶数时，. 当为奇数时， 故 选，由得，则，-，得，故.【点睛】本题主要考查等差

14、数列的基本量的计算，以及数列求和问题考查了转化与化归思想，方程思想，分类讨论思想，等差数列求和公式的应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力属于中档题18.某市规划一个平面示意图为如下图五边形的一条自行车赛道，为赛道（不考虑宽度），为赛道内的一条服务通道，.（1）求服务通道的长度；（2）应如何设计，才能使折线段赛道最长？【答案】（1）5（2）见解析【解析】【分析】（1）连接bd，在中应用余弦定理求得bd，进而在应用勾股定理求得be（2）在中，应用余弦定理表达出ab与ae的等量关系，再结合不等式求得的最大值即可【详解】（1）连接，在中，由余弦定理得：，.，又，在中，.（2）在中，.由余弦定理得，即，

15、故，从而，即，当且仅当时，等号成立，即设计为时，折线段赛道最长.【点睛】本题考查了余弦定理及应用余弦定理解三角形的应用，不等式的用法，属于基础题19.如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）若截面与底面所成锐二面角为，求的长度.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，通过中位线证得，且，又证得，从而可证明四边形是平行四边形，则，利用线面平行的判定定理可证得平面；（2）分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法表示出截面与底面所成锐二面角的余弦值，建立方程，从而求出的长.【详解】（1）证明：取的中点，连接

16、，是的中点，且.底面为直角梯形，且.四边形是平行四边形，.又平面平面，平面. （2）解：如图，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，取平面的一个法向量为. ，设平面的法向量为，则有即不妨取，则，即， ，解得，即的长为4. 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，利用空间向量解决二面角的问题，属于中档题.20.椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为（）求椭圆的方程；（）点为椭圆上一动点，连接、，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求实数的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）先将代入，得到弦长为，根据题中条件，列出方程组，求解即可得到，进

17、而可求出椭圆方程；（）先设点，根据题意，得到直线的方程，再由的角平分线交椭圆的长轴于点，得到到直线的相等，进而得出，根据范围，即可求出结果.【详解】（）将代入中，由可得，所以弦长为，故有，解得，所以椭圆的方程为：.（）设点，又，则直线的方程分别为； .由题意可知.由于点为椭圆上除长轴外的任一点，所以，所以， 因为，所以，即 因此， .【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的应用问题，熟记椭圆的方程与椭圆的简单性质，灵活运用点到直线距离公式即可，属于常考题型.21.2020年4月8日，武汉市雷神山医院为确诊新型冠状病毒肺炎患者，需要检测核酸是否为阳性，现有份核酸样本，有以下两种检测

18、方式：（1）逐份检测，则需要检测次；（2）混合检测，将其中(，且)份核酸样本分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，这份核酸样本全为阴性，因而这份核酸样本只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这份核酸样本究竟哪几份为阳性，就要对这份样本再逐份检测，此时这份核酸样本的检测次数总共为次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.（1）假设有5份核酸样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检测方式，求恰好经过4次检测就能把阳性样本全部检测出来的概率.（2）现取其中(，且)份核酸样本，记采用逐份检测方式，样本需要检测的总次数为，采用混合检测方式，样本需要检测的总次数为.试运用概率统计的知识，若，试求关于的函数关系式；若，用混合检测方式可以使得样本需要检测的总次数的期望值比逐份检测的总次数期望值更少，求的最大值.参考数据：【答案】（1）；（2）(，且)；.【解析】【分析】（1）利用古典概率计算公式即可得出（2）由已知得，的所有可能取值为1，可得，即可得出期望根据，解得由题意可知，得，可得，设，利用导数研究其单调性即可得出【详解】解：（1）由题意可知，故恰好经过4次检测就能