2026年广西壮族自治区崇左市初中学业水平考试模拟数学卷附答案

初中学业水平考试模拟数学卷一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分）1．我国几个城市某年1月份的平均气温如下表所示，其中最低气温是（）城市北京广州重庆哈尔滨平均气温/A． B． C． D．2．点的坐标满足，且，则点P在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知是完全平方式，则的值为（）A．或 B． C． D．4．已知时，分式无意义，时，分式的值为零，则的值是（）A．0 B．2 C．4 D．85．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．无法确定6．解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（）A． B． C． D．7．已知非负实数x，y满足和，则下列式子正确的是（）A． B． C． D．8．如图，在中，，，是边上的中线，于点，若的面积为，则的长是（）A． B．3 C．4 D．59．如图，点A、B、C在上，，连接并延长交于点D，连接、．若，则的大小为（）A． B． C． D．10．如图1，在矩形中，点为的中点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动．设点的运动时间为，的长为，随的变化图象如图2所示，则下列说法错误的是（）A． B．C．当时， D．11．当时，直线与直线的交点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．如图1，在四边形中，，，动点P沿的路线运动，到点C时停止．设点P运动的路程为x，，y与x的函数图象如图2所示，若点是最低点，则的长为（）A．1 B． C． D．2二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）13．若，则．14．如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形⋯按此规律，第506个图案中有个正三角形．15．若关于、的方程组和关于、的方程组有相同的解，则的值为．16．如图，某转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点、的两条切线交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径m，，则图中危险区（阴影部分）面积为．三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）．17．计算题（1）；（2）；（3）；（4）18．某学校计划改造一片空地，如图，在空地中间修建一个长方形的花坛，花坛的长度为米，宽度为米，在花坛的四周铺设一条宽度为2米的走道，走道的外围为装饰区域，装饰区域外圈围成的图形为正方形，其边长比走道外圈围成的长方形区域的长边多1米，请根据以上信息回答下列问题：（1）走道外圈的周长为________米；（2）走道的面积是多少？（3）如果，且每平方米的装饰区域铺设费用为60元，计算铺设装饰区域的总费用．19．如图，将绕点逆时针旋转得到，且，两点分别与，两点对应，延长与边交于点，求的度数．20．如图，是的直径，过点A作的切线，连接交于点C．连接，过点B作的垂线交其延长线于点E，交于点F，连接．（1）求证：；（2）若的半径为4，，求的长．21．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接，点是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点重合），过点作轴，交线段于．若，求点的坐标．22．如图，在中，，是边上一点，延长与的延长线交于点，连接．（1）已知①；②两个条件，请你从中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程；（2）在（1）的条件下，若，，直接写出四边形的面积．23．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，．（1）点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________；（2）平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式；（3）点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；（4）若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________．

答案1．【答案】D【解析】【解答】解：四个城市的平均气温分别为，，，.∵正数大于一切负数，∴和都大于两个负数，只需比较两个负数的大小.∵，，且，∴根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得.∴最低气温是.

故答案为：D.【分析】由题意提取所有气温数据：北京-5.2℃、广州14.2℃、重庆3.1℃、哈尔滨-20.4℃；由有理数大小比较基础规则：正数＞负数，先分出正数14.2、3.1，负数-5.2、-20.4，最小值一定在负数里；由负数比较大小规则：两个负数，绝对值越大，数值本身越小；分别求两个负数的绝对值再对比.2．【答案】C【解析】【解答】解：∵，∴和同号，即同时为正或同时为负．又∵，∴，，∵平面直角坐标系中，横纵坐标都为负的点在第三象限，∴点在第三象限．

故答案为：C.【分析】由xy>0判断x、y符号关系：两数相乘大于0，说明x、y同号，分两种情况：①x>0，y>0；②x<0，y<0；由x+y<0筛选唯一符合的符号情况：若x、y同时为正，相加结果一定大于0，与x+y<0矛盾，因此只能x<0，y<0；由平面直角坐标系象限坐标特征判断点位置：横、纵坐标都为负数的点落在第三象限.3．【答案】A【解析】【解答】是完全平方式，且，完全平方公式为，，，即或，解得或．

故答案为：A.【分析】由完全平方公式结构：(a±b)2=a2±2ab+b2，对比多项式x2+2(m−3)x+49，确定首尾平方项；由首尾项确定a、b：首项x2=x2，得a=x；末项49=72，得b=7；由中间项为±2ab建立等式：多项式一次项2(m−3)x对应±2⋅x⋅7，约去x得到一元一次方程；分两种正负情况解方程，求出m两个取值，匹配选项.4．【答案】D【解析】【解答】解：∵时，分式无意义，∴此时分母，把代入得，解得：．∵时，分式的值为0，∴此时分子，且分母不为0，把代入分子得，解得，验证分母：时，，符合要求，∴．

