【KS5U解析】江西省南昌市东湖区第十中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版含解析

1、南昌十中高二上学期期末考试理科数学试卷说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.1答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上.2作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效.作答选择题必须用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损.3考试结束后，答题纸交回.第卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，

2、共计60分）1.已知抛物线：，则该抛物线的焦点坐标为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先化抛物线的方程为标准方程，再确定焦点坐标.【详解】解：由题意，故其焦点在y轴正半轴上，.焦点坐标为.故选：d.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程.解题的时候注意抛物线的焦点在轴还是在轴.2.命题“，”的否定是（ ）a. ，b. ，c. ，d. ，【答案】d【解析】【分析】特称命题否定是全称命题，直接可得出结果.【详解】命题“，”的否定是“，”，故选：d.【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题.3.下列说法正确的是（ ）a. 若，则b. 合情推理得到的结论不一定是正确的c. 双曲线

3、上的点到两焦点的距离之差等于d. 若原命题为真命题，则否命题一定为假命题【答案】b【解析】【分析】a.根据求导公式判断；b.根据合情推理的定义进行判断；c.根据双曲线定义判断；d.根据四种命题的关系进行判断.【详解】a. 若，根据求导公式，错误；b. 合情推理得到的结论没有经过证明，是不一定正确的，正确；c. 根据双曲线定义，双曲线上的点到两焦点的距离之差等于或者，错误；d. 若原命题为真命题，不能推出否命题的假命题，错误.故选：b.【点睛】本题考查导数公式，考查对合情推理的理解，考查双曲线的概念，考查原命题和否命题的真假关系，是基础题.4.已知，则（ ）a. 3b. 12c. 32d. 48

4、【答案】d【解析】【分析】根据导数的定义即可得到结论.【详解】解：由已知， 故选：d.【点睛】本题考查导数定义，关键是要凑出合适的系数，是基础题.5.已知：，则的充分不必要条件是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】分析】解出的解集，的充分不必要条件是其子集，选出即可.【详解】解：由得，的充分不必要条件是的子集，c符合，故选：c.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，是基础题.6.利用数学归纳法证明的过程中，由变到时，左边增加了（ ）a. 1项b. 项c. 项d. 项【答案】d【解析】【分析】依题意，由递推到时，不等式左边为，与时不等式的左边比较即可得到答案.【详解】解：用数学归纳法

5、证明等式的过程中，假设时不等式成立，左边，则当时，左边，由递推到时不等式左边增加了：，共项，故选：d.【点睛】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题.7.求的值为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】将原式变形为，利用几何法去求定积分即可.【详解】解：由已知，表示的是以原点为圆心，以1为半径的圆的上半圆的面积，故，令，所以为奇函数，故选：a.【点睛】本题考查定积分的计算，考查几何法求定积分，考查定积分的性质的应用，是中档题.8.函数在定义域上是增函数，求实数的取值范围（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】可得出时，恒成立，从而得出恒成立，转

6、化为最值问题，从而可得出的取值范围.【详解】若在定义域上是增函数，则在时恒成立，时，恒成立，化为恒成立，实数的取值范围为.故选：b.【点睛】本题考查了基本初等函数的求导公式，根据导数符号求函数单调区间的方法，运用基本不等式求最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题.9.由曲线与所围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】求出曲线与直线交点的坐标，结合旋转体的积分计算公式，可得所求旋转体的体积等于函数在上的积分值，再用定积分计算公式加以计算即可得到该旋转体的体积.【详解】解：曲线与直线交于点和，根据旋转体的积分计算公式，可得该旋转体的体积

7、为，故选：b.【点睛】本题给出曲线与直线所围成的平面图形，求该图形绕x轴转一周得到旋转体的体积.着重考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识，属于基础题.10.已知双曲线：右支上非顶点的一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】设双曲线的左焦点为，连接，可得四边形为矩形，运用勾股定理和双曲线的定义，结合对勾函数的单调性，计算可得所求范围.【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，可得四边形为矩形，设，即有，且，由，可得，则，可得，即有，则，即有.故选：b.【点睛】本题考查双曲线的定义、方程

8、和性质，考查离心率的范围，注意运用勾股定理和对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题.11.设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在上恒成立的是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论.【详解】解：构造函数，当时，所以，即，从而，当时，所以，即，从而，当时，由题意可得，所以，综上所述：，故选：c.【点睛】本题主要考查导数的应用，根据不等式关系构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键.考查学生的运算和推理能力.12.已知椭圆上一点，一条直线与平行且与椭圆交于、两点，直

9、线、分别与轴正半轴交于、两点，求（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】d【解析】【分析】将直线特殊化，求出直线，求出与轴正半轴交点坐标，即可求出.【详解】解：由已知，连结椭圆右顶点和下顶点的直线斜率为，取该直线为直线，则点，则直线为，令，则，即，直线为，令，则，即，则，故选：d.【点睛】本题考查椭圆和直线位置关系，考查计算能力，利用特殊直线法，可方便得出结果，是中档题.第卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.观察式子：，则可归纳出式子，括号内填_.【答案】【解析】【分析】观察一系列等式，得出一般性规律为分子是以3开始的连续奇数，分母为加数的个数，即可得到结果.【详

