同济版高数教学设计完美版定积分

1、高等数学教案第五章定积分1第五章定积分教学目的：1、理解定积分的概念。2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式。4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。教学重点：1、 定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。3、牛顿一莱布尼茨公式。教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、疋积分的换兀积分法分部积分法4、变上限函数的导数。5、1定积分概念与性质-、定积分问题举例1 .曲边梯形的面积曲边梯形：设函数 y=f(x)在区间a b上非负、连续，由直线 x=a、x=b、y=

2、0 及曲线 y=f (x)所围 成的图形称为曲边梯形.其中曲线弧称为曲边，求曲边梯形的面积的近似值：将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形.每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替.每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积.则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值具体方法是：在区间a b中任意插入若干个分点a=X0： X1： x2： :：Xn 4： Xn=b把a b分成 n 个小区间xo.Xi . Xi.X2 . x2、X3、Jxnd.Xn.它们的长度依次为 X1二 X1-X0iX2X2-Xi=Xn二 Xn-XnJ .经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段.把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形在每

3、个小区 间Xi.Xi上任取一点以Xi亠 Xi为底、f(筍为高的窄矩形近似替代第 i 个窄曲边梯形(=1. 2.n).把这样得到的 n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值.即高等数学教案第五章定积分2nA ： f (1)汶1f (2)：X2亠亠 f (n)厶 Xn=7f (歆，求曲边梯形的面积的精确值显然.分点越多、每个小曲边梯形越窄.所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积 A 的精确值.因此.要求曲边梯形面积 A 的精确值.只需无限地增加分点.使每 个小曲边梯形的宽度趋于零，记-=max凶/X2.于是.上述增加分点.使每个小曲边梯形的宽度趋于零.相当于令-0.所以

4、曲边梯形的面积为nA = lim f ()：片.八一0y2 .变速直线运动的路程设物体作直线运动.已知速度 vv(t)是时间间隔TiT2上 t 的连续函数.且 v(t)_O.计算 在这段时间内物体所经过的路程S .求近似路程：我们把时间间隔 Ti.T2 分成 n 个小的时间间隔.-li .在每个小的时间间隔 Ati内.物体运 动看成是均速的.其速度近似为物体在时间间隔.氓内某点i的速度 v(.).物体在时间间隔 .：ti 内运动的距离近似为 二 S=v( . i) .ti .把物体在每一小的时间间隔厶 ti 内运动的距离加起来作为物体在时间间隔TiT2内所经过的路程 S 的近似值，具体做法是：

5、 在时间间隔Ti.T2内任意插入若干个分点T1 =t 0 ：11 ：t2 ： :tn 4 ：tn =T 2 .把Ti.T2分成 n 个小段t0.ti . ti.t2 ：tntn 各小段时间的长依次为=t 1 =t 1-t0Lt2_t 2 -t 1n =tn -t 2 ,相应地.在各段时间内物体经过的路程依次为=S1=S2=Sn .在时间间隔ti.ti上任取一个时刻-i(ti： ： ti).以-i时刻的速度 V(，i)来代替tijti上 各个时刻的速度.得到部分路程.-：Si的近似值.即Si=V(可践(i=1. 2n).于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值.即n

6、S V(iti i唱求精确值记，二 max . ：t1,t2tn.当 0 时.取上述和式的极限.即得变速直线运动的路程nS =lim二v(.j)选，i _1高等数学教案第五章定积分3设函数 yh(x)在区间a b上非负、连续.求直线 x=a、x=b、y=0及曲线 yh (x)所围成的曲边梯形的面积.(1) 用分点 a=x：X1咲2：:xn*xn =b把区间a b分成 n 个小区间x .X1 . X1.X2 . X2、X3、Jxn斗.xn.记加iFXi J(i = 1 2 .* n).(2) 任取rXz .Xi.以Xi/Xi为底的小曲边梯形的面积可近似为f3x(i =1 . 2 .n)；所求曲边

7、梯形面积 A 的近似值为nA 八 f( J /.i 4(3)记彊=max .xi.iXn.所以曲边梯形面积的精确值为nA =1 i m f ( J Xj ,设物体作直线运动.已知速度 v(t)是时间间隔TiT2上 t 的连续函数且 v(t) _0 .计算在这段时间内物体所经过的路程S(1) 用分点 Ti=to：ti血:：:tn：tn=T2把时间间隔T1T2分成 n 个小时间段：to.tl .tl.t2 .，*,tn4.tn.记山 ti=ti-ti(i=1 .2. n),(2) 任取rtidti.在时间段tiJti内物体所经过的路程可近似为v(.i). ：ti(i=1 ：2 .n)；所求路程 S

8、 的近似值为nS ：、v( .J 二 tj .i=1记 =max MLt,:./：-tn.所求路程的精确值为nS =lim v(iti.二、定积分定义高等数学教案第五章定积分4抛开上述问题的具体意义.抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括.就抽象出下述定积分的定义定义 设函数 f(x)在a b上有界.在a b中任意插入若干个分点a =Xo： X1： X2： ：Xn二I： Xn=b把区间a b分成 n 个小区间X0 .X1 ：X1 .X2 . ：Xn4.Xn.各小段区间的长依次为匚 X1=X1XoLX2汝2X1LXn=Xp_Xn / .在每个小区间XiM.Xi上任取一个点i(Xi才:：1：

