《2.1圆锥曲线》导学案

1、2.1圆锥曲线导学案教学过程一、问题情境2011年9月29日，中国成功发射了 天宫一号”飞行器，你知道 天宫一号”绕地球运行的 轨迹是什么吗？二、数学建构椭圆是物体运动的一种轨迹，物体运动的轨迹有很多，常见的还有直线、圆、抛物线等.一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线； 当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆当我们改变平面的位置时，截得的图形也在发生变化请观察图1.（图1）对于第一种情形，可在截面的两侧分别放置一个球，使它们都与截面相切（切点分别为F1，F2）,且与圆锥面相切，两球与圆锥面的公共点分别构成圆01和圆。2（如图2）.（图2）设M是平面与圆锥面的

2、截线上任一点，过点M作圆锥面的一条母线分别交圆 01和圆02于P, Q两点，贝U MP和MF- MQ和MF?分别是上、下两球的切线 因为过球外一点所作球的切线的长都相等，所以 MFi=MP , MF2=MQ ,故MFi+MF 2=MP+MQ=PQ.因为PQ=VP-VQ，而VP, VQ是常数（分别为两个圆锥的母线的长 ），所以PQ是一个常数 也就是说，截线上任意一点到两个定点Fi，F2的距离的和等于常数通过分析,给出椭圆的概念 :一般地，平面内到两个定点Fi, F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点Fi, F2叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做椭圆的焦距问题 i 为什

3、么常数要大于 FiF2？解 因为动点与Fi，F2构成三角形，三角形的两边之和大于第三边，所以MF什MF2FiF2.问题2若MFi+MF 2=FiF2,动点M的轨迹是什么？解线段FiF2.问题3若MFi+MF 2F iF2，动点M的轨迹不存在.抛物线的概念 :一般地，平面内到一个定点 F和到一条定直线l（F不在I上）的距离相等的点的轨迹叫做抛 物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线I叫做抛物线的准线.说明：定点F不能在定直线I上，否则所得轨迹为过点 F且与直线I垂直的一条直线. 椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线 .三、数学运用【例U 已知定点P（0, 3）和定直线l:y+3=0,动圆M过点P且与

4、直线I相切，求证：圆心M 的轨迹是一条抛物线 .处理建议 让学生仔细审题， 作出图形， 再引导学生对照抛物线的定义寻找相等关系， 使问题得以解决 .规范板书证明 设圆M的半径为r，点M到直线I的距离为d.动圆M过点P且与I相切，二MP=r , d=r ,二MP=d.而点P不在I上, 由抛物线的定义知圆心 M的轨迹是一条抛物线.题后反思本题要紧扣抛物线的定义，主要注意两点：到定点的距离等于到定直线的 距离；定点不在定直线上.【例2】如图，圆Fi在圆F2的内部，且点Fi, F2不重合，求证：与圆Fi外切且与圆F2内切的圆的圆心C的轨迹为椭圆.处理建议让学生仔细审题，明确需要解决什么问题，再引导学生

5、根据椭圆的定义寻 找 到两定点的距离之和为定值 ”的关系，使问题得以解决.规范板书证明 设圆Fi，F2的半径分别为ri，匕，动圆C的半径为t.依题意有CFi=ri +t，CF2=r2-t，消去t得 CFi+CF2=r什2（个大于FiF2的常数），所以动圆圆心C的轨迹是以Fi, F2为焦点的椭圆.题后反思要证明某点的运动轨迹，可以先考虑动点是否满足圆锥曲线的定义.本题要紧紧抓住到两定点的距离之和为定值的动点的轨迹是椭圆这一定义变式i如图，已知动圆C与圆Fi，F2均外切（圆Fi与圆F2相离），试问：动点C的轨迹是什（变式i）处理建议从例2的解法中联想思考，寻找动点满足的几何性质是什么规范板书解 双

6、曲线的一支.证明如下：设圆Fi，F2的半径分别为ri，2（rir2），动圆C的半径为t.依题意有CFi=ri+t，CF2=r2+t， 消去t 得 CFi-CF2=r i-r2（一个小于FiF2的正数），所以动圆圆心C的轨迹是以Fi，F2为焦点的双 曲线的一支.题后反思应引导学生学会利用圆锥曲线的定义直接得出轨迹.本题还有其他方式的变式：当两圆相离时，动圆与两圆均内切或与一圆内切与另一圆外切，其动圆圆心的轨迹均 为双曲线的一支.变式2（i）动圆与圆Ci：x2+y 2=i和C2：（x-4） 2+y 2=4都外切，则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.2 2 2 2动圆与圆Ci：x +y =1和C2：(x

7、-4) +y =4都内切，则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支2922(3) 动圆与圆 C1：x 2+y 2=1内切，与圆 C2：(x-4) 2+y 2=4外切，则动圆圆心的轨迹是双曲线 的一支 .2922(4) 动圆与圆 C1：x 2+y 2=1外切，与圆 C2：(x-4) 2+y 2=4内切，则动圆圆心的轨迹是双曲线 的一支 .*22【例3】已知圆F的方程为(x-2) +y = 1,动圆P与圆F外切且和y轴相切.求证:动圆的圆心P在一条抛物线上运动，并请写出这条抛物线的焦点坐标及准线方程处理建议因为要证明圆心P的轨迹是抛物线，所以可引导学生通过画图找到定点和 定直线 .规范板书证明设圆P的半径为

8、r，它与y轴相切于T,则PF=r+ 1, PT=r，所以PF=PT+1，作直线l:x=-1，PT的延长线交直线I于A，则PF=PA，故点P到定点F的距离等于它到直 线I的距离，所以点P在以F(2，0)为焦点，直线I:x=-1为准线的抛物线上运动.题后反思 三种圆锥曲线的概念都与距离有关:椭圆和双曲线的概念描述的都是点到点的距离；抛物线的概念描述的是点到点的距离，同时还有点到线的距离.圆与直线相切，能够联想到抛物线的条件 .变式 点P到定点F(2，0)的距离比它到y轴的距离大1，求点P的轨迹.处理建议 引导学生考虑本题条件与哪种圆锥曲线的定义一致 .规范板书解 过点P作 PT丄y轴，垂足为T,所

9、以PF=PT+ 1,作直线I:x=-1, PT的延 长线交直线I于 A,则PF=PA ,故点P到定点F的距离等于它到直线I的距离，所以点P在以F(2, 0)为焦点、直线l：x=-1为准线的抛物线上运动.题后反思 本题依然是属于动点到定点和到定直线的距离，但不相等的问题，关键是 将不等关系转化为相等关系，可以培养学生类比推理、归纳猜想、转化等数学思维能力.2四、课堂练习1. 已知双曲线的两个焦点分别为F1(-3, 0)和F2(3, 0)，则此双曲线的焦距为6 .2. 若动圆M过点(3, 2)，且与直线3x-2y-仁0相切，则点M的轨迹是抛物线.3. 已知椭圆的两个焦点分别为 F1, F2,。为F1F2的中点，P为椭圆上任一动点，取线段PF1的中点Q,求证：动点Q的轨迹也是一个椭圆.五、课堂小结1. 圆锥曲线可通过平面截圆锥面得到.当平面经过圆锥面的顶点时,可得到两条相交直线；当平面与圆锥面的轴垂直时, 截得的图形是一个圆；当平面平行于圆锥面的