故答案为：D.【分析】由分式无意义的条件：分母等于0；把x=−2代入分母2x+a=0，解出a的值；分式值为0的双重条件：分子等于0且分母不等于0；把x=4代入分子x−b=0求出b，再验证此时分母不为0；由求出的a、b，计算a+b，匹配选项.5．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意可得，，整理，得：，判别式，∴该方程无实数根．

故答案为：C.【分析】由新定义运算公式：a※b=a2-2ab+1，把a=x，b=-1代入式子，替换原方程左边；由等式整理得到标准一元二次方程，写成ax2+bx+c=0形式；由一元二次方程判别式△=b2−4ac的符号判断根的情况：△>0：两个不相等实数根；△=0：两个相等实数根；△<0：无实数根.6．【答案】B【解析】【解答】解：将代入原方程可得，解得处的数为．

故答案为：B.【分析】由方程解的定义：x=−是方程的根，把解代入原方程，设被墨水盖住的数字为a；代入后得到只含a的一元一次方程，通过分数四则运算、移项求出a；算出数值匹配选项.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵，∴，∵x，y为非负实数，∴，解得，∴，已知，将代入，得，化简，得．逐一验证选项：选项A，，把代入，得，解得，并非对所有满足条件的x都成立，因此A错误；选项B，，∵，∴选项B错误；选项C，，把，代入左边，得，与右边相等，因此C正确；选项D，，当时，，因此D错误．

故答案为：C.【分析】由第一个方程用x表示y，结合x、y非负，求出x取值范围；把y=4−3x代入第二个方程，用x表示z；将y、z的代数式逐一代入四个选项，检验等式、不等式是否恒成立，筛选正确选项.8．【答案】C【解析】【解答】解：是边上的中线，，，，，，即，，在中，，．

故答案为：C.【分析】三角形中线面积性质：AD是BC中线，BD=DC，△ABD与△ACD等底同高，面积相等，得到S△ABD=7.5cm2；三角形面积公式反求高DE：DE⊥AB，以AB为底、DE为高代入面积公式，解出垂线段DE长度；中线求BD边长：BC=10，D为中点，得BD=BC=5；勾股定理求BE：△BED是直角三角形，斜边BD、直角边DE已知，用勾股定理算出BE.9．【答案】A【解析】【解答】解：如图，连接∵，，∴，∵是的直径∴∴∵∴∴∵∴∵∴．

故答案为：A.【分析】由圆周角定理：同弧所对圆心角=2倍圆周角，∠D=40∘，得∠BOC=80∘；由直径所对圆周角为直角：BD是直径，∠BCD=90∘，在Rt△BCD求出∠DBC=50∘；由两直线平行内错角相等：OA∥BC，得∠AOB=∠DBC=50∘；角相加求出大圆心角∠AOC：∠AOC=∠AOB+∠BOC=130∘；由等腰△AOC内角和：OA=OC，底角相等，算出∠ACO=25∘；由圆周角定理，∠ACB=∠ACO，得到答案.10．【答案】B【解析】【解答】解：由图象可知，当时，点运动到点，此时值发生转折，，故A选项说法正确；当时，点在点处，此时，在中，，当时，在点，，故C选项说法正确；点为的中点，，，故D选项说法正确；点从到的总路程为，，故B选项说法错误.

故答案为：B.【分析】由图像转折点t=6分析运动路程：速度1单位/秒，t=6走到拐点B，得AB=6；由t=0时EP=AE=，在Rt△ABE用勾股求BE长度；由E是BC中点，算出BC，计算矩形面积；算出全程总路程AB+BE，得到总时间a；验证t=6时EP长度；逐一判断四个选项对错。11．【答案】A【解析】【解答】解：联立直线与直线，得，，解得，∴交点坐标为，∵，∴，，又∵，∴，，∴交点在第一象限．

故答案为：A.【分析】由两条直线解析式联立方程组，消去y，解出交点横、纵坐标的分式表达式；由k>的范围，分别判断分子、分母的正负：分母k2+1恒为正，只需判断分子符号；由横、纵坐标同时为正，判定交点在第一象限.12．【答案】C【解析】【解答】解：由图2可知，当时，，即，当最小时，此时，最小值为4，即，当运动到点时，，即，在中，，底边上的高为4，过点作，过点作，连接，如图，在中，，，，为等腰的中线，，，，，，四边形为矩形，，，设，则，，在中，，在中，，，，即，解得，的长为．