10、解】观察式子：，由此可以猜想，证明：当时，故答案为：.【点睛】此题考查了分式的混合运算，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键.14.已知双曲线的离心率是，则_【答案】-6或12【解析】【分析】讨论焦点位置，用离心率公式解方程可得的值.【详解】解：当焦点在轴上时，解得，当焦点在轴上时，双曲线标准方程为，解得，综合得，或，故答案为：-6或12.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查方程思想和运算能力，注意要讨论焦点位置，属于基础题.15.若是函数的极值点，则的值为_.【答案】3【解析】【分析】根据题意，求出函数的导数，分析可知，据此可求出，然后针对的每一个值，进行讨论，看是不是函数的极值点，

11、综合即可得答案.【详解】解：根据题意，得，由题意可知，解得或，当时，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，显然是函数的极值点；当时，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故答案为：3.【点睛】本题考查利用导数分析函数的极值，本题易错的地方是求出的值，没有通过单调性来验证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.16.已知直线与椭圆相交于，两点，且（为坐标原点），若椭圆的离心率，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，求得，由离心率的取值范围，即可求得的最大值.【详解】解：设，由，消去y，可

12、得，则，由，整理得.（其中为坐标原点），可得，即，化简得.整理得.，代入上式，化简得，.，平方得，可得 ，因此，可得的最大值为，满足条件，当椭圆的离心率时，的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共计70分）17.已知命题：不等式对任意恒成立，命题：.（1）已知为真，求的取值范围.（2）若为假，为真，求取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分，讨论，列不等式组求解的取值范围；（2）先求出，分别为真时的取值范围，再分真假，假真讨论，求的取值范围.【

13、详解】（1）当时，不等式恒成立；当时，由题可得，解得，综上所述，.（2）当为真命题时，当为真命题时，为假，为真，中一真一假.若真假，则；若假真，则，综上所述，.【点睛】本题借助考查复合命题的真假判断，考查了分式不等式的解法及一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是求得组成复合命题的简单命题的为真时的取值范围.18.已知函数在和处取得极值.（1）求，的值.（2）求在内的最值.（3）过点作曲线的切线，求切线方程.【答案】（1），（2）；（3）或【解析】【分析】（1）利用极值的意义，建立方程组，即可求，；（2）利用导数求出在上的单调性，进而可得最值；（3）设出切点坐标，设切线为，利用导数的几何意义，

14、列方程组求出的值，即可得切线方程.【详解】（1）.由题可得的根为-1和3，解得.（2）由（1）得，在和内单调递增；在内单调递减；又，；.（3）由题可得，设切点为，切线为；则，解得或，切线方程为或.【点睛】本题主要考查函数的单调性与极值，考查导数的几何意义，要注意过点的切线和在点处的切线的不同，是基础题.19.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线直角坐标方程以及的极坐标方程.（2）若，是曲线上的两点，求的值.【答案】（1）：，： （2）【解析】【分析】（1）通过消参可得曲线和曲线的普通方程，然后利用，求出的极坐标方程；（2）求出的极坐标方程，将

15、，代入计算，可得的值【详解】(1)由题可得的普通方程为，的普通方程为，将代入的普通方程化简得的极坐标方程为.（2）将代入的普通方程化简得的极坐标方程为，将，代入得，.【点睛】本题考核参数方程和普通方程的互化，直角坐标方程和极坐标方程的互化，考查了极坐标方程的应用，是基础题20.设函数（1）讨论函数在定义域内的单调性；（2）当时，任意，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数，分，和三类求解函数f（x）的单调区间；（2）利用（1）求出的最大值，则原题转化为，参变分离，通过的范围，可求出实数的取值范围.【详解】（1），当时，增区间为，减区间为，当

16、时，减区间为，当时，增区间为，减区间为，；（2）由（1）知，当时，在上单调递减，即，恒成立，即，又，.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题.21.已知圆：内一点，点为圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段连线交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于不同的两点、，求的内切圆半径的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据线段中垂线的性质可得，|mp|mq|，又|mq|m|4，故有|m|mp|4|p|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出值，即得椭圆的标准方程；（2）设，设内切圆的半径为，当最

17、大，就最大，利用直线和椭圆的位置关系求出最大值，进而可得的最大值.【详解】（1）由圆的方程可知，圆心（1，0），半径等于4，设点m的坐标为，pq的垂直平分线交q于m，|mp|mq| 又|mq|m|4（半径），|m|mp|4|a|2点m满足椭圆的定义，且24，22，2，1，点m的轨迹方程为；（2）设，设的内切圆的半径为，因为的周长为，因此最大，就最大，由题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由得，所以，又因直线与椭圆交于不同的两点，故，即，则，令，则，令，由函数的性质可知，函数在上是单调递增函数，即当时，在上单调递增，因此有，所以，即当，时，最大，此时，故当直线的方程为时，内切圆半径的最大值为.【点睛】本题考查椭圆的定义求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，关键是要将的最值转化为三角形面积的最值问题，是中档题.22.已知函数.（1）当时，在定义域内单调递增，求的取值范围；（2）当时，对恒成立，求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）在定义域内单调递增，转化为在内恒成立，参变分离，转