9、Xi).作函数值 f (1)与小区间长度.叹的乘积 f (切 &(i=1 .2.n).并作出和nS f (i) =Xj ,i二记 = max凶；伙2,.：；：,.如果不论对a.b怎样分法.也不论在小区间人一1.xj 上点i怎 样取法.只要当，时.和 S 总趋于确定的极限 I .这时我们称这个极限 I 为函数 f (x)在区间a b上的定积分.记作:f(x)dx .bn即f (x)dx=lim送f，$2i其中 f (x)叫做被积函数 f (x)dx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限b 叫做积分上限.a.b叫做积分区间,定义 设函数 f(x)在a b上有界.用分点 a=x

10、o：xi吹 2：xn j：xn=b 把a b分成 n 个小区间：xo.xi .xi.X2.xn.Xn.记 Aximi-x(i=1 . 2、n).任冃 xi4.Xi (i=1 ： 2,rn).作和nf(i)：x i T记-：max =xi=X2=Xn.如果当.0 时.上述和式的极限存在.且极限值与区间a bb的分法和i的取法无关.则称这个极限为函数 f(x)在区间a b上的定积分.记作.f(x)dx.abna忙高等数学教案第五章定积分5根据定积分的定义.曲边梯形的面积为A = ff(x)dx ,变速直线运动的路程为S二Jv(t)dt .T1说明：(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关而与积分

11、变量的记法无关即f (x)da)f(t)dO)f(u)du n和 7f(i)x通常称为 f (x)的积分和i=1(3)如果函数 f (x)在a b上的定积分存在.我们就说 f (x)在区间a b上可积函数 f(x)在a b上满足什么条件时f (x)在a b上可积呢？定理1设 f (x)在区间a b上连续.则 f (x)在a b上可积定理2设 f (x)在区间a b上有界.且只有有限个间断点.则 f (x)在a b上可积定积分的几何意义：在区间a b上.当 f(x)_O 时.积分：f(x)dx在几何上表示由曲线y=f (x)、两条直线 x=a、x 盘 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积当 f(x)

12、_O 时.由曲线 y =f (x)、两条直线 x=a、x=b 与 x轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方.定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值jf仪皿=!冋1叫f(4)4 =ff(x)dx ,/.0i 40i 4当 f (x)既取得正值又取得负值时.函数 f(x)的图形某些部分在 x 轴的上方.而其它部分在 x 轴的下方.如果我们对面积赋以正负号.在 x 轴上方的图形面积赋以正号.在 x 轴下方的图形面积赋以负号.则在一般情形下.定积分:f(x)dx的几何意义为： 它是介于 x 轴、 函数 f(x) 的图形及两条直线 X、X 士之间的各部分面积的代数和用定积分的定义计算定积分：例 1.利用定

13、义计算定积分0 x2dx ,解 把区间0 .1分成 n 等份.分点为和小区间长度为x(i=1. 2.n1).也XjJ(i=1. 2,n),nn取 U =丄(i=1 . 2 厂.n).作积分和nnnn、f(i)：x八i2xi(丄)21高等数学教案第五章定积分6i1ii #nn因为，=1.当；一 0 时.nr：所以nj/dxFimf f(织=lim打1+却(2+丄),0.-oi壬n：6 n n 3利定积分的几何意义求积分：例 2 用定积分的几何意义求0(1 -x)dx .解：函数 y=1 刁在区间0 . 1上的定积分是以 y=1 亦为曲边以区间0. 1为底的曲边梯形 的面积，因为以 y=1-x 为

14、曲边.以区间0 .1为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高 均为 1 .所以0(1 -x)dx号1仁2 三、定积分的性质两点规定当 a 龙时.ff(x)dx=O ,当 ab 时.|f (x)dx=_f f(x)dx .性质 1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即f (x) _g(x)dx =：f (x)dx一 ：g(x)dx .证明：:j f (x)二g(x)dx =lim、f ( J _g(旳nn=l i m f ( J l i m g( J. ：x)0i吕Qy二：f (x)dx_：g(x)dx .性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面fkf (x)dx =kff

15、 (x)dx ,=an(n 1)(2 n 1)=i高等数学教案第五章定积分7bnn这是因为fkf(x)dx=ljm瓦kf()x =k Ijm Ef(勺)仪=kff(x)dx.a妇0a性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即fbf(x)dx=ff(x)dxCf (x)dx .这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性，值得注意的是不论 a b c 的相对位置如何总有等式abf(x)dx =ff(x)dxCf (x)dx成立，例如.当 abc 时.由于ff(x)dx二fbf(x)dx：f(x)dx 于是有ff (x)dx =ff (x)dx-ff (x)dx