故答案为：C.【分析】由函数图象起点x=0得AD长度：P在A点时DP=AD=5；最低点含义：垂线段最短，DP⊥AB时DP最小为4，用勾股求AP，结合等腰△ABD得AB长；过B作BE⊥AD构造矩形BCDE，设BC=x，转化得ED=x、AE=5-x、BE=CD；分别在Rt△ABE、Rt△BCD用勾股表示BE2、CD2，利用BE=CD列方程求解x.13．【答案】【解析】【解答】解：∵，∴．

故答案为：.

【分析】由分式拆分法则：==1+；把已知条件=代入拆分后的式子，做分数加法运算得到结果.14．【答案】2026【解析】【解答】解：∵第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，，第3个图案中有14个正三角形，，每增加一个图案，正三角形个数增加4个，∴第n个图案中正三角形的个数为：．当时，正三角形的个数为：．

故答案为：2026.【分析】由题干提取每组图案正三角形数量：第1个6个、第2个10个、第3个14个，判断为等差数列；找变化规律：后一个图案比前一个多4个三角形，推出第n个图案的通项公式；把n=506代入通项，计算出对应三角形个数.15．【答案】【解析】【解答】解：把方程组中不含、的两个方程联立得，，，得，∴，把代入，得，∴，∴方程组的解为，把方程组中含、的两个方程联立得，，把代入，得，，得，∴．

故答案为：.【分析】由“两个方程组有相同的解”可知：这个公共解同时满足不含参数a、b的两个方程，联立先求出x、y；把求出的x、y代入含a、b的方程组，得到关于a、b的二元一次方程组；两式整体相加，提取公因式直接求出a+b，无需单独算出a、b各自的值.16．【答案】【解析】【解答】解：连接，如图所示：，是圆的切线，，，，，，，，，，，，危险区（阴影部分）的面积为．

故答案为：.【分析】CA、CB是圆切线，得O⊥CA，OB⊥CB，∠OAC=∠OBC=90∘；由转角α=60∘求四边形内角，算出圆心角∠AOB；计算四边形OACB面积：拆成两个全等Rt△OAC、Rt△OBC，用三角函数求直角边长再算面积；计算扇形AOB面积：套用扇形面积公式；阴影危险区面积=四边形OACB面积−扇形AOB面积.17．【答案】（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）解：．【解析】【分析】（1）乘方：−12022，注意指数只作用于1，结果为−1；负整数指数幂：=an，算出；零指数幂：任意非零数的0次幂等于1，(π−3.14)0=1；三者相加得到最终结果.

（2）前半部分用平方差公式(a−b)(a+b)=a2−b2展开；后半部分用完全平方公式(a−b)2=a2−2ab+b2展开；去括号，合并同类项.

（3）积的乘方先算(−3xy2)2；单项式乘法：系数相乘、同底数幂指数相加；单项式除法：系数相除、同底数幂指数相减.

（4）把2020=2021−1，2022=2021+1，构造平方差(a−1)(a+1)=a2−1；代入原式化简，消去平方项求值.（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）解：．18．【答案】（1）（2）解：花坛的面积为平方米，走道的面积为平方米，故走道的面积为平方米；（3）解：正方形的边长为米，所以装饰区域的面积为平方米，当时，铺设装饰区域的总费用为元．【解析】【解答】（1）解：走道外圈的长为米，宽为米，所以走道外圈的周长为米；

故答案为：.【分析】（1）由花坛长宽与走道宽度，求走道外圈长方形的长、宽：花坛四周走道宽2米，长、宽都要左右/上下各加2米，总共加4；由长方形周长公式C=2(长+宽)，代入外圈长宽，整式化简得到周长代数式.

（2）由长方形面积公式，分别计算走道外圈总面积、中间花坛面积；走道面积=外圈长方形面积−花坛面积；用平方差公式计算花坛面积，去括号合并同类项化简结果.