16、= f f (x)dx +Cf (x)dx .高等数学教案第五章定积分8性质 4 如果在区间ab上 f (x)三 1 贝V fdx =fdx =b a ,性质 5 如果在区间a b上 f (x)_0 .则ff (x)dx 30(ab),推论 1 如果在区间a b上 f (x)_g(x)则abf(x)dx辽：g(x)dx(a：b).这是因为 g (x)-f (x)_0 .从而bbbag(x)dx-af(x)dx =ag(x) -f(x)dx _0 .所以jf(x)dx訂g(x)dx推论 2| ： f (x)dx|空f (x) |dx (a:b).这是因为-|f (x)| f (x) |f (x)

17、|.所以即| ：(曲|町|心)心|.性质 6 设 M 及 m 分别是函数 f(x)在区间a b上的最大值及最小值.则m(b -a)兰f (x)dx兰M (b a)(ab),证明因为 mM (x)乞 M .所以fmdxEffajdx兰flM d x从而m(b -a)兰f (x)dx兰M (b -a) “性质 7 (定积分中值定理)如果函数 f(x)在闭区间a b上连续.则在积分区间a b上 至少存在一个点.使下式成立：f(x)dx = f( )(b-a),这个公式叫做积分中值公式，证明由性质 6m(b a)乞f (x)dx兰M (b -a).-Jf(x)|dx:f(x)dx訂|f(x)|dx高等

18、数学教案第五章定积分9各项除以 b得m1f (x)dx _ M . b-aa再由连续函数的介值定理.在a b上至少存在一点.使f()己:“如.于是两端乘以 ba 得中值公式f (x)dx = f ( )(b-a),积分中值公式的几何解释：应注意：不论 ab .积分中值公式都成立高等数学教案第五章定积分105, 2 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动.在 t 时刻所经过的路程为 S(t).速度为 vv(t)=S(t)(v一。 ).则在时间间隔TiT2内物体所经过的路程 S 可表示为S(T2)-S(Ti)及；2v(t)dt .即fv(t)dt

19、=S(T2)_S(Ti),上式表明.速度函数 v(t)在区间TiT2上的定积分等于 v(t)的原函数 S(t)在区间T1.T2上 的增量.这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数设函数 f(x)在区间a b上连续.并且设 x 为a b上的一点，我们把函数 f(x)在部分区间a x上的定积分ff(x)dx称为积分上限的函数它是区间a b上的函数.记为Q(x)=f (x)dx.或(x)=f (t)dt ,定理 1 如果函数 f(x)在区间a b上连续.则函数：(x)(x)dx在a b上具有导数.并且它的导数为(x)=:f(t)dt=f(x)(a$vb).简要证明若 x

20、(a b).取.x 使 xvx (ab),应用积分中值定理.有讣二 f ( “X .其中在 x 与之间=X-；0 时 rX，于是5)=啊叭f(円叮()(x) 若 x=a .取 x0 .则同理可证处亠(x)=f(a) 若 x=b .取 x0,证明函数F(x)二 在(0 .:)内为单调增加函数证明:dx:tfdt=xf(x)dxxf (x) ；f (t)dt f(x)；tf (t)dt _ f (x) ；(x-t)f(t)dt (0 xf(t)dt)2(0f(t)dt)2:f(t)dt = f(x),故F(x)二高等数学教案第五章定积分13按假设.当 0i0 . (x-t)f (t)A 0 .所以

21、:f(t)dt .0 . ；(x)f(t)dt .0 .从而 F (x)0 (x0).这就证明了 F (x)在(0 .；)内为单调增加函数Ce土dt例 7.求limcosx2x解：这是一个零比零型未定式.由罗必达法则.提示：设(x) =1edt.则(cosx)=挙上dt .Xedtd(cosx)d(u)理 w(_sinx)=_sinxeExdx1dxdu dxlimX0limx 0= limx )0sin xeosx2x丄2ex2COSX21eft高等数学教案第五章定积分2145 , 3 定积分的换兀法和分部积分法一、换元积分法定理假设函数 f(x)在区间a b上连续.函数 xY(t)满足条件

22、()=a.(升 b (2)-(t)在:(或 p .:)上具有连续导数.且其值域不越出a b.则有这个公式叫做定积分的换元公式证明由假设知.f(x)在区间a . b上是连续.因而是可积的 f :(t):(t)在区间-.-(或-:)上也是连续的.因而是可积的.假设 F(x)是 f (x)的一个原函数.则f (x)dx=F(b) -F(a).另一方面.因为F (t)于(t):(t f (t) (t).所以 F (t)是 f (t):(t)的一个原 函数.从而ff(x)dx = ff(t)0(t)dt ,例 1 计算0、a2-x2dx(a0).提示：GxyaFsinZcost.dxP cos t .当 x=0 时tO当XP时匕.例 2 计算02cos5xsinxdx .解令 t =cos x .则提示：当 x=0 时 t=1 .当x二时 t=0因此V )=F(b)-F(a).令x j sin t审