（3）由题意条件：装饰正方形边长=走道外圈长方形长边+1，写出边长代数式；把x=2代入求正方形实际边长，再用正方形面积公式求面积；由总费用=面积×每平方米单价，算出总价.（1）解：走道外圈的长为米，宽为米，所以走道外圈的周长为米；（2）解：花坛的面积为平方米，走道的面积为平方米，故走道的面积为平方米；（3）解：正方形的边长为米，所以装饰区域的面积为平方米，当时，铺设装饰区域的总费用为元．19．【答案】解：将绕点逆时针旋转得到，∴，

∵，

∴，

在四边形中，．【解析】【分析】由旋转的性质：旋转角∠CAC'=∠BAB'=30∘，对应角相等∠ACB=∠AC'B'；由平角定义等量代换：∠ACB+∠ACE=180∘，推出∠AC'B'+∠ACE=180∘；四边形内角和为360∘，在四边形ACEC'中，用360∘减去已知两角之和，算出∠CEC'.20．【答案】（1）证明：∵过点A作的切线∴，即∴∵过点B作的垂线交其延长线于点E，∴∴∵∴∴；（2）解：∵，经过圆心，∴，

∴

∴，

∵

∴

∴

∴

∴．【解析】【分析】（1）AD切⊙O于A，直径AB，得AD⊥AB，∠DAB=90∘，直角三角形两锐角互余：∠D+∠ABD=90∘；垂直条件：BE⊥CE，∠CEB=90∘，同理∠OCB+∠CBE=90∘；等腰三角形等边对等角：OB=OC，得∠ABD=∠OCB；同角的余角相等，推出∠CBE=∠D.

（2）直径所对圆周角直角：AB是直径，∠AFB=90∘，AB=8，Rt△ABF勾股求BF；垂径定理：BE⊥CF，FE=EC，OE是△CBF中位线，求出OE；Rt△OBE勾股求BE，算出tan∠OBE；由(1)得∠D=∠OBE，在Rt△ABD中利用正切值列等式求AD.（1）略（2）解：∵，经过圆心，∴，∴∴，∵∴∴∴∴．21．【答案】（1）解：令，解得，即，，解得，反比例函数的解析式；（2）解：已知C(1，12)，CE⊥x，CE=12；

∵PQ∥x，

故FQ∥OE，

∴△CQF∽△COE，相似比=，

=⟹CF=×12=3

P、Q纵坐标相等：yP=CE−CF=12−3=9；

将y=9代入y=：9=⟹x==.

∴P点坐标：.【解析】【分析】（1）点C(n，12)在一次函数y=3x+9上，把y=12代入一次函数，求出横坐标n，得到C点完整坐标；将C点坐标代入反比例y=，求出m，写出反比例解析式.

（2）作CE⊥x轴，PQ∥x轴，得△CQF∽△COE，相似比=；相似三角形对应高之比等于相似比，算出CF长度，得到P点纵坐标；把纵坐标代入反比例解析式，求出x，得到P坐标.（1）解：令，解得，即，，解得，反比例函数的解析式；（2）解：作轴于点，交于点，∵点，∴，∵轴，∴，∴，∴，即，∴，，∴点的纵坐标为9，∴，解得，∴点的坐标为．22．【答案】（1）选①，证明如下：四边形是平行四边形，，．在和中，，，，，四边形是平行四边形，，，平行四边形是矩形；选②，证明如下：∵四边形是平行四边形，∴，∵共线，∴，∵，，∵，，∴，∴四边形是平行四边形，又∵，∴平行四边形是矩形；（2）18【解析】【解答】（2）解：∵四边形是矩形，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，，在中，，∴，∵，∴四边形的面积．

【分析】（1）利用平行四边形性质得AB∥CD、AB=CD，即AB∥FD；条件①通过AAS全等证AB=DF；条件②通过等腰三角形三线合一证CD=DF；一组对边平行且相等，得四边形ABDF是平行四边形；已知∠BDC=90∘，得∠BDF=90∘，有一个直角的平行四边形是矩形。

（2）由(1)结论，AB=DF=3，得CF=CD+DF=AB+AB=6；在Rt△ABD，勾股求高BD；梯形面积公式：SABCF=(AB+CF)⋅BD。（1）略（2）解：∵四边形是矩形，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，，在中，，∴，∵，∴四边形的面积．23．【答案】（1），20（2）解：，，对角线，的交点坐标为，即，设经过点且平分平行四边形面积的直线解析式为，将，代入，得：，解得，所求直线的解析式为.（3）解：存在，点的坐标为或.（4）或【解析】【解答】（1）解：四边形是平行四边形，，点在轴正半轴上，，，，，，点D的纵坐标与点A相同，横坐标为，点的坐标是，平行四边形的面积；

故答案为：，20.（3）解：存在，点的坐标为或.

理由：，点在轴正半轴上，，，即，设直线的解析式为，将，代入，得：，解得，直线的解析式为，设，，以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，存在三种情况：当为对角线时，如图：则与的中点重合，，解得，点的坐标为，即；当为边，点